Život bez nuly

Historie nuly patří k prastarým příběhům. Zatímco pro nás je dnes nula něčím přirozeným, v dávné minulosti ji lidé vnímali jako cosi cizího a obávaného. Pro některé kultury byla tak odpudivá, že se raději rozhodly žít bez ní. O strachu z nuly a jejím zrození píše Charles Seife v knize Nula. Životopis jedné nebezpečné myšlenky. Přinášíme vám ukázku.

Základní vlastnost nuly spočívá v tom, že ji v běžném životě užívat nepotřebujeme. Nikdo si přece nechodí nakoupit nulu ryb. Nula je svým způsobem „nejzjemnělejší“ ze všech základních číslovek a její užití si vynutily až potřeby kultivovaného způsobu myšlení. Alfred North Whitehead

Pro moderního člověka je obtížné si představit život bez nuly – asi tak, jako kdybychom se měli obejít bez sedmičky či čísla 31. Nicméně byly doby, kdy nula neexistovala – stejně jako tehdy scházela i sedmička a jednatřicítka.

Člověk nikdy nepotřebuje zacházet s nulou ovcí či s nulou dětí. Na to, aby člověk vyjádřil, že něco nemá, nepotřebuje speciální číslo. Nezdálo se ani nutné mít pojem vyjadřující, že něco neexistuje. A to je také důvod, proč se lidé tak dlouho obešli bez nuly. Nula prostě nebyla zapotřebí.

Schopnost rozpoznat určitý počet či množství měl už prehistorický člověk. Umění počítat se považovalo za dar mystický, tajemný stejně jako sesílání kouzel a vyvolávání bohů. V egyptské Knize mrtvých se praví, že Aqen, převozník duší přes řeku do říše mrtvých, nedovolil vstoupit na svou loďku nikomu, kdo si neuměl spočítat prsty. Aby duše mrtvého převozníka uspokojila, musela odříkat verše přepočítávající prsty. (Řecký převozník Charón na druhé straně vyžadoval za svou službu peníz, který se vkládal nebožtíkovi pod jazyk.)

Ačkoliv matematické schopnosti ve starověkém světě byly ojedinělé, čísla a základy počítání vždycky předcházely vzniku písemných systémů, schopnosti psaní a čtení. V dobách, kdy první civilizace začínaly otiskovat stébla rákosu do hliněných tabulek, vyrývat čísla do kamene a psát nejstarším inkoustem na pergamen a papyrus, už existovaly solidní základy početního systému. Převod ústně tradovaného početního systému do psané formy byl vcelku jednoduchý: bylo pouze potřeba vyřešit způsob zápisu tak, aby písař mohl slova vyjadřující čísla zaznamenat do trvanlivější podoby.

Už staří Egypťané byli docela dobří matematikové. Značných úspěchů dosáhli v astronomii a uměli zaznamenávat plynutí času. To přitom vzhledem k charakteru kalendářů vyžadovalo používat pokročilé matematické dovednosti.

Vznik vylepšeného solárního kalendáře ve starověkém Egyptě byl průlomem. Tato kultura se ale do historie zapsala jedním ještě větším objevem, totiž geometrií. I bez nuly se Egypťané stali matematickými mistry. Egypťané také uměli vypočítat objem řady těles, jako byly např. pyramidy. Egyptští matematici byli známí po celém Středomoří a je také pravděpodobné, že první řečtí matematici, mistři geometrie, k nimž patřili Thalés a Pythagoras, strávili nějaký čas v Egyptě. Přes veškerou vyspělost egyptské geometrie však nemáme ani jediný doklad o použití nuly.

Alespoň částečně to asi bylo způsobeno tím, že egyptská matematika se orientovala především na řešení praktických problémů. Egypťané dosáhli obrovských pokroků v měření objemů, počítání dní a času, nedostali se však dál než k násobení. Matematika však nebyla používána v teoretických disciplínách, snad jedině s výjimkou astrologie. Důsledkem bylo, že ani nejlepší matematikové nedokázali aplikovat principy geometrie bez vazby na reálný svět – neuměli převést matematické poznatky do systému abstraktní logiky. Matematika se ani nestala součástí jejich filozofie. Naproti tomu Řekové byli jiní, pronikli do světa abstraktního myšlení a filozofie a přivedli matematiku na úroveň, kterou nikdo nepřekonal po celý starověk. Ale ani oni neobjevili nulu. Nula totiž nepřišla ze západu, nýbrž z východu.

Zrození nuly

V dějinách kultury bude objev nuly znamenat vždycky jeden z největších úspěchů lidského rodu. Tobias Danzig, Číslo – řeč vědy.

Řekové rozuměli matematice lépe než Egypťané. Jakmile zvládli egyptskou geometrii, překonali řečtí matematici rychle své učitele.

Jejich číselný systém byl zpočátku podobný egyptskému. Řekové také používali desítkovou číselnou soustavu a existoval jen malý rozdíl mezi způsobem, jímž obě kultury zaznamenávaly svá čísla. Namísto egyptských obrázků zapisovali Řekové čísla jednotlivými písmeny své abecedy. Např. stovka se psala jako H (eta) neboli hekaton.

Řekové později tento primitivní systém překonali a vyvinuli podstatně sofistikovanější způsob zápisu. Už někdy před rokem 500 př. n. l. přešli na systém zápisu pomocí speciálních písmen pro čísla 2, 3, 300 a mnoho dalších. Tak např. zápis čísla 87 by v egyptské soustavě vyžadoval 15 symbolů: 8 kopečků a 7 svislých čárek. V novém řeckém systému postačily pouze dva symboly: π pro 80 a δ pro 7. (Římský způsob zápisu, který později vytlačil řecký, představoval krok zpět k méně propracovanému egyptskému systému. Zápis čísla 87 římských způsobem vyžaduje 4 různé symboly, z nichž se některé opakují, celkem je tedy potřeba napsat sedm symbolů.)

Ačkoliv řecká početní soustava byla mnohem dokonalejší než egyptská, stále nepředstavovala nejlepší starověký systém. Tento primát totiž náleží východnímu objevu: babylonskému početnímu systému. A díky němu se v oblasti Úrodného půlměsíce, na území dnešního Iráku, můžeme konečně setkat s nulou.

Na první pohled vypadá babylónská soustava jako poněkud úchylná. Tak za prvé, systém je založený na čísle 60 (je tedy šedesátkový neboli sexagesimální). Jde o zvláštní volbu, zvlášť pokud si připomeneme, že většina lidských společenství si za základ početního systému vybrala čísla 5, 10 či 20. A za druhé, Babylóňané používali pro vyjádření počtu pouze dva znaky – klín, který představoval číslici 1, a dvojitý klín odpovídající číslici 10. Základními prvky početního systému byly skupiny a podskupiny těchto značek, vyjadřující čísla až do 59 podobně, jako základními prvky řeckého způsobu zápisu byla písmena a egyptského zápisu obrázky. Naprostou odlišností starověkého Babylónu ale bylo to, že namísto existence různých symbolů pro jednotlivá čísla (jak tomu bylo v řeckém a egyptském systému) mohl každý z babylónských symbolů znamenat několik různých čísel. Tak např. jednoduchý klín mohl odpovídat číslům 1, 60, 3 600 a tak dále.

Dnes se nám takový systém zdá podivný, ale starověkému člověku sloužil dokonale. Šlo o jakýsi ekvivalent doby bronzové pro současný počítačový kód. Babylóňané stejně jako některé jiné národy vynalezli skutečně také zařízení, která jim usnadňovala počítání. Nejznámějším z těchto počítadel je abakus. V Japonsku je znám jako soroban, v Číně jako suan-pan, sčot v Rusku, coulba v Turecku, choreb v Arménii a pod různými jmény v řadě dalších jazyků. Funkce abaku je založena na přeskupování kamínků podle určitých pravidel. Slova calculate, calculus a calcium všechna pocházejí z latinského výrazu pro oblázek: calculus.

Sčítání na abaku je stejně jednoduché jako posunování oblázků nahoru a dolů. Kameny v různých sloupcích znamenají různé hodnoty a manipulací s nimi může zručný uživatel abaku sčítat značnou rychlostí. Když je výpočet u konce, jediné, co se musí udělat, je podívat se na konečnou pozici kamínků a převést ji zpět na odpovídající číslo – což je velmi jednoduchá operace.

Babylónský systém počítání byl podobný jako abakus, zapsaný symbolicky do hliněné tabulky. Každé seskupení symbolů reprezentovalo určitý počet kamenů, které se předtím posunuly na abaku, a stejně jako každý oddíl – sloupec abaku, mělo každé uskupení znaků hodnotu závisející na jeho pozici. Až potud nebyla babylónská početní soustava příliš odlišná od té současné. Každá 1 v čísle 111 znamená rozdílnou hodnotu. Zprava doleva vyjadřují jedničky postupně čísla jedna, deset a sto.

Babylonský symbol klínu v uskupení tří klínů znamenal podobně jeden, šedesát nebo 3 600 – opět podle umístění. Fungování takového systému bylo podobné jako u abaku, ovšem až na jednu výjimku. Jak by Babylóňan měl napsat číslo 60? Záznam čísla 1 je jednoduchý – jeden klín. Jeden klín ale bohužel znamená také 60; jediný rozdíl je v tom, že v tomto případě je klín namísto první pozice na pozici druhé. Na abaku se to snadno podle umístění pozná. Jeden kamínek v prvním sloupci lze od jednoho kamínku ve druhém sloupci rozlišit celkem jednoduše. Při zápisu čísla na hliněnou tabulku to však neplatí. Babylóňané neměli možnost rozpoznat, v jaké pozici (odpovídající sloupci abaku) byl dotyčný symbol zaznamenán. A obtíže se ještě zvětšovaly, pokud šlo o více symbolů spojených dohromady. Dva symboly klínů vedle sebe mohly znamenat čísla 61, 3601, 3 660 nebo dokonce ještě vyšší hodnoty. Řešením problému byl objev nuly.

Někdy kolem roku 300 př. n. l. se v Babylóně začal používat symbol dvou šikmých klínů, který reprezentoval prázdné místo odpovídající volnému sloupci v abaku. Takový speciální symbol, znak pro obsazení prázdné pozice umožnil snadno rozeznat, na jaké „místo“ byly zapsány symboly klínů. Před zavedením nuly mohly dva klíny vedle sebe znamenat 61 nebo 3 601. Jakmile se začala používat nula, mohly dva klíny znamenat už pouze číslo 61. Nula se tak zrodila z potřeby dát danému sledu symbolů pro čísla jednoznačný význam.

Ačkoliv nula byla užitečná, měla význam jen jako znak pro obsazení prázdné pozice, který v abaku odpovídal sloupci, v němž není žádný kámen. Pro Babyloňany znamenala nula jistotu, že všechny znaky jsou na správných místech. Takto chápané dva šikmé klíny neměly de facto žádnou vlastní numerickou hodnotu. Konec konců, 000 002 148 znamená i dnes totéž jako 2 148. Nula byla chápána jako formální znak, nikoli číslice a nepředstavovala žádné číslo, neměla žádnou hodnotu.

Hodnota nuly vyplývá z jejího umístění na číselné ose – tedy z její pozice mezi ostatními čísly. Například číslice dvě patří v posloupnosti před trojku a za číslici jedna, nikam jinam. Prvním číslem této posloupnosti ale nula zpočátku nebyla.

Šlo o pouhý symbol a jako takový vůbec nenáležela do hierarchie čísel. Dokonce ani dnes někdy nepočítáme s nulou jako se skutečným číslem a používáme ji jen jako prostředek, umožňující vyplnit prázdné místo, ačkoliv víme, že má také svou vlastní hodnotu.

Podívejte se na telefon nebo na horní část klávesnice svého počítače. Nula je až za devítkou, nikoli před číslicí jedna, kam správně patří. Jakoby nezáleželo na tom, kam nulu coby symbol pro obsazení volného místa umístíme a v posloupnosti čísel ji můžeme zařadit kamkoliv. Dnes každý ví, že nula nemůže ležet kdekoli v řadě čísel, protože má svou vlastní velikost. Je to číslo, které odděluje kladná a záporná čísla. Je to sudé číslo a předchází celému číslu jedničce. Nula musí být zařazena v řadě čísel na svém správném místě – před jedničkou a za zápornou jedničkou. Nikde jinde by nedávala smysl. Nicméně nula i dnes stále ještě zůstává na počítačích a telefonech uváděna na posledním místě – to proto, že počítat vždy začínáme od jedné.

Jednička se sice zdá být vhodnou volbou místa, odkud začínáme počítat, ale nule tímto způsobem přiřadíme nepřirozenou pozici. Příslušníkům jiných kultur, jako byli např. Mayové žijící na území dnešního Mexika a dalších zemí střední Ameriky, se počítání od jedné naopak rozumné nezdálo. Mayové měli početní systém a kalendář uspořádaný logičtěji, než je mají naše současné systémy. Pro zápis čísel používali Mayové stejně jako Babylóňané pozičně-hodnotového systému znaků.

Jediný skutečný rozdíl spočíval v tom, že namísto šedesátkové soustavy Babylóňanů používali Mayové soustavu dvacítkovou, která do sebe zahrnula pozůstatky staršího desítkového systému. Stejně jako Babyloňané potřebovali i Mayové nulu pro označení prázdné pozice, kam patří číselný znak. Aby to bylo ještě zajímavější, Mayové měli dva typy číslic. Zatímco jednoduchá varianta využívala teček a čárek, složitější způsob zápisu byl založen na tzv. glyfech – vyobrazení groteskních obličejů. Modernímu oku připomínají mayské glyfy něco jako obličeje mimozemšťanů.

Podobně jako Egypťané používali i Mayové vynikající solární kalendář. Na rozdíl od Egypťanů však Mayové měli ve své početní soustavě nulu, takže pro ně bylo přirozené začít počítat právě od tohoto bodu. Každý mayský měsíc měl 20 dní, které se označovaly 0 až 19, nikoli jako v současnosti od 1.

Mayský systém dával větší smysl než náš současný. Protože západní kalendář byl vytvořen v dobách, kdy ještě nebyla známa nula, nikdy nemáme žádný den označený jako nulový a ani žádný rok nula. Toto zdánlivě nedůležité opomenutí způsobilo řadu problémů; stálo například v jádru sporu o začátek nového tisíciletí. Mayové by se nikdy kvůli tomu, zda 21. století začíná rokem 2000 nebo 2001, nepřeli. Však to také nebyli oni, kdo položili základy našeho kalendáře; to udělali Egypťané a později Římané. Proto se dodnes potýkáme s problémovým kalendářem bez roku nula.

Neznalost nuly tak způsobila nedostatky našeho kalendáře a byla špatná i pro budoucnost západní matematiky. Řekům a Římanům se bohužel nula natolik nelíbila, že raději lpěli na svém způsobu podobném zápisu egyptskému, než aby přešli na soustavu babylónskou, ačkoliv ta byla pro uživatele jednodušší. Vzhledem k složitosti výpočtů potřebných pro vytvoření astronomických tabulek se ovšem řečtí matematikové rozhodli převádět systém jednotkových zlomků do babylónské šedesátkové soustavy, zde provést příslušné operace a výsledky pak transformovat zpět.

Mohli si ušetřit několik časově náročných kroků. (Všichni víme, že převádět zlomky sem a tam je skutečně velká zábava!) Staří Řekové ale odmítali nulu do svého zápisu zahrnout bez ohledu na to, že její užitečnost viděli. A důvod? Nula byla nebezpečná.

Nebezpečné vlastnosti nuly

Na úsvitu věků jen Ymi vládl, nebylo moře, ni mohutných vln, nebyla země, ni nahoře nebe, jen pustá, bez trávy zela propast. Starší Edda (překlad Ladislav Heger)

Je obtížné si představit, že někdo má strach z čísla. Ale nula byla neúprosně spokojována s prázdnotou – představovala nic. Prázdnota a chaos vzbuzovaly odedávna hrůzu a podobné obavy měl člověk i z nuly.

Ale strach z nuly nepramenil jen z pocitů nejistoty a prázdna, jeho kořeny byly hlubší. Ve starověku vnímali lidé matematické vlastnosti nuly jako nevysvětlitelné, byly podobně jako zrod vesmíru zahaleny jakýmsi hlubokým tajemstvím. To proto, že nula není stejná jako ostatní čísla. Na rozdíl od ostatních znaků pro čísla nesměla nula v babylónském systému nikdy stát sama – a to z dobrého důvodu. Osamocená nula se totiž vždy projevuje nějak nepatřičně, přinejmenším se nechová jako jiná čísla.

Zatímco násobení nulou boří číselnou osu, dělení nu­lou ničí celý rámec matematiky. Takové na první pohled jednoduché číslo – a jakou má obrovskou moc! V matematice se stalo nejdůležitějším nástrojem. Ale díky svým podivným matematickým a filozofickým vlastnostem se nula současně mohla snadno dostávat do rozporu se základy západní filozofie.

Ukázka z knihy Nula. Životopis jedné nebezpečné myšlenky. Vydalo nakladatelství Dokořán,  2011.