Nejošemetnější z čísel

Jak dělení nulou akcelerovalo vývoj přírodovědy. Jak se filosofické vakuum proměnilo ve vakuum fyzikální. A proč už nemusíme mít hrůzu z prázdnoty.

Pokud se rozpomeneme na školní hodiny matematiky, pak tanečky kolem nuly v nich dozajista nebudou chybět; mně třeba okamžitě tanou mantry jednoho z mých učitelů. Při násobení nulou říkával: „Už praotec Čech věděl, že nula od nuly pojde!“ A pokud se někomu z nás v řešení rovnice podařilo vpašovat nulu do jmenovatele, konstatoval s chmurným zadostiučiněním: „Když Stvořitel uvedl Adama do matematického ráje, řekl mu: ´Smíš dělit čím chceš, jenom nulou ne! Ty, hochu, do ráje matematiků rozhodně nepřijdeš…´“

Na téma nula (hezky česky nicka), nic, prázdnota (tedy nic v prostoru) dokonce vycházejí celé knihy; z kategorie popularizačních u nás kupříkladu Nula Charlese Seifeho či Teorie ničeho Johna D. Barrowa.

Vzhledem k následujícímu textu zde nutno připomenout jen dvě věci: 1. Nuly jsou (přinejmenším) dvě: nula ryzí, přesná, kvůli fyzikálním asociacím nechci říkat absolutní (třeba 2 – 2), jejímž opakem, přísně vzato, je všechno, a nula asymptotická, limitní (1 – 0,9999… nebo 1 : ∞), jejímž opakem je nekonečno. První je užitečný matematický konstrukt, druhá popisuje některé významné fyzikální reálie (termodynamická, tzv. absolutní teplotní nula; vakuum; bodové objekty a zdroje, třeba černé díry). 2. Jak vidno výše, nula úzce souvisí s nekonečnem, jsou to dvě strany téže mince. 1 : 0 = ∞ a 1 : ∞ = 0 (ale – jak jinak u nuly – zkoušky násobením neplatí). Jinak řečeno, kde občas bývá ve fyzice něčeho nula (třeba objemu v černé díře), tam je něčeho jiného nekonečno (třeba hustoty hmoty tamtéž).

Hledání nových počtů

S rozvojem přírodních věd v 17. století stále častěji vyvstávala potřeba počítat s nekonečně malými přírůstky funkce. Například Galileo, pokud chtěl při studiu volného pádu zjišťovat okamžitou rychlost, rozkládal čas na dílky. Čím přesněji ji chtěl změřit, tím menší musely být časové intervaly, přičemž ideální by byly nekonečně malé. Prakticky to dělal tak, že drážku na proměnlivě naklonitelné rovině, po které spouštěl kouli, opatřil osmi strunami laděnými například do oktávy či do nápěvu jednoduché písničky. Časomírou mezi tóny mu pak nebyl jen tepot srdce, ale i smysl pro rytmus zděděný po otci –  skladateli a učiteli hudby.

Geometricky šlo tyto nepatrné přírůstky hodnot proměnných znázornit tečnou ke křivce funkce v daném bodě.

Opačným problémem pak bylo vypočítat plochu, která je (v pravoúhlých souřadnicích) ohraničena jednou horizontální a dvěma vertikálními přímkami a křivkou vyjádřitelnou pomocí funkce. To je problém na první pohled ryze geometrický, ovšem skutečně jen na první pohled; má totiž obrovský fyzikální dosah – lze tak vypočítávat součiny proměnných veličin v určitém intervalu jedné z nich, tehdy hlavně dráhu uraženou proměnnou rychlostí (volný pád, oběhy planet), popřípadě snad ještě práci vykonanou rozpínajícím se plynem, abychom zůstali u problémů té doby.

Dosud se to nejčastěji dělalo tak, že se plocha pod křivkou funkce rozdělila na úzké nudle považované za obdélníky, a jejich plochy se sečetly. I tady bylo zřejmé, že čím užší proužek, tím přesnější výsledek. Takováto hnidopišská trigonometrie byla pracná, otravná a nedávala obecné ani kdovíjak přesné výsledky; to má být matematika?

Badatelé se snažili najít řešení pomocí funkcí (dnes bychom řekli prostředky matematické analýzy), někteří se dostali na správnou cestu, někteří z některých po ní téměř, téměř dorazili k cíli, ale ten rubikonský „malý krůček pro člověka, ale velký skok pro lidstvo“ neudělali. Obecnou metodu určování tečen a ploch včetně jejich vzájemné souvislosti (jeden proces je opakem druhého) mohl odhalit jen člověk, který dokonale ovládal moderní geometrii i algebru, který se nebál a – který byl geniální. Našli se dva – Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz.

Jak dělit nulou

Roku 1665 byla kolej v Cambridgi na půldruhého roku uzavřena kvůli morové epidemii. Čerstvý bakalář svobodných umění Isaac Newton se uchýlil do rodného domu na venkově a tam v klidu přemýšlel o svých záležitostech – o pohybu těles a o jejich přitažlivosti. Přitom neustále narážel na problémy okamžitých změn rychlostí nebo třeba ploch průvodičů planet při oběhu kolem Slunce podle 2. Keplerova zákona. Aby tyto proměnné veličiny nemusel do omrzení porcovat a potom je zase dávat dohromady, nýbrž regulérně s nimi počítat, nezbylo mu než vymyslet pro to nějaký obecně platný algoritmus (po našem – analytické řešení).

Isaac Newton, autorem portrétu Godfrey Kneller.Public Domain

Aniž bychom se tu pouštěli do podrobností (blíže viz např. Nula Charlese Seifeho, str. 132), Newton počítal s nekonečně malými (prakticky nulovými) přírůstky proměnných, což by nevadilo, ale on těmi přírůstky (v podstatě asymptotickými nulami) na jedné straně dělil (neboť nebyly dost nulové), na straně druhé zanedbával jejich druhé a vyšší mocniny (neboť byly dost nulové)! A tady se projevily nejen Newtonův talent, nejen znalosti, ale především intuice – jeho metoda derivování (tím pádem i integrování coby opaku), jakkoli spočívala na zakázaných matematických operacích, fungovala.

Fyzikové se ocitli na vážkách: mají nové počty zatratit kvůli špatnému postupu během jejich vytváření, nebo se nechat koupit správným výsledkem? Tím spíš, že většinu pochodů v přírodě popisují právě diferenciální, nikoli obyčejné rovnice. Můžete třikrát hádat, jak se rozhodli – ano, vzali je za své, i když v tomto případě spíš jako víru než vědu. Ale zareagovali jako praví vědci: hned si začali lámat hlavu, jak nedostatky metody fluxí a kvadratur (jak ji Newton nazýval) odstranit.

První krok očištění od nul (a nekonečen) učinil v roce 1696 autor první učebnice nového počtu Guillaume de l´Hospital svým pravidlem (považte, velevýznamný výsledek je publikován v učebnici!), druhý pak v roce 1754 Jean Le Rond d´Alembert vynálezem pojmu limita funkce. Ale to už je zase jiný příběh. V každém případě zde dokonale pasuje myšlenka jednoho z proroků matematiky 20. století Felixe Kleina: „Bez pomoci matematiky nemohou přírodovědci proniknout do tajemství vesmíru, ale bez otázek, které přírodovědci matematice kladou, by zůstala stát.“ Jakkoli ji autor vztahoval k problémům moderní fyziky, tedy kvantové teorie a teorie relativity, platí univerzálně.

Čí je panna?

Z Newtonovy korespondence je dokázáno, že novou matematiku znal od listopadu 1665 a běžně ji pak používal v přednáškách. Její publikování však v tu dobu nepokládal za důležité.

V roce 1673 na delší dobu navštívil Londýn významný německý matematik a filosof Gottfried Wilhelm Leibniz. S Newtonem se nejspíš osobně nesetkal, je ale skoro jisté, že se jako špičkový badatel v branži seznámil s jeho novou početní metodou.

Zhruba v téže době pak začíná ve svých poznámkách používat diferenciální počet a o něco později i počet součtový (pojem integrální a integrál Leibniz zavedl na návrh švýcarského matematika Johanna Bernoulliho až roku 1690). První druh kalkulu publikoval Leibniz roku 1684, druhý o dva roky později. V žádném z nich nebyla o Newtonovi zmínka.

Gottfried Wilhelm von Leibniz. Autorem portrétu Christoph Bernhard Francke.Public Domain

Teprve takto podnícen, zařadil Newton přehled svých fluxí a kvadratur (včetně citace Leibnize) do prvního vydání legendárních Matematických základů přírodovědy (tzv. Principií, 1687). Úplný výklad vydal roku 1693.

O prvenství objevu či vynálezu zpravidla nerozhoduje datum jeho objevu, které se hůře prokazuje, nýbrž datum zveřejnění. Zde však byl Newtonův odstup let mezi objevem a publikováním nevývratně doložen…

Mezi oběma učenci se rozpoutala verbální řež o prioritu, která pravděpodobně nemá v dějinách vědy obdoby.

„Fluxe jsou jen špatně maskovaným opisem mého vlastního díla,“ napsal roku 1704 Leibniz v posudku na jednu Newtonovu publikaci.

„A tak Leibniz metodu, které si žádal, o kterou prosil, kterou přijal a kterou s obtížemi pochopil, nakonec i objevil…,“ kontroval sarkasticky Newton.

Dopadlo to tak, že Leibniz, dodrážděný až k nebetyčné naivitě, se roku 1711 obrátil přímo na Královskou společnost v Londýně s žádostí o rozsouzení. Společnost ustavila speciální vyšetřovací komisi, která po dvou letech dala za pravdu Newtonovi a z plagiátorství obvinila Leibnize.

Mělo to jedinou chybičku: prezidentem Společnosti byl tehdy Newton a – jak se po letech zjistilo – byl i autorem ne-li zprávy samé, tedy určitě alespoň komentáře k ní.

Tři roky nato Leibniz umírá. Ještě po jeho smrti prý Newton vyjádřil velké zadostiučinění z toho, že se mu podařilo „zlomit Leibnizovi srdce“.

Samotná matematická obec se zprvu přikláněla k prvenství Němce, ale postupně uznala prioritu Britovu.

Dnes převládá názor, že oba géniové na to přišli nezávisle na sobě; Newton dřív, Leibniz pak v úplnější a především srozumitelnější formě včetně návrhu dodnes platných označení derivace a integrálu. V tomto ohledu celá záležitost připomíná Němcové pohádku Moudrý zlatník: Čí je panna – toho, kdo ji vyřezal, kdo ji ošatil, nebo kdo jí dal řeč?

Tajemství koštýře

První velký boom v západním abstraktním myšlení nastal před zhruba 2500 lety. Není tedy divu, že bystří Starořekové začali přemýšlet i o prázdnotě. První podle všeho Pythagoras. Jak známo, on i jeho stoupenci věřili, že všechno lze vyjádřit čísly, a to čísly přirozenými, jiná neuznávali (traduje se, jeden z členů tajného bratrstva pythagorejců, jistý Hippasus, byl svými souvěrci svržen z lodi a utopen – podle jiné verze zaživa zazděn – za to, že veřejnosti prozradil existenci iracionálních čísel). Takže ano, „prázdno existuje… Je to prázdno, které drží věci v odloučení jako nějaký druh separace a oddálenosti věcí. Totéž je především a nejvýše pravdivé pro čísla, neboť prázdno je činí oddělenými“.

O něco později Leukippos a pokračovatelé soudili, že všechna hmota je složena z nepatrných částic, které jsou věčné, nedělitelné, neměnné. Tyto atomy (atomos je řecky „nemající části“) se pohybují prázdným prostorem nutným k tomu, aby mohly svým pohybem umožňovat běh světa. Prázdnotu, kterou pythagorejci potřebovali pro oddělení čísel, atomisté vyžadovali k oddělování atomů.

Zhruba ve stejné době Empedoklés během svých výzkumů lidského dýchání a povahy vzduchu jako první hlouběji reflektoval chování koštýře: je-li koštýř nahoře ucpaný prstem ponořen, víno do něj nevteče, avšak sotva horní ústí uvolníme, víno koštýř ihned naplní. Když pak koštýř vyndáme nahoře ucpaný prstem, víno v něm zůstává, ale vyteče, jakmile prst (nejlépe nad číší) oddálíme. Závěr, že příroda nechce vytvářet prázdno, je nabíledni.

Empedoklův současník Anaxagoras měl zřejmě rovněž kladný vztah k vínu a pokusy s koštýřem rozšířil o stlačování vzduchu uvnitř vypitých vinných měchů, čímž ukázal, že vzduch při stlačení klade odpor. Z toho vyvodil, že vzduch není totéž co prázdno a že pro existenci prázdného prostoru neexistují žádné důkazy.

Koštýř.Alensha (Public Domain)

Rozhodující vliv na další vývoj vztahu k prázdnotě však měl nejvýznamnější antický učenec Aristoteles. Podle jeho představ byl svět soustavou konečného počtu soustředných otáčivých sfér, od vnitřní, měsíční, přes sféry planet, Slunce, hvězd. Za nimi pak není nic, jen konec světa. Země v samém středu světa trůní nehybně, jí nejbližší sféra tedy musí být rozhýbána vnější sousedkou atd. Jenže kdo roztáčí poslední sféru, tu nejvzdálenější? Přece prvotní hybatel! Bůh.

Aristotelův obraz světa tedy přímo předpokládal existenci Boha. To byl důvod, proč křesťanství Aristotela nadšeně přijalo, jakož i urputně hájilo. Včetně jeho nechuti k prázdnotě. Jinak řečeno, jakékoli pochybnosti byť o detailu Aristotelova učení (neexistenci vakua) se rovnaly pochybnostem o samotné existenci Boží.

Došlo to tak daleko, že někteří středověcí teologové označili prázdnotu za samo zlo a zlo chápali rovnou jako prázdnotu.

Tajemství koštýře šlo na více než dvě tisíciletí k ledu.

Štrapáce za (vzducho)prázdnem

Poučku, že příroda má hrůzu z prázdnoty (horror vacui) a kdo tomu nevěří, je kacíř, jako první naboural – kacíř. Nerovný střet Galilea s církví o heliocentrismus, jak známo, skončil Mistrovým pokáním a domácím vězením, v němž musel trávit posledních devět let života. Navzdory těmto strastem však florentskému géniovi nemohly ujít problémy, se kterými se potýkali místní studnaři – voda se nedala nasát výš než nějakých deset metrů.

„Když jsem si tohoto jevu povšiml poprvé, myslel jsem si, že stroj je v nepořádku, avšak pumpař, kterého jsem žádal o opravu, mi řekl, že chyba není v pumpě, ale ve vodě, která poklesla příliš nízko, než aby mohla být zvednuta do takové výše; připojil, že není možné pumpou ani žádným jiným strojem pracujícím na podobném principu zvednout vodu ani o vlásek nad osmnáct kubitů; ať je pumpa velká nebo malá, taková je konečná hranice zvedání.“

Nutkání vyprazdňovaných prostorů nasávat do sebe věci se zdála podporovat tezi o horror vacui, Galileovi to ale nestačilo. „Proč má příroda strach z prázdnoty zrovna a jenom do deseti metrů, a výš už ne?“ vrtalo mu hlavou.

Záhadu vyřešil během roku 1643 jeden z Galileových žáků a jeho poslední tajemník Evangelista Torricelli (Galileo zemřel počátkem roku 1642).

Torricelli si uvědomil, že atmosféra Země má hmotnost a tlačí na zemský povrch. Tušil, že to je pravou příčinou, proč se vzduch snaží zaplnit každé vytvářené vakuum… Jenže, pokračovat ve výzkumu s vodou bylo trudné – laborujte s výškou deset metrů! Při použití kapaliny hustší než voda by operační výška byla úměrně menší. Vůbec nejhustší kapalinou je rtuť. A co víc, Torricelli to vymyslel tak, že ke zvedání rtuťového sloupce nepotřeboval pumpu!

Toricelliho rtuťový barometr

Přichystal si necelý metr dlouhou skleněnou trubici na jednom konci zatavenou, na druhém otevřenou. Naplnil trubici rtutí až po okraj, zakryl otevřený konec prstem, pak trubici převrátil a kolmo ponořil otevřeným koncem pod hladinou rtuti v misce. Jakmile prst uvolnil, hladina rtuti v trubici poklesla. Ustálila se okolo očekávaných 76 cm nad hladinou v misce, bez ohledu na šířku trubice. Torricelli tak jako první proměnil spekulativní vakuum filosofů v reálné vakuum fyzikální. 11. června 1644 v dopise příteli píše: „Mnoho lidí tvrdilo, že není možné vytvořit vakuum; jiní mysleli, že to možné být musí, ale jen s obtížemi a po překonání jistého přirozeného odporu. Nevím, zda někoho napadlo, že to lze udělat snadno a žádný přirozený odpor se překonat nemusí… Žijeme na dně oceánu tvořeného prvkem vzduchu; tento vzduch bezpochyby něco váží… Na povrchu země je fakticky vzduch čtyřistakrát lehčí než voda… Že váhu vzduchu určil Galileo, je pravda pro výšky obvykle obývané lidmi a živočichy, ale nikoli pro dostatečně vysoké horské štíty; tam je vzduch mimořádně čistý a mnohem lehčí než jedna čtyřsetina váhy vody.“

Další cesta se přímo nabízela, proč se po ní Torricelli nevydal? Inu, coby Galileův nástupce na postu dvorního matematika toskánského velkovévody měl mnoho vědeckých zájmů (mimo jiné patřil mezi ty, kdož se přiblížili k diferenciálnímu počtu) i společenských povinností. Jistě si také pamatoval problémy svého učitele, stejně jako věděl o upálení Giordana Bruna za (zčásti i přírodovědecké) kacířství. Navíc už v roce 1647 v pouhých devětatřiceti zemřel na tyfus.

V roce 1646 se o vakuum a atmosférický tlak začal zajímat kromobyčejně talentovaný mladík Blaise Pascal. Mimo jiné chtěl potvrdit Torricelliho domněnku, že vzduch je ve velké výšce řidší. Požádal tedy svého venkovského švagra Florina Périera, aby srovnal hladiny rtuti v Torricelliho trubici na úpatí a na vrcholu místní hory. Stalo se koncem léta 1648 za přítomnosti důvěryhodných svědků.

Experimentátoři připravili dvě stejné trubice a změřili v nich výšku rtuti v zahradě kláštera v Clermontu. Jednu tam ponechali, druhou vynesli na horu Mount Puy de Dôme vysoké 1465 m n.m. Hladina rtuti mezi klášterem a vrcholkem poklesla o 8,25 cm.

Řídnutí vzduchu s výškou vedlo Pascala k úvahám, co je nad atmosférou? Obklopuje Zemi vakuum, nebo tam „něco“ je? Ale to už se dostáváme k problematice světového éteru, kosmického vakua, termodynamické teplotní nuly, kvantové teorie… což není tématem tohoto textu. Zde se omezme na mnohoslibnou myšlenku britského astrofyzika Martina Reese: „Fyzikové chápou vakuum jako svět, který v sobě v latentní podobě obsahuje veškeré částice a síly. Je to mnohem bohatší substance než prázdnota filosofů.“

Poslechněte si také: Hledání vesmírného nic

Čtěte také: úryvek z knihy Charlese Seife Život bez nuly