Vývoj Gödelova myšlení

Zatímco před několika desetiletími se o matematicích a některých dalších z těch myslitelů, jejichž výsledky jsou pro neodborníka samy o sobě těžko srozumitelné, psaly pro širší veřejnost buď beletristicky zpracované životopisy, nebo popularizační úvody do díla, v poslední době se tyto dva literární útvary začínají čím dál tím častěji splétat v jeden. V knihách tohoto žánru jsou výklady teorií prokládány „oddychovými“ životopisnými pasážemi, které čtenářovi nejenom zprostředkovávají kontext příslušných vědeckých výsledků, ale dovolují mu i nabrat dech k dalšímu intelektuálnímu zápasu o jejich pochopení (na mysl se mi tu vtírá termín obvykle používaný v trochu jiném kontextu: infozábava). Tohoto druhu je i nedávná kniha R. Goldsteinové o nejpozoruhodnější postavě matematické logiky dvacátého století – brněnském rodákovi Kurtu Gödelovi.

Osobně jsem se s touto knihou poprvé seznámil prostřednictvím dosti zdrcující recenze Solomona Fefermana v London Review of Books. ¹⁾ Feferman se mi zdál být k posuzování takové knihy mimořádně povolán (je nejenom jedním z největších žijících odborníků v oné oblasti, která se otevřela Gödelovými výsledky, ale i spoluautorem vynikajícího životopisu jiné klíčové postavy logiky dvacátého století, Alfreda Tarského) ²⁾ , a tak když se mi do ruky dostal český překlad této knihy, bylo mé očekávání téměř nulové. Po jeho přečetní jsem však svůj názor musel poněkud korigovat. Můj dojem je, že tak špatná, jak by se zdálo z Fefermanovy recenze, ta kniha není; dokonce bych řekl, že se autorce podařilo se s některými notoricky problematickými peripetiemi života a díla bezesporu geniálního, ale podivínského a koncem života už skutečně šíleného Gödela vypořádat lépe než většině těch, kteří o něm psali předtím.

Samozřejmě když se někdo na dvě stě padesáti stranách pokusí vyložit nejenom nejpozoruhodnější a nejpodivnější objev matematické logiky 20. století, ale i spoustu dalších komplikovaných věcí souvisejících s vědeckým a filozofickým kontextem tohoto objevu, a to navíc tak, aby to ze strany čtenáře nepředpokládalo žádné speciální znalosti, musí to nevyhnutelně vést k dramatickému zjednodušování, na kterém se každému odborníkovi bude to či ono nelíbit (mne nevyjímaje). Mám však pocit, že v mezích možností daných těmito fakty neodvedla autorka tak špatnou práci.

Můj dobrý dojem z českého vydání je ovšem asi ovlivněn i tím, že některé triviální chyby (zkomolená jména ap.), na které poukazuje Feferman, jsem v českém překladu nenašel – zřejmě tedy byly úspěšně odstraněny. Některé ovšem v knize zůstaly, nebo možná přibyly – na s. 66 se píše, že Vídeňský kruh existoval od roku 1924 do roku 1930; Friedrich Waismann je systematicky překřtěn na „Fredericha“; Fregův spis je na s. 238 uveden jako Begriffsschrifte (místo Begriffsschrift) a Aristotelův na s. 229 jako První analytika (místo analytiky). Pokud jde o překlad samotný – není sice celkově špatný, frekvence anglizmů a česky ne zcela srozumitelných vazeb je ale bohužel dosti velká, namátkou: „Wittgenstein … vykonával hluboký vliv“ (s. 81); „Celé léto jsem od Gödela neslyšel“ (s. 94); „vlivem Leibnizova principu dostatečného rozumu“ (s. 202).

Osou knihy je běh Gödelova života: od mládí stráveného ve Vídni přes cestu na logický Olymp po přelomovém objevu neúplnosti aritmetiky, emigraci do USA a zakotvení v Princetonu, až po těžká pozdní léta, paralyzovaná nastupující duševní poruchou. Formou odboček přitom autorka probírá podstatu Gödelových důkazů i některých jejich důsledků a také Gödelovy názory průběžně konfrontuje s různými souvisejícími myšlenkovými proudy: s logickým pozitivismem Vídeňského kruhu (jehož byl Gödel v mládí – víceméně pasivním, ale vytrvalým – členem), s nezařaditelnou filozofií Ludwiga Wittgensteina (jehož interpretace Gödela je často vykládána jako vzor nepochopení, což ovšem možná není úplně na místě)3 či s programem základů matematiky Davida Hilberta (kterému Gödelovy objevy fatálně zproblematizovaly plány).

Gödelův přelomový objev, který je v knize rozebírán, je možné si přiblížit následujícím způsobem. Dlouho se bralo za téměř samozřejmou věc, že jakoukoli oblast matematiky lze v principu axiomatizovat – to jest formulovat konečnou sadu axiomů tak, aby z ní byly pomocí konečné sady odvozovacích pravidel odvoditelné všechny pravdy tohoto oboru (a samozřejmě žádné nepravdy). Mělo se za to, že problém může být pouze v tom, jak takovou axiomatizaci najít (popřípadě jak najít takovou, se kterou se nám bude dobře pracovat). Gödel ukázal, že tomu tak není – že ani pro tu nejelementárnější oblast matematiky, aritmetiku (to jest nauku o přirozených číslech a jejich sčítání a násobení), nelze úplné axiomatizace dosáhnout – jsou-li totiž v axiomatickém systému odvoditelné pouze aritmetické pravdy, nevyhnutelně v něm nejsou odvoditelné všechny. (To byl objev tak překvapivý, že i těm nejbystřejším z Gödelových kolegů nějaký čas trvalo, než si ho dokázali plně srovnat v hlavě.) Důsledkem tohoto objevu navíc byla nemožnost dokázat, že daný systém negeneruje nepravdy (přesněji řečeno, že spolu s žádným výrokem negeneruje i jeho negaci) – alespoň nikoli obecně přijímanými metodami.

Za východisko v intepretaci Gödela lze myslím u Goldsteinové považovat to, co autor ka explicitně říká na s. 116: „Je samozřejmě ironické, že Gödelovy věty sice byly přijímány jako vrcholně důležité, jenže ostatní v nich často neslyšeli to, co se jimi snažil říci. Slyšeli – a stále slyší – hlas Vídeňského kruhu, existencializmu, postmodernizmu nebo jakéhokoli jiného módního názoru dvacátého století. Slyšeli cokoli kromě toho, co se Gödel snažil říci.“ Podle mého osobního názoru má autorka pravdu, že více či méně nesmyslných interpretací Gödelových výsledků existuje nepřeberné množství, chyba je už v otázce, co chtěl svými větami říci. Myslím, že pro něj byly prostě objevem, jímž nechtěl říci o nic více než Faraday objevem elektřiny; nebyly něčím, do čeho by zakukloval nějaké poselství.

Jinou věcí ovšem je, jak Gödel sám své výsledky později refl ektoval a jaké důsledky jim přisuzoval. Tím se Goldsteinová zabývá do podrobností a poukazuje na to, že Gödel čím dál tím více spěl k specifické formě matematického platonizmu – to jest k přesvědčení, že matematické pravdy objevujeme v „krajině matematiky“ téměř tak, jako přírodovědec objevuje nové živočišné druhy nebo nové přírodní zákony. Vyložíme-li totiž Gödelovy výsledky jako odhalení diskrepance mezi chápáním matematiky jakožto určité lidské aktivity (opírající se zejména o dokazování) a jakožto záležitosti toho, co objektivně platí v „krajině matematiky“, může být poučení, které z toho vyvodíme, dvojího druhu. Můžeme se buďto přiklonit k tomu prvnímu a objektivní „krajinu matematiky“ prohlásit za pouhou metaforu, nebo se smířit s tím, že důkazy nám k poznávání „krajiny matematiky“ tak docela nestačí. A Gödela jeho srdce nepochybně táhlo tím druhým směrem. (Přesvědčení Goldsteinové, že Gödel byl takovýmto platonikem od samého počátku, ovšem není nekontroverzní – jakkoli je jistě pravda, že ani v době docházení do Vídeňského kroužku nebyl logickým empiristou; proti tomu, abychom ho již v tomto období považovali za uvědomělého platonistu, svědčí, jak na to poukazuje Feferman, textová evidence.) ⁴⁾

Přes všechny výhrady, které lze k této knize mít, se domnívám, že rozhodně stojí za přečtení: vývoj Gödelova myšlení i jeho život v kontextu doby vykresluje v živých barvách a také výklad Gödelových výsledků, jakkoli v detailech nepříliš přesný, může zájemci poskytnout dobrý vhled do peripetií moderní logiky.