Architektura matematiky

Když jsem si před padesáti lety jako student matematiky koupil první z řady ruských překladů knih, jejichž autorem byl záhadný Nicolas Bourbaki (byla to Obecná topologie) a dychtivě se do ní začetl, zapůsobilo to na mne jako zjevení. Prožil jsem něco podobného jako francouzští studenti dlouho přede mnou. Samozřejmě jsme věděli, že jde o fiktivního matematika, za nímž se skrývá skupina vynikajících převážně francouzských matematiků. Byl jsem studentem hluboce věřícím v matematiku a její ideologickou invariantnost, knihy byly napsány s obdivuhodnou dokonalostí, a tak mi trvalo řadu let, než jsem pochopil, že se celý projekt zakládá na neudržitelné ideologii.

Vydání českého překladu knihy Amira D. Aczela Umělec a matematik – Příběh o Nicolasi Bourbakim, geniálním matematikovi, který nikdy neexistoval, mi tyto vzpomínky oživilo a nakonec mne přimělo podělit se o ně s vámi.

Kniha začíná takto: „V srpnu 1991 Alexandre Grothendieck, všeobecně považovaný za největšího matematického vizionáře dvacátého století, muž s tak hlubokým vhledem a tak pronikavým myšlením, že je často přirovnáván k Albertu Einsteinovi, náhle spálil 25 tisíc stran svých matematických rukopisů. Pak, aniž by komukoli co řekl, opustil svůj dům a zmizel v Pyrenejích.“ No, nečtěte dál! Když si ale tu větu přečtete znovu a pozorně, dojde vám, s jakým žánrem zde budete mít co do činění.

V čem tedy spočívalo kouzlo Bourbaki, co to bylo za ideologii? Všechno vyvolal ve třicátých letech žalostný stav vyučování matematiky na francouzských vysokých školách, vyučování, které se opíralo o staré a zastaralé učebnice. Tak vzešla idea napsání nových učebnic, nového souboru knih, které by byly něco jako Eukleidés 20. století. Učebnic založených na moderním pojetí matematiky, na jejím novém systematickém vybudování na teorii množin. Skutečně vybudování: manifest skupiny Bourbaki nesl název „Architektura matematiky“. Mladí revoltující francouzští matematici se navíc rozhodli pro dílo kolektivní, takové, které by vyjadřovalo nadosobní, objektivní povahu matematiky. Nějak identifikovat se ale museli, a tak si vymysleli fiktivního matematika Nicolase Bourbakiho, jehož datum narození se tak někdy uvádí s imaginární jednotkou: 1934i. Vnější historii si přečtete v knize a nebudu ji zde opakovat. Tady se podíváme na jednotící ideu Bourbaki:

Tou je pojem struktury. Struktura je prostě množina s nějakými relacemi. O prvky této množiny nejde a nesmíme se ani ptát, co jsou zač, důležité jsou jen vztahy mezi nimi. To už bylo u Eukleida: tam také nemá smysl se ptát, co je to bod a co přímka, důležité jsou jen vztahy jako „bod leží na přímce“, „bod se nachází mezi dvěma body“, a vlastnosti těchto vztahů. V oblasti geometrie to do dokonalosti dotáhl David Hilbert (1862–1943), rozhodující obrat ale pochází už od Gottloba Fregeho (1848–1925), který na otázku, co je to číslo, odpovídá, že je to otázka beznadějně špatná a musí být nahrazena otázkou jinou, totiž co to znamená rozumět větě, v níž se vypovídá něco o vztahu dvou čísel (dvou počtů). U Bourbaki dostává tato idea podobu zcela základní. Jen si to představte: matematiku stvoříme z ničeho. Začneme třeba množinou s jednou binární relací, tj. vztahem mezi dvěma prvky. Můžeme pak požadovat například, aby tento vztah byl tranzitivní, tj. když platí mezi x a y a dále mezi y a z, pak platí i mezi x a z. Dodáme-li ještě něco, dostaneme různé podoby uspořádání množiny, když tranzitivitu popřeme, dostaneme něco jako nerozlišitelnost. Anebo můžeme začít zkoumat ternární relace, vztahy mezi třemi prvky typu: z je součtem x a y, a klást rozmanité požadavky – tak dostaneme pologrupy, grupy, okruhy, tělesa, tedy struktury algebraické; můžeme přidat uspořádání, a mít tak struktury bohatší, nebo zkoumat relace blízkosti a dostat prostorové (obecně topologické) struktury, a tak postupně vystavět (přestavět) celou současnou matematiku na jednotném základě. Asi tušíte, že do některých (důležitých či prakticky využitelných) oblastí matematiky (možná do většiny) se takto dostat nelze, nebo nejdříve za sto let. Celkem Bourbaki vydali na 7000 stran, pak projekt začal upadat do spánku, z nějž se už neprobudil. Že se to nehodí k výuce matematiky na vysokých školách, pochopili Bourbaki dosti rychle. Ale ani to nezabránilo tomu, aby cesta k reformě školní matematiky nebyla ideologicky zbrklá: „množinová matematika“ se začala šířit po světě jako epidemie. Kdysi dávno jsem svůj postoj k tomuto úkazu vyjadřoval stručně takto: matematika dokáže kupodivu některé velmi složité věci vyjádřit jednoduše, v množinovém pojetí je tomu naopak. Trochu to platí i pro Bourbaki. Ti se navíc rozhodli stvořit zvláštní jazyk, který kromě obyčejné abecedy používal jen čtyři speciální symboly. V tomto jazyce se dalo zapsat všechno matematické, pravda, některé jednoduché záležitosti vyžadují zápisy dlouhé desetitisíce či statisíce znaků, ale pro ně zavedou zkratky (ty, co jsme měli už před Bourbaki). Matematika byla nahrazena popisem matematiky.

Něco takového se nedá ovšem zobrazit, dokonce se to zobrazit nesmí. „Smrt trojúhelníkům!“ bylo heslo Bourbaki a jejich knihy a články žádné obrázky nekazily. Nevím, zda to chtěl Aczel napodobit, ale podařilo se mu to: je tam sice obrázek reálného generála Bourbakiho, ale fiktivního Bourbakiho reprezentuje jen dětská fotografie Grothendiecka v internačním táboře, a pak zvláště (ne)povedená fotografie Pyrenejí pořízená „v oblasti asi 20 km jižně od Grothendieckova úkrytu“. Pak je tam zbytečný průnik dvou šrafovaných množin, několik šipek a kuliček a průsečík křivky poptávky a křivky nabídky, což vůbec nesouvisí s Bourbaki (nebo jako „všechno se vším“), a nakonec reprodukce několika obrazů moderních malířů. A tak místo toho vám povím, co jsem slyšel: Claude Chevalley, jeden z hlavních bourbakistů, se během přednášky dostal do krize – nevěděl, jak pokračovat. Otočil se zády, u tabule si rozepnul sako, aby nebylo vidět, co to tam dělá, pak to smazal a pokračoval. Všichni studenti to ale věděli: on si nakreslil obrázek!

Pojem struktury byl a je pro matematiku stále klíčový, a nejen pro matematiku. Klíčový byl pro strukturalismus v lingvistice už u zakladatele moderní lingvistiky Ferdinanda de Saussura, a zvláště pak v Pražském lingvistickém kroužku a u jeho pokračovatelů. Na jazyk se tam pohlíží jako na systém, soustavu vztahů mezi prvky. A příbuznosti by se daly najít i v oblasti umění, zvláště ve funkcionalistické architektuře. Nemyslím si, že by toto mohlo nějak ovlivnit skupinu Bourbaki, spíše tomu bylo naopak. A bylo to dáno shodou okolností a klíčovými setkáními: v emigraci před nacisty se tak sešel například Claude Lévi-Strauss s Romanem Jakobsonem, ale také s André Weilem, jedním ze zakladatelů Bourbaki. Tam se rodil ten strukturalismus, který po válce vytlačil ve Francii existencialismus a stal se převládajícím směrem v humanitních oborech, zvláště v šedesátých letech. Strukturalismu a souvislostem s Bourbaki a bourbakismem věnuje Aczel celou kapitolu, která může pro někoho mladšího být objevem.

Členové Bourbaki se zapojili i do dění v literatuře, zvláště ve skupině OULIPO, která experimentovala s jazykem. Mezi její členy patřili spisovatelé i u nás známí, například Raymond Queneau či Georges Perec. Jeden z matematických členů této skupiny, Claude Berge, byl v Praze v roce 2000 a měl přednášku o vztahu matematiky a literatury. Hovořil také o svém románu, který je založen na struktuře zvané graf (bodům se zde říká uzly a ty jsou spojovány vztahy – hranami). Vyřešení matematické úlohy spjaté s tímto grafem pak vedlo k dopadení pachatele.

Když jsem si mohl v roce 1994 chvíli užívat Paříže, chodil jsem na různé semináře, zvláště pak na seminář o filosofii a matematice, který v roce 1972 založili na École normale supérieure na základě iniciativy (kupodivu i pro mne překvapivé) jednoho ze strukturalistů, totiž Louise Althussera. Ten chtěl obnovit a současně i změnit vyučování filosofie na této slavné škole. A měl jsem hned na začátku štěstí: zrovna byl na pořádku vzpomínkový večer na jednoho ze zakládajících členů Bourbaki – na Jeana Dieudonné. Promítal se tam film, v němž s Dieudonném rozpráví jiný matematik a bourbakista Laurent Schwartz. Pak následovala debata. V prvních řadách seděli patrně všichni žijící členové Bourbaki. Zůstalo mi v paměti vystoupení tehdy devadesátiletého Henri Cartana (ten zemřel loni v srpnu!), který začal vyprávět nějakou historku, v níž klíčovou roli měl klavír. Tu povstala dáma, která seděla vedle něj, zřejmě paní Cartanová, se slovy: „Ty si sedni, já řeknu, jak to doopravdy tehdy bylo.“ Pak věřte vzpomínkám! A platí to i pro ty, na nichž se zakládá Aczelova kniha. Něco čerpal ze zápisů Grothendiecka (ten byl ovšem až ze třetí generace bourbakistů); ty se zachovaly ve strojopisné podobě (Aczel se odvolává jen na část z nich), nevyšly nikdy ve Francii (k tomu by bylo zapotřebí souhlasu Grothendiecka, jenže ten se někde skrývá, na matematiku kašle a podléhá jiné ideologii), ale kupodivu se dočkaly (ve výběru) knižního vydání v ruském překladu (tam si nikdy s nějakými souhlasy hlavu moc nelámali). Originální strojopis nese název Récoltes et sémailles – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien – Žně a setby – úvahy a svědectví o minulosti matematika, ruský překlad Urožai i posevy, Iževsk 2002). Většinou však Aczel čerpal z rozhovorů s Pierrem Cartierem, vynikajícím matematikem a pozdějším členem Bourbaki.

Zde také přidám jednu vzpomínku: Pierre Cartier byl v Praze v r. 1987, nikoli však na pozvání třeba MFF nebo Akademie. Patřil k těm nesmírně odvážným, kteří přijeli do Československa, aby zde měli přednášku v bytovém semináři Ladislava Hejdánka. Přednáška se konala 14. září 1987 a nesla název „Kvantování času a prostoru“. Obávám se, že jsme nebyli schopni ani po dvaceti letech všem těmto odvážným pořádně poděkovat. Připomenu jen, že tato pomoc se konala v rámci Nadace Jana Husa (původně anglické, později převážně francouzské), v jejímž čele stály tři z nejvýznamnějších osobností Francie: Jacques Derrida, Jean-Pierre Vernant a Paul Ricoeur. Právě J. Derridu StB zatkla při jeho návštěvě Prahy v roce 1982 a několik dní věznila; pustili ho až na přímý zásah prezidenta Françoise Mitterranda.

K Aczelově knize mám přece jednu větší výhradu. Je napsána hodně lehkým perem. Je to s ní trochu tak, jako když procházíte nějakou obrazárnou a průvodce vás informuje o tom, kdo byli rodiče a prarodiče každého z malířů, jaké vztahy mezi těmito malíři panovaly, vypráví jejich osudy, úspěchy i neúspěchy, co všechno ovlivnili a co ovlivnilo je, a prokládá to zábavnými historkami. Je to jistě napínavé a poutavé. Ale když vyjdete z obrazárny ven, tak si po chvíli uvědomíte, že o obrazech samých tam řeč vlastně vůbec nebyla.

Na závěr už jen dodám, že knihu do češtin přeložil Jiří Rákosník: přesně, spolehlivě a krásně česky.