Neexistence množiny všech přirozených čísel

V tomto pojednání¹⁾ je zřetelně vysloveno to, co od šedesátých let 20. století mnozí matematikové podvědomě cítili, ale obávali se vynést na světlo. Totiž že obor všech přirozených čísel není aktualizovatelný, následkem čehož množina všech přirozených čísel neexistuje. Tato skutečnost odsunuje celý svět klasické infinitní množinové matematiky, založený právě na existenci množiny všech přirozených čísel, mezi pouhé iluze. V tomto iluzorním světě matematiky 20. století však bylo mnoho krásného a důmyslného vykonáno, takže jeho podlomení způsobené vyvrácením jeho základního kamene by mohlo být považováno za čin barbarský.

Ve sporu mezi krásou a pravdou jsem se rozhodl pro pravdu teprve až v roce 2010, kdy jsem zjistil, že i integrální kalkul se bez existence množiny všech přirozených čísel nejen obejde, ale že taková dieta prospívá jak jeho kráse, tak jeho účelnosti.

Iluzornímu světu klasické množinové infinitní matematiky by neméně dobře prospělo, kdyby byl ve své původní novobarokní podobě (to je bez nejrůznějších kýčovitých doplňků) uložen do muzea vzácných artefaktů lidského ducha.

Aktuální nekonečno

K zúžení a vyhrazení pojmu nekonečna došlo již někdy při prvních střetech křesťanské teologie s antickou vědou. Tehdy byly potlačovány ty významy tohoto pojmu, které poukazují na neurčitost, neuchopitelnost a nejistotu. Novověká věda – spolu s vlivnými částmi filosofie a teologie, jež jsou s ní svázány – pak od takových významů pojem nekonečna zcela očistila.

K našemu prvotnímu setkání s takto vykládaným nekonečnem dochází u ostře vymezených nekonečných dění, to znamená při čerpání nějakých stálých, přesně určených, leč nevyčerpatelných možností. Tak je tomu při opakovaném přičítání jedničky k nějakému číslu, při opakovaném prodlužování úsečky o danou délku v klasickém geometrickém prostoru a podobně. Tato podoba nekonečna obdržela název nekonečno potenciální. Na takovéto dění má totiž nekonečno vliv, těchto dění se zmocnilo, jemu tato dění podléhají. Naproti tomu aktuálním nekonečnem rozumíme tu podobu jevu nekonečna, která se ukazuje na díle vytvořeném vyčerpáním všech příslušných nevyčerpatelných možností. Tak například řekneme-li, že posloupnost přirozených čísel 1, 2, 3… je potenciálně nekonečná, pak tím rozumíme, že vytvořeno je vždy jen konečně mnoho těchto čísel, avšak vždy lze vytvořit nějaká další. Řekneme-li, že je tato posloupnost aktuálně nekonečná, pak tím rozumíme, že všechna přirozená čísla jsou již vytvořena (a žádné další tedy již vytvořit nelze). Podobně je i zmíněné prodlužování úsečky potenciálně nekonečné; dílo, jež po všech těchto prodlužováních vznikne, již není úsečka, ale přímka (popřípadě polopřímka), na níž se již nekonečno ovládající toto dílo projevuje ve své vítězné, aktuální podobě.

Cantorova teorie množin

Postulát vytvořit aktuálně nekonečnou množinu je úkol, který nedovede splnit žádný člověk, ba ani žádný olympský bůh. Podle Bolzana je řešitelem tohoto úkolu teprve až samotný Bůh (rozumí se Bůh středověké a barokní racionalistické teologie).

Téhož názoru byl i Georg Cantor (1845–1918), který znal Bolzanovy Paradoxy nekonečna. Ten pak, podporován několika významnými německými katolickými teology, začal využívat schopnosti tohoto Boha při zacházení s nekonečnými množinami. Jím vypracovaná (a poněkud jiným směrem než Bolzanem vedená) teorie aktuálně nekonečných množin, zahrnující teorii ordinálních a kardinálních nekonečně velkých čísel, je známa pod názvem Cantorova teorie množin.

Hned od začátku 20. století začala tato teorie kolonizovat matematiku. Činila to tak, že různé matematické struktury byly vykládány jako její součásti. Následkem toho se Cantorova teorie množin stala světem veškeré matematiky. V tomto světě pak Bůh středověké a barokní racionalistické teologie hrál téměř stejnou úlohu jako Zeus v antickém geometrickém světě.

Krátce řečeno, Cantorova teorie množin se stala světem veškeré matematiky. V přednášce na sjezdu matematiků v Münsteru roku 1925 u příležitosti 110. narozenin Karla Weierstrasse kanonizoval tento stav matematiky David Hilbert (1862–1943) proslulým výrokem: „Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který nám vytvořil Cantor.“

Téměř vzápětí po vzniku Cantorovy teorie množin vyšlo najevo, že tato teorie není schopna zbavit infinitní matematiku potenciálního nekonečna. Tak například ani Bůh nemůže vytvořit množinu všech ordinálních čísel, neboť existence takové množiny je logicky sporná.

Kdyby totiž taková množina existovala, pak ordinální číslo, které je typem uspořádání této množiny, by bylo větší než všechna ordinální čísla do ní náležející. Jinými slovy: množinu všech ordinálních čísel by bylo možno prodloužit. Podobně by tomu bylo i v případě množiny všech množin a v řadě dalších případů.

Snahy tuto situaci řešit zaváděním nekonečných ordinálních čísel a množin vyšších typů neboli překotným aktualizováním toho, co dosud aktualizováno nebylo, byly předem odsouzeny k nezdaru. Navíc zakrývaly otázku, zda podobná situace nenastává už v případě přirozených čísel.

Ultraprodukt

Vážné varování těm, kteří věřili v existenci množiny všech přirozených čísel a svá matematická zkoumání o ni opírali, tedy vlastně všem, kteří používali Cantorovu teorii množin, zaznělo v roce 1933 z norského Bergenu. Obsaženo bylo v krátkém článku, jehož autorem byl Thoralf Skolem (1887–1963).²⁾ Skolem prodloužil posloupnost přirozených čísel o další objekty (později nazývané nestandardní přirozená čísla) a na ně prodloužil aritmetické operace s přirozenými čísly a vztahy mezi přirozenými čísly. To vše provedl tak, že výsledná struktura (později nazývaná nestandardní model přirozených čísel) splňovala všechny Peanovy axiomy (i ty, o něž byly popřípadě doplněny).

Když jsem se seznámil se Skolemovou konstrukcí, podařilo se mi koncem roku 1960 sestrojit nestandardní model celé teorie množin (přesněji axiomatické teorie Gödel-Bernaysovy v této teorii), který byl později znám pod stručným názvem ultraprodukt.³⁾

Ultraprodukt (na množině všech přirozených čísel) obsahuje nestandardní přirozená čísla podobně jako prve zmíněný Skolemův model. Rozdíl je však v tom, že uvnitř ultraproduktu nelze původní (standardní) přirozená čísla vymezit ani žádnými prostředky Cantorovy teorie množin.

Předvedení neaktualizovatelnosti oboru všech přirozených čísel není ani zdaleka tak jednoduchou a nadto snadno akceptovatelnou záležitostí, jako je tomu v případě transfinitních ordinálních čísel. Ultraprodukt nám umožňuje definovat operátor ultraextenze, který naráz přetváří obor všech množin do nového oboru všech množin, stejně hodnotného, leč od výchozího oboru se lišícího délkou přirozených čísel. Díky tomu lze množinu všech přirozených čísel prodloužit o mnoho dalších přirozených čísel.

O tom, že z podobných důvodů jako v případě ordinálních čísel neexistuje ani množina všech přirozených čísel, jsem věděl od objevu ultraproduktu celého univerza množin, tedy od konce roku 1960. Tehdy jsem byl i já ovlivněn onou v nevědomí uloženou nedotknutelností množiny všech přirozených čísel. K utajení neexistence množiny všech přirozených čísel jsem tehdy ale měl i jiný, mnohem závažnější důvod, který ani dnes nechci prozradit.

Množina všech přirozených čísel neexistuje

Existence množiny N všech přirozených čísel je základním axiomem klasické teorie množin v tom smyslu, že na této množině lze již postupně budovat stavbu celé Cantorovy teorie množin.

Jak již bylo řečeno, ultraprodukt (na množině N) obsahuje nestandardní přirozená čísla podobně jako již zmiňovaný Skolemův model přirozených čísel. Na množině N* (to je na množině přirozených čísel ultraproduktu) lze rovněž vybudovat celou stavbu Cantorovy teorie množin, a sice krok za krokem stejně, jako byla vybudována Cantorova teorie množin z množiny N. Tímto způsobem vytvoříme druhý exemplář Cantorovy teorie množin, který je nerozlišitelný od toho, v němž jsme ho vytvořili. Množina N* tedy rovněž splňuje základní axiom klasické teorie množin, je však prodloužením množiny N.

Domníváme-li se tedy, že nějaká množina N je množinou všech přirozených čísel, a tuto domněnku opíráme například o to, že na ní lze vybudovat celou Cantorovu teorii množin, pak díky ultraproduktu snadno nalezneme množinu N*, která má tytéž vlastnosti a navíc je delší než množina N. Množina N tedy není množinou všech přirozených čísel.

Odtud plyne, že množina vůbec všech přirozených čísel neexistuje, neboli obor všech přirozených čísel není aktualizovatelný. Právě to je hlavní poselství ultraproduktu.

Neaktualizovatelnost oboru všech přirozených čísel tedy nespočívá v tom, že nikdo není schopen obsáhnout ve své představě všechna opravdová přirozená čísla, a to každé jednotlivě, jak to tvrdili odpůrci aktuálního nekonečna. Neaktualizovatelnost tohoto oboru spočívá v tom, že i kdyby někdo tak daleko (a třeba i ještě mnohem dále) dosáhl, stále by ještě ani zdaleka nedosáhl na vůbec všechna přirozená čísla.

Problém nekonečna

Poznatky, k nimž jsme se dobrali, zasahují tak výrazně do dosavadních výkladů jevu nekonečna, že vyžadují změnu porozumění tomuto jevu. Jde arciť především o nekonečno ukazující se na množstvích, neboť právě z jeho zkoumání prováděných ve 20. století vzešly nejvýraznější podněty k radikální změně výkladu nekonečna.

Základní teorií nekonečna ukazujícího se na množstvích, s níž byly všechny teorie nekonečna konfrontovány, byla Cantorova teorie množin. Předmět jejího studia, jímž byl obor všech množin, který nemůže být pro svou neuchopitelnou objemnost aktualizován, sám množinou není. Nicméně aktualizace oboru všech přirozených čísel byla všeobecně uznávána a z nich vytvořená množina byla do oboru všech množin přijata.

Obor všech množin byl sice všelijak zužován nebo prodlužován, ale při všech těch úpravách zůstávala ordinální čísla, jmenovitě čísla přirozená, nedotčena. Bylo v nich spatřováno absolutno (což někdy bylo mylně přisuzováno i množinám ordinálních čísel).

Operátor ultraextenze tuto idylu rozmetal. Lze vytvořit mnoho různých oborů všech množin. Existovat však může jen jediný, který označíme V. Všechny ostatní s ním neslučitelné zaniknou. Jestliže ale bude aktivován některý jiný z těchto oborů, to znamená přiveden k existenci, obor V zanikne.

Pokud by se obory všech množin navzájem odlišovaly jen v délce množiny všech přirozených čísel, bylo by z hlediska matematiky lhostejné, který z těchto oborů byl aktivován. Některé obory všech množin se však liší též v pravdivosti různých takzvaných nerozhodnutelných tvrzení teorie množin.

Kdybychom se smířili s tím, že množina všech přirozených čísel není absolutní, ostatně nic jiného nám ani nezbývá, a nadále trvali na výjimečnosti Cantorovy teorie množin, mohli bychom tyto naše úvahy ukončit konstatováním, že problém pravdy v Cantorově teorii množin je v řadě důležitých případů vyřešen.

Je-li totiž nějaké tvrzení Cantorovy teorie množin nerozhodnutelné, pak to znamená, že ze všeobecně uznávaných axiomů teorie množin nelze toto tvrzení ani dokázat, ani vyvrátit. Pro formalisty tím problém končí. Naproti tomu realisté kladou otázku, zda je v oboru všech množin toto tvrzení pravdivé či není. Protože ale žádný univerzální obor vůbec všech množin neexistuje, je nutno tuto otázku klást tak, zda v tom či onom oboru všech množin toto tvrzení je či není pravdivé.

Mnohem zajímavější a také naléhavější než vyhledávání nerozhodnutelných tvrzení hroutící se Cantorovy teorie množin je překvapivá tvárnost nekonečna. Na světlo ji vynesl operátor ultraextenze při zacházení s původně strnulým oborem všech cantorovských množin.

Tvárnost, o níž je řeč, se týká nekonečna jako takového, ne jako průvodního jevu velikostí, ale jako samostatného jedince. Jako toho, z čeho obory všech množin vznikají a do čeho zase zanikají pro vzájemnou neslučitelnost svých existencí.

Toto parafrázování údajného Anaximandrova výroku⁴⁾ má upozornit, že se z nekonečna stal Anaximandrův apeiron. A to apeiron čistý, všeobjímající a vše řídící.

Dále už o něm hovořit nebudeme. Každým dalším výkladem bychom ho znetvářeli.