Počítat jako Staroegypťan

Každoročně přiláká Egypt davy obdivovatelů velkolepé starověké kultury. Za mohutnými pyramidami, tajemnými sfingami, bohatě zdobenými stěnami a sloupy hustě popsanými hieroglyfy ale málokdo vidí tehdejší děti, které se musely po tisíciletí učit dovednostem svých předků. Dovednostem, umožňujícím existenci této obdivuhodné civilizace. Představa jaké to bylo, sedět ve starověké škole, ožívá v pracech egyptologů, včetně těch z Českého egyptologického ústavu.

Páteří staroegyptské kultury, která se rozvíjela po dlouhá tři tisíciletí, byli vzdělaní muži, písaři, kteří ovládali všechny oblasti státní správy a hospodářství. Jejich profesní dráha začínala již v dětství, kdy ve věku 5–7 let začali navštěvovat školu. Teoreticky mohl tehdy studovat každý, avšak v rolnické společnosti se jen malá hrstka obyvatel rozhodla své děti vzdělávat. Výuka čtení, psaní a počítání patřila k základnímu vzdělání, v další fázi vzdělávacího procesu potom mladý písař studoval literární texty, vzorové úřední dokumenty, historické záznamy a mnoho dalších zajímavostí. Jakmile získal zaměstnání, doprovázel svého nadřízeného a postupně tak měl možnost poznávat a ovládnout každodenní praxi jako jeho asistent.

Na samotném začátku se však malý student seznamoval se znaky hieratického písma, které se používalo pro každodenní psaní. (Ne všichni ovládli také hieroglyfy, jež sloužily ke komunikaci s božským světem prostřednictvím nápisů vytesaných na stěny chrámů a hrobek.) Součástí byly i znaky pro číslo, zlomek, jednotku délky, plochu či objem. Díky několika dochovaným textům máme možnost prostudovat výukové příručky, jež nám – ačkoli se dochovaly jen částečně – ukazují, jak se studenti seznamovali s jednoduchými výpočty a postupně přecházeli k složitějším matematickým problémům. Nejrozsáhlejším a také nejlépe dochovaným je tzv. Rhindův matematický papyrus, sepsaný v době 15. dynastie (asi 17.–16. století př.n.l.). Jeho obsah je strukturován tak, že jej bez nadsázky můžeme označit za příručku egyptského učitele matematiky.

Rhindův matematický papyrus obsahuje 14 listů, popsaných takřka výhradně matematickými výpočty. Těm předchází titul, obsahující údaje o době sepsání, stáří předlohy a písaři, který byl opsáním textu pověřen. Nejprve červený text: „Pravidla pro proniknutí do věcí, pro poznání všeho, co je, [všech] záhad, …, všeho skrytého.“ Poté text pokračuje černou barvou: „Tento svitek byl opsán 33. roku, 4. měsíce období záplav…[za vlády krále Horního] a Dolního Egypta Auserrea, obdařeného životem, podle staré knihy sepsané v době [krále Horního a Dolního Egypta Nimaatrea]; písař Ahmose to byl, kdo sepsal tento opis.“

překlad: autorka, foto: The British Museum

Sečti a násob!

Jako první bylo pro egyptského studenta třeba osvojit si základní matematické operace. Sčítání a odčítání nečinilo problém, jelikož egyptští písaři využívali nepoziční desítkový systém zápisu čísel, kdy existoval znak pro jednotku, desítku, stovku atp., a při zápisu libovolného čísla se každý znak opakoval, kolikrát bylo potřeba (obdobně jako např. zápisu římskými číslicemi). Sčítání a odčítání tedy vyžadovalo přidání či odebrání znaků, případně nahrazení deseti znaků jednoho řádu řádem vyšším či nižším.

Pro násobení písaři užívali metodu postupného zdvojnásobování (případně i zdesateronásobení či půlení atp.) jednoho z činitelů, dokud se nedosáhlo násobku rovného druhému činiteli. Dělení probíhalo obdobně. Tento vcelku jednoduchý a intuitivní postup nečinil potíže při počítání s celými čísly, avšak v případě zlomků vyžadoval více zručnosti a zkušenosti. Staří Egypťané totiž užívali pouze zlomky kmenné, tedy ty, jež mají v čitateli 1. Při násobení a dělení bylo mnohdy potřeba dvojnásobek kmenného zlomku vyjádřit jako součet více kmenných zlomků, a to pokud byl jmenovatel lichý. Pro tento účel si studenti potřebovali osvojit postupy, jak příslušné hodnoty získat, a je také možné, že se hodnoty dvojnásobku zlomků s lichým jmenovatelem učili zpaměti stejně, jako se dnes děti učí malou a velkou násobilku. O důležitosti těchto výpočtů svědčí skutečnost, že zhruba polovina textu na Rhindově matematickém papyru se podrobně věnuje právě tomuto tématu.

Kruh je čtverec

Po zvládnutí aritmetiky mohl egyptský student začít řešit algebraické příklady, například úlohy vedoucí na lineární rovnice s jednou neznámou. Doložena je také úloha vedoucí na rovnici kvadratickou, její text však je dochován pouze částečně. Příklady z této skupiny jsou formulovány buď obecně, nebo formou praktických úloh, kdy měl student spočítat určité množství obilí.

Další skupinu příkladů tvoří úlohy geometrické, kde se nejprve student seznamoval s počítáním obsahu plochy čtverce, lichoběžníku, trojúhelníku a kruhu. Obzvláště obsah kruhu je pro nás zajímavý, neboť egyptští písaři postupovali jinak než později řečtí matematici, bez použití hodnoty π. Místo toho převedli obsah kruhu na obsah čtverce o přibližně stejném objemu – chyba, která při jejich metodě vznikla, byla naprosto zanedbatelná.

Staroegyptská dětská hračka v podobě feny. Původně měla pohyblivou spodní čelist, ovládanou drátkem. Období nové říše (1550 až cca 1292 př.n.l.),

zdroj: Walters Art Museum

Jak naklonit pyramidu

Se znalostí počítání obsahu plochy bylo možné přistoupit k výpočtům objemu trojrozměrných těles. Základní výpočet byl velmi jednoduchý – obsah podstavy se vynásobil výškou. Účelem těchto úloh však bylo něco jiného. Byly formulovány na příkladu kvádrových či válcových sýpek a student měl stanovit, kolik obilí se do nich vejde. Snadno spočtený výsledek potom musel převést na vhodné objemové jednotky, a právě tento převod se zdá být pravým účelem těchto příkladů. Šlo přitom o znalost, jež předesílala praktické využití matematických znalostí každého písaře, a to nejen na venkově během setí a sklizně, ale i ve státní správě při výběru daní a kontrole státních rezerv.

Několik příkladů v Rhindově papyru se věnuje pyramidám. Úkolem bylo spočítat sklon pyramidy ze zadané výšky a délky základny. Protože egyptští písaři nevyjadřovali úhel pomocí stupňů, šlo vlastně o výpočet poměru mezi odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku. I když skutečné výpočty pro stavbu pyramid musely být mnohem složitější a komplexnější, stojí za pozornost, že rozměry či výsledný sklon některých pyramid z těchto úloh odpovídají slavným stavbám Staré říše, například Rachefově (druhé největší) pyramidě v Gíze. Rhindův papyrus je přitom o tisíc let pozdější.

Nakrm husu

Poslední, poměrně rozsáhlou a velice zajímavou skupinu matematických příkladů, tvoří slovní úlohy. I když i některé dřívější úlohy byly zadány na praktickém pozadí, až tyto slovní úlohy definovaly příklady tak, že písař musel nejprve sám vyhodnotit, o jaký matematický problém jde a poté k jeho řešení zvolit vhodnou metodu. V Rhindově papyru tak například najdeme skupinu úloh, kdy měl student spočítat příděly chleba nebo obilí určitému počtu pracovníků, a to podle daného klíče. V jednom případě použil trojčlenku, jindy prosté dělení nebo rovnici s jednou neznámou, doložena je však i úloha skrývající aritmetickou posloupnost. V jiné úloze najdeme i posloupnost geometrickou s výpočtem jejího součtu. Některé příklady v samotném závěru Rhindova papyru se zdají odkazovat na praktickou stránku písařského povolání. Úkolem je zde vypočítat, kolik krmiva je třeba pro husy a dobytek na stanovený počet dnů.

Rhindův matematický rukopis.

Překlad: autorka

Přestože jsou naše znalosti o staroegyptské matematice velmi omezené a můžeme je čerpat jen z několika fragmentárně dochovaných textů, příručka staroegyptského učitele matematiky zaznamenaná na Rhindově papyru nám naznačuje, co všechno můžeme najít pod pozlátkem egyptských památek. Papyry dokládají, jakým způsobem byly formulovány i řešeny různé typy příkladů, i jak byl student veden od jednoduchých úloh k těm složitějším. Prozrazují nám, že – stejně jako dnešní žáci – se staroegyptští studenti učili nejen zadaný problém vypočítat, ale také jej ověřit písemnou zkouškou a v závěru přidat odpověď na zadání.

Od faraona k počítači

Na druhou stranu však v textech zcela chybí vysvětlení postupů, odvození algoritmů či důkazy platnosti, s nimiž se setkáváme až později v Řecku. Můžeme nicméně předpokládat, že egyptští učitelé studentům ústně sdělovali vše, co jim mohlo v pochopení pomoci. Úlohy typu aritmetických a geometrických posloupností naznačují, že egyptský počtář se naučil více, než jen nezbytnou základní znalost potřebnou pro povolání písaře a státního úředníka. Kam až sahaly znalosti špičkových egyptských matematiků se z dochovaných textů nedozvíme. Nelze však pominout, že Egypt byl pro celý starověký svět kolébkou vzdělanosti a mnozí řečtí učenci strávili léta studiem svitků v Egyptě. Byli mezi nimi třeba Eukleidés, Archimédés, Kónon či Erastothenés, kteří působili v centru tehdejšího vědeckého světa, v alexandrijském Museionu. I tito velikáni nepochybně našli v egyptské matematice bohatý zdroj inspirace, a přes ně se egyptské vědění dostává až do našich učebnic.