Spočítat to covidu

Představte si, že jste starosta středně velkého města a že ve vašem městě propukne epidemie. Musíte rozhodnout, co proti ní udělat. Na jedné straně můžete všem nařídit, aby nevycházeli z bytů s tím, že jim jídlo bude vozit armáda, což jistě proti epidemii pomůže, obyvatelstvo vám ale vděčné nebude. Pak se můžete rozhodnout nedělat nic, v tom případě se ale epidemie nekontrolovatelně rozšíří a vděku se také nedočkáte. Evidentně musíte udělat něco mezi, otázka je co.

Uvažujete o různých variantách: mám raději zavřít školy, nebo hospody? Mají lidé nosit roušky, nebo dražší respirátory? Mám zrušit nedělní fotbal, nebo bohoslužbu? Cokoliv z toho pomůže, cokoliv z toho někoho naštve, to český čtenář roku 2021 jistě chápe. Nejlepší by bylo si jednotlivé varianty vyzkoušet, ale to nejde – máte jen jeden pokus.

Ještěže máme počítače, řeknete si, pomocí nich můžeme šíření viru simulovat. Jediný problém je, že v obchodě s výpočetní technikou příslušný software nemají.

Střih.

Je březen 2020, všichni jsou vystrašení z nově se objevivší covidové hrozby a skoro každý má potřebu proti ní něco udělat. Někdo šije roušky, na to jsou ale matematici příliš nešikovní, a tak se raději rozhodují vytvořit simulační program, který by se našemu hypotetickému starostovi tolik hodil.

Vybírají si konkrétní okresní město s blízkým okolím – jeho jméno raději nerozhlašují, ještě by se obyvatelé báli, že se na nich dělají pokusy – a začínají ho v počítači kousek po kousku stavět.

Pokud si někdo představuje počítačovou hru podobnou Simcity, ve které po obrazovce jezdí autíčka a běhají panáčci, bude zklamán. Podstata matematických modelů tkví v tom, že se z celé reality zaměří jen na to, co je pro zkoumaný děj důležité – při modelování epidemie jsou důležité především mezilidské kontakty napříč celým regionem. Vzdálenost bydliště jednotlivých osob sice také hraje roli, ale nesrovnatelně menší – člověk se nakazí mnohem spíše od blízkého kamaráda z vedlejší vesnice než od souseda. Více než jako mapa domů propojených silnicemi tak model vypadá jako mapa lidí propojených vztahy.

Pro ověření, že kontakty v modelu odpovídají realitě, slouží mimo jiné tato matice kontaktů podle věku. Řádky matice graficky zobrazují počty kontaktů příslušných věkových skupin s ostatními skupinami. Tmavší diagonála je důsledkem zvýšeného počtu kontaktů s osobami podobného věku – ve škole a později s partnery. Tmavší pásy nad a pod diagonálou naznačují mezigenerační kontakty, tmavý střed obrázku reflektuje kontakty na pracovištích. Čím více se matice blíží reálným datům, zjištěným z chování populace, tím jsou výstupy matematického modelu hodnověrnější.Graf Martin Šmíd

Je celkem jedno, jestli se panáčci v modelu setkali v hospodě U Pepy, nebo U Čendy, důležitý je fakt setkání a prostředí – nemoc se jistě přenese spíše v nevětrané špeluňce než na procházce lesem. V řeči zmíněné „mezilidské mapy“ si lze představit, že některé spojnice jsou silnější, těmi nákaza plyne snadněji, jiné tenčí, například ty pod širým nebem.

Práce na modelu ve zjitřené atmosféře pokračují na akademické poměry rychle a díky tomu, že digitalizace přece jen do našich končin už víceméně dorazila, daří se získat to nejdůležitější – data. Údaje o věkové, sociální a ekonomické struktuře obyvatel lze stáhnout z internetových stránek Českého statistického úřadu. Z OpenStreetMap získáváme polohy obchodů, restaurací a škol, z elektronických jízdních řádů frekvenci spojů. Polohy domů jsou na stránkách Českého úřadu zeměměřického a katastrálního. Samozřejmě že nelze zjistit, která konkrétní rodina bydlí v konkrétním domě, které dítě chodí do určité školy a kam se která rodina vydává nakupovat. Konkrétní školu či obchod musíme určit náhodně; základnímu účelu modelu by to ale nemělo příliš vadit, neboť jeho „zájmem“ jsou celková čísla.

Zmíněné geografické údaje jsou pro model cenné, avšak samy o sobě by nestačily. Mnohem důležitější než odpověď na otázku „kde na mapě“ je totiž znalost odpovědí „jak často“, „jak dlouho“ a „v jakém prostředí“. V tom má tým modelářů tak trochu štěstí. Průměrné počty kontaktů v různých prostředích – domov, práce, škola, zábava atd. – již popisuje odborná literatura, přičemž jedna studie odhaduje tyto počty dokonce přímo pro naši republiku.¹⁾ Agentura Median ochotně poskytuje výsledky svého výzkumu o životním stylu, ze kterých lze například odhadnout, kolikrát týdně bude typická rodina nakupovat. Odhady nakažlivosti v jednotlivých prostředích dodávají oslovení zdravotničtí odborníci. Další data, upřesnění a cenné rady se tým dozvídá od ochotných expertů. Doba je taková, že se všichni snaží pomáhat.

Někdy v půlce léta 2020 je model nejmenovaného města zhruba hotov. Výsledný graf má 60 tisíc uzlů – obyvatel – a přes dva miliony hran – vztahů. Průměrně má každý obyvatel města okolo deseti kontaktů denně. Pozorný čtenář, kterému tento údaj nesedí s počtem hran, má pravdu. Některé kontakty totiž nastávají jen občas – například ne každý návštěvník restaurace do ní chodí každý den.

V běžném akademickém provozu bychom nyní sepsali článek, zaslali jej do odborného časopisu a čekali na recenze; tři měsíce, někdy i rok. Tady se ale čekat nedá, poptávka po výsledcích je okamžitá. Vedle psaní odborného článku řeší tým například otázku, jak účinné je trasování a testování anebo jakou roli může v epidemii sehrát nelegální divoká oslava s padesáti účastníky pijícími z jednoho brčka.

Z výpočtů například vyplývá nesmírná důležitost důsledného trasování (viz rámeček Co model zjistil o trasování). Připadá vám to triviální? Nebuďte přísní, jsme teprve na začátku. Navíc jde o pádný argument pro aplikace typu eRouška. Že by si ji museli nejprve všichni nainstalovat, to je jiná věc.²⁾

Léto 2020 je v plném proudu a přichází dobrá zpráva: tým získává grant na přepracování modelu tak, aby byl použitelný nejen pro ono nejmenované město, ale pro jakýkoli menší region. Takže i náš starosta se dočká – výsledkem sice nebude „software do krabice“, ale to v dnešní online době snad už není problém. Klid na práci pro budoucí starosty však neustále narušují další prosby typu: „Když už ten model máte, mohli byste nám na něm spočítat X?“ Nejneodbytnějším X jsou školy. Jakkoli jejich otevření zatím nepřichází v úvahu, chtějí se zodpovědnější veřejní činitelé připravit na dobu, kdy to půjde.

Šťoural by mohl namítnout: jak mohou dělat tak dalekosáhlé závěry, když o školách mají jen pár nepřesných údajů? Snad takového pochybovače upokojí, že informace o kontaktech pocházejí z rozsáhlého dotazníkového šetření provedeného v jedné skutečné škole. Nenachází se sice v našem nejmenovaném městě, ale snad se školy zas tak moc neliší…

Postupné šíření infekce regionem v případě, že nejsou aplikována žádná omezení. Šedé tečky znázorňují zdravé obyvatele, červené nemocné, černé mrtvé. Je zjevné, že geografické hledisko nehraje velkou roli: nákaza se šíří napříč regionem v důsledku každodenního cestování do škol a za prací.Grafy Roman Neruda

Zmíněný školní výzkum představuje vlastně první ostré nasazení modelu, i když ten ještě není ani zdaleka hotový. To není ideální, na druhou stranu jde o cennou zkušenost, která týmu šetří několik slepých uliček a navádí jej na několik správných cest. A jestli se v čase, kdy tento text vyjde, bude chodit do školy „na střídačku“, bude v tom možná mít prsty právě náš model.

Pokud čekáte nějaký dramatický závěr, například že se pomocí modelu zjistilo něco převratného, budete zklamáni. Drtivá většina vědecké práce je jen velmi pomalý a piplavý postup o malý kousek vpřed. Snad jsem vás svým textem přesvědčil, že to může být také trochu dobrodružství.

A co bude s naším matematickým modelem dál? V první řadě je nutno spoustu operací, které jsme v původním modelu dělali „ručně“, zautomatizovat tak, aby náš starosta mohl zadat „vytvoř mi model Horní Dolní“, a za pár minut ho měl. Nevíme, jestli v té době ještě bude aktuální nákaza covidem-19, model ale nemusí sloužit jen pro tuto epidemii. Použitelný může být i u méně závažných onemocnění. Našemu starostovi například může dát odpověď na otázku, o kolik lidí méně onemocní chřipkou, když přesvědčí půlku lidí, aby se proti ní očkovali.

Znázornění kontaktů mezi žáky základní školy. Shluky odpovídají jednotlivým třídám. Čím silnější spojnice, tím větší intenzita kontaktu.Snímek Tomáš Diviak