Kde to žijeme?

Dávno (1752) je tomu, co si Leonhard Euler všiml jednoduchého a krásného vztahu mezi počtem vrcholů, hran a stěn mnohostěnu. Myslím si, že je tato Eulerova formulka obecně známá, ale pokud tomu tak není, stojí za to zkusit na ni přijít samostatně. Stačí si spočítat vrcholy (V), hrany (E) a stěny (F) několika mnohostěnů, chvíli si data prohlížet jako v testech IQ a pak si říci aha! Tak třeba pro krychli je V = 8, E = 12, F = 6; pro jehlan (se čtvercovou podstavou) V = 5, E = 8, F = 5. Když to zobecníte, bude ještě jasněji: hranol s podstavou, která je n-úhelníkem (V = 2n, E = 3n, F = n + 2); jehlan s n-úhelníkovou podstavou (V = n + 1, E = 2n, F = n + 1). No, zkrátka V + F = E + 2 čili V – E + F = 2. Uvádívá se to jako příklad toho, že i v matematice se k objevům dochází někdy indukcí, zobecněním z několika mála případů. Těch, kdo to tvrdí, je dobré se zeptat: tak proč na to přišel až velký Euler? Eulerovu formuli může totiž objevit každý (zkusili jste si to?), stačí přece jen si všímat počtu vrcholů, hran a stěn. Právě v tom to je: musíme vědět, čeho si všímat. Všimnout si něčeho, čeho si do té doby nikdo nevšiml: to je ten objev. A hned je jasné, že je to opak indukce, nemáme přece žádnou řadu všímání si. K objevu bývá zapotřebí ještě něčeho dalšího, totiž odvahy; v tomto případě odvahy sečítat jablka, hrušky a švestky (vrcholy, hrany a stěny); myslím si, že tuto odvahu neměl Descartes, který měl tuto formuli na dosah ruky, ale nedokázal se vzdát představy, že sečítat se mohou jen „homogenní“ veličiny.

Euler tuto formuli nejen objevil, ale i dokázal. Aspoň si to myslel, ale pravda to nebyla. Pak ji dokázali další a další, nebylo snad roku, kdy by světlo světa nespatřil další důkaz, který se zase ukázal být nějak vadný. Navíc se vyjevilo, že se matematici nedokážou shodnout ani na tom, co je to vlastně mnohostěn. Jednoho matematika v 19. století to dožralo natolik, že se rozhodl zabít obě mouchy jednou ranou: mnohostěn je jen to, co splňuje Eulerovu formuli. Zkrátka 19. století je přehlídkou důkazů a jejich vyvracení. Skvěle a navíc dramaticky (opravdu zdramatizovaně) to vypráví Imre Lakatos ve slavné knize (původně sérii článků) se stejným názvem Proofs and Refutations (už ji mám dávno přeloženou, probírali jsme to na seminářích; ještě se musím přimět k vydání). Jistě vás při tomto výkladu napadlo: proboha, čím se to ti matematici zabývají. V rozumných případech to přece platí a vlastně vůbec není jasné, k čemu by taková formulka mohla být dobrá.

Protipříkladů byly spousty, některé sahaly až ke Keplerovi, jiné byly zcela bizarní („monstra“), jeden si ale zaslouží větší pozornosti: „rám obrazu“. Opět stojí za to, spočítat si to. Abyste se vyhnuli problému, co vlastně máte brát za „stěnu“, nezkoušejte to na obyčejném rámu složeném z obyčejných čtyřbokých hranolů, ale z čtyřbokých zkosených nebo také z tříbokých. Je to mnohostěn, v tom se asi všichni shodnou, ale trochu divný: má uprostřed „díru“ na obraz. Výsledek: V – E + F = 0 (bez ohledu na to, jak je rám udělán, nemusí být třeba obdélníkový, ale mnohoúhelníkový).

Už je čas na nějaký happy end: koncem 19. století skoncoval se všemi těmito trampotami slavný francouzský matematik Henri Poincaré. A udělal to hodně překvapivě (jak ostatně jinak?): není to vůbec věta o mnohostěnech, nýbrž je to klasifikace ploch. Tento konec byl skutečně šťastný: nešlo o nějakou kuriózní formulku, ale o zásadní obrat v matematice: Poincaré stvořil to, co nazval analysis situs a čemu se později začalo říkat topologie. Z hlediska topologie jsou krychle (její povrch) a kulová plocha (sféra) totéž, jsou „homeomorfní“, tj. jednu lze spojitě (bez roztržení) zdeformovat (nafouknout) na druhou. A rám obrazu (jeho povrch) je homeomorfní toroidu (říkávalo se duši, ale dozvěděl jsem se, že duše dávno zmizela nejen z psychologie, ale už i z pneumatik). V prvním případě máme „Eulerovu charakteristiku“ 2, v druhém 0. A když si vyzkoušíte „dvojrám“ a preclík, dostanete charakteristiku –2, atd. Podstatné je, že se touto klasifikací uzavřené plochy vyčerpávají.

A pak je tady další velký příběh a také všeobecně známý, aspoň v hrubých rysech. Řekové byli neuvěřitelně důslední a kritičtí: z jednoduchých a „samozřejmých“ axiomů geometrie (té její části, které se pak říkalo „absolutní“) dokázali sice odvodit, že bodem mimo danou přímku lze vést rovnoběžku, nepodařilo se jim ale dokázat, že je tato rovnoběžka jen jedna. Nezbylo tedy, než přidat další, pátý, axiom. Byla to poskvrna geometrie a na očištění geometrie pracovaly generace matematiků dvě tisíciletí. Spousty důkazů – a všechny špatně. Až na začátku 19. století se konečně přišlo na to, že to zřejmě nepůjde. To samo by nebylo tak úžasné, jako následující důsledek: když pátý axiom škrtneme a místo něj dáme, že rovnoběžek může být víc (nekonečně mnoho), dostaneme jinou geometrii, a tedy i jiný „svět“, jiný vesmír. Bólyai a Lobačevský stvořili něco zcela nového a udivujícího – „neeukleidovskou geometrii“. Později se podařilo dokázat, že taková geometrie je konsistentní (neobsahuje žádný spor) – tedy za předpokladu konsistence obyčejné geometrie, ale to už nebudeme rozmazávat.

Na důkazu konsistence se podílel kromě jiných matematiků i zmíněný Henri Poincaré konstrukcí modelu neeukleidovské geometrie v eukleidovské geometrii. A tady se oba naše příběhy spojují. Zhruba řečeno: máme obyčejnou rovinu a pak dva zásadně odlišné typy uzavřených ploch: kulové a toroidální. Těm odpovídají tři možné typy geometrií: obyčejná eukleidovská, neeukleidovská sférická (eliptická) a konečně hyperbolická.

Tak to bychom měli, tedy kdybychom byli „plochozemšťané“, dvourozměrné bytosti žijící na nějaké ploše, „plochozemi“ (jak by to tam vypadalo, o tom pojednává slavný román Flatland, který v roce 1884 napsal Edwin A. Abbott). Pak bychom měli na výběr ze tří geometrií pro náš svět. Na výběr: protože o tom, která geometrie platí, rozhoduje to, která fyzika platí. Jaká fyzika, taková geometrie. Stručně to formuloval Albert Einstein v pojednání o geometrii a zkušenosti: zkušenosti podléhá jen součet G + F (geometrie a fyzika). Sám zvolil možnost ponechat fyziku a změnit geometrii, zatímco Poincaré si (údajně) myslel, že lidé si raději zachovají eukleidovskou geometrii a změní zákony fyziky. To by nás ale zavedlo příliš daleko.

Jenže my žijeme v prostoru třírozměrném a tam je všechno o dimenzi větší. Tak třírozměrná kulová plocha (sféra) je povrchem čtyřrozměrné koule. Existuje tam nějaká podobná klasifikace uzavřených ploch, jako v prostoru třírozměrném? Je to otázka hodně důležitá, protože jde o možné tvary vesmíru, o to, „kde to žijeme“. Dvourozměrná sféra ve třírozměrném prostoru je charakterizována tím, že je „jednoduše souvislá“: nakreslíte- li na ni uzavřenou křivku (smyčku), můžete tuto smyčku stáhnout spojitě do jednoho bodu. Na toroidu (duši) to pro všechny takové křivky neplatí. Otázka nyní zněla: platí tatáž charakterizace i pro třírozměrnou sféru? Tuto otázku položil na konci pátého dodatku k Analysis situs v roce 1904 právě Henri Poincaré; odpověď předpokládal kladnou a dodal už jen poslední větu: zabývat se tím teď nebudu, to by nás zavedlo příliš daleko.

Takto jednoduše a snad i obecně srozumitelně zní „Poincarého domněnka“. Matematici závažnost tohoto problému rozpoznali velice rychle a následoval jeden pokus o řešení za druhým, snad každý rok se objevil nový „důkaz“, který byl vzápětí stažen. Objevily se a rozvinuly nové oblasti matematiky a některé dílčí výsledky (zajímavé i samy o sobě a důležité pro jiné části matematiky) byly natolik znamenité, že několik matematiků za ně dostalo Fieldsovu medaili. To je nejvyšší ocenění v matematice, pokládané za ekvivalent Nobelovy ceny (Nobel na matematiky nepamatoval), udělované matematikům maximálně čtyřicetiletým (dosud jich bylo uděleno ani ne padesát). Tak například Steve Smale ji dostal za důkaz Poincarého domněnky pro pěti a vícerozměrné sféry, Michael Freedman dokázal tuto domněnku pro sféru čtyřrozměrnou a William Thurston původní domněnku podstatně rozšířil: našel osm různých geometrií (včetně sférické) pro třírozměrné plochy (variety) a formuloval „geometrizační domněnku“, že totiž je jeho seznam vyčerpávající. Původní Poincarého domněnka byla už jen jednoduchým důsledkem této nové hypotézy.

Velmi podstatně k řešení tohoto problému přispěl Richard Hamilton, který přišel na nápad interpretovat křivost ploch „termodynamicky“, jako šíření tepla – to byla jeho idea „Ricciho toků“. Tím tuto oblast propojil s jinou velmi rozpracovanou částí matematiky, totiž s oblastí parciálně diferenciálních rovnic. Vzdor znamenitým výsledkům se mu ale důkaz dotáhnout do konce nepodařilo. To už ale jsme v osmdesátých a devadesátých letech minulého století.

Právě v devadesátých letech dostane tento příběh nečekané a napínavé pokračování. Bude to skoro něco jako „žili – byli“. Hrdina tohoto příběhu se jmenuje Grigorij (Griša) Perelman a pochází z bývalého Leningradu. Začne to tím, že vyhraje mezinárodní matematickou olympiádu, v šestnácti jej přijmou na univerzitu a hned tam vyřeší jeden z těžkých matematických problémů. Pracuje pak ve slavném Stěklovově institutu (proslaveném mj. právě pracemi v oblasti parciálních diferenciálních rovnic). Z Leningradu je pak opět Petrohrad a Perelman se vydává „na zkušenou“ do Ameriky. Je tam trochu za exota: živí se (programově) jen chlebem, mlékem a sýry, nestříhá si nehty, protože je to proti přírodě. V Americe se potká se zmíněným Richardem Hamiltonem, který mu vyloží svou ideu Ricciho toků. Perelmana při tom napadla zcela nečekaná souvislost s jinou oblastí matematiky. Hned to Hamiltonovi sdělí, jenže ten – jak se později Perelman sám vyjádřil – z toho patrně vůbec nic nepochopil. Perelman se vrátil do Petrohradu (tam už byl jen sám s maminkou, otec a část rodiny se vystěhovali do Izraele) a nápad rozvinul. V listopadu 2002 zveřejnil první článek – náčrt na internetu (matematici zveřejňují předběžné výsledky na arXive.org) – a vůbec v něm nezmínil ani Poincarého domněnku, ani domněnku geometrizační. Záhy však byl matematický svět „na nohou“. „Rozumíme tomu, Grišo, dobře? I když nemůžeš provést všechny kroky Hamiltonova programu, stačí to na důkaz geometrizační domněnky?“ – „Ano,“ zněla stručná odpověď. Článek byl hodně „neortodoxní“, důkaz byl náčrtem, byly v něm mezery – ale dobří matematici brzy poznali, že mají před sebou zcela nový přístup, naprosto správný, a že zaplnění mezer je už jen otázkou rutiny.

Mezitím – v roce 2000 – Clayův matematický institut, privátní organizace na podporu matematiky, vyhlásil slavnostně sedm matematických problémů za problémy tisíciletí a na řešení každého z nich vypsal odměnu jeden milion dolarů. Poincarého domněnka byla mezi nimi a Perelman byl kandidátem. Sedmého dubna 2003 měl přednášku v Massachusettském technologickém institutu. Přesvědčil všechny přítomné. To ale nestačilo: zveřejnil ještě dva rozšiřující a doplňující texty na internetu a vším se začalo zabývat několik skupin matematiků, práce trvaly tři roky a výsledek byl jednoznačný: je to v pořádku. Nic už tedy nebránilo vyplatit mu milion dolarů – tedy až na to, že se muselo přejít ustanovení o publikování v recenzovaném časopisu (to neudělal dodnes). Jenže příběh se začal odvíjet zcela jinak: Perelman obratem sdělil, že si peníze nevezme. Stačí mu, že geometrizační domněnku dokázal a že to matematická komunita uznala. To už ale byli na nohou novináři (i naše noviny o tom napsaly). Jenže ani to nebyl konec: Perelman měl převzít 22. srpna 2006 na mezinárodním matematickém kongresu v Madridu Fieldsovu medaili z rukou krále Juana Carlose. Z obavy, jak to dopadne, odjel do Petrohradu sir John M. Ball, prezident Mezinárodní matematické unie, aby Perelmana přesvědčil. Odjel s nepořízenou: Perelman mu řekl, že nikam nepojede a ať mu medaili ani neposílají, že ji nevyzvedne. A aby toho nebylo dost, dal výpověď ve Stěklovově institutu a novinářům z The New Yorker (jejich skvělá mnohastránková reportáž „Manifold Destiny“ vyšla 28. srpna 2006 a je dostupná na internetu na stránkách The New Yorker) řekl, že už není profesionální matematik, vodil je po Petrohradě, ukazoval jim památky a museli s ním vyslechnout pětihodinový koncert v konzervatoři. (Trochu to celé připomíná příběh Grothendiecka, o němž jsem se zmínil v recenzi Aczelovy knihy o Bourbaki – Vesmír 88, 826, 2009/12.)

Ještě nám v příběhu chybí nějaký zloduch. Tím se stal jiný nositel Fieldsovy medaile, veleslavný čínský matematik a fyzik („strunař“) Shing-Tung Yau: dva jeho žáci – Xi-Ping Zhu a Huai-Dong Cao – doplnili a formálně zdokonalili celý důkaz (teď už měl 300 stran) a teprve pak se dala Poincarého domněnka pokládat za vyřešenou. Ti měli dostat všechna ocenění – a ne nějaký Perelman. A dožadovali se toho hodně bombasticky. Také jsem už jednou slyšel nějakého matematika, který říkal, že Newton vůbec nic nevymyslel, protože neznal větu o existenci a jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic.

Tak toto všechno, mnohem podrobněji, přesněji, výstižněji a úplněji si můžete přečíst ve znamenité knize Donala O’Shea, Poincarého domněnka – Hledání tvaru vesmíru, kterou ve spolehlivém a hezky českém překladu Tomáše Znamenáčka vydala Academia v řadě Galileo. Kniha nepředpokládá žádné zvláštní matematické znalosti, není psána matematickým „žargonem“ a nemusíte se bát ani rovnic, ani vzorečků. Obsahuje i obyčejná vyprávění, ostatně celý tento příběh k tomu svádí (i mne zde). A přitom je to kniha o matematice – mnohem víc než Aczelova kniha o Bourbaki.