Hrají kostky Boha?

Intelektuálním odkazem Isaaca Newtona byla vize světa jako hodin, uvedených do chodu v okamžiku stvoření, pak ale už jdoucích v neměnných kolejích jako dobře naolejovaný stroj. Byl to obraz zcela deterministického světa – neponechávajícího žádné místo působení náhody, světa, kde budoucnost je zcela určena přítomností, jak to výmluvně formuloval velký matematický astronom Pierre-Simon de Laplace v r. 1812 ve své Analytické teorii pravděpodobnosti:

Intelekt, který by v daný okamžik znal všechny síly oživující Přírodu a vzájemné polohy jsoucen v ní, a který by byl dostatečně mohutný, aby tato data mohl podrobit analýze, by mohl shrnout do jednoho jediného vzorce pohyb největších vesmírných těles i nejlehčích atomů: pro takový intelekt by nemohlo být nic nejisté a budoucnost stejně jako minulost by byly přítomné před jeho zrakem.

Táž vize světa, jehož budoucnost je zcela předvídatelná, se nachází za nejvýznamnějšími událostmi sci-fi románu Douglase Adamova z r. 1979 s názvem Stopařův průvodce po galaxii, v němž filozofové Majikthise a Vroomfondel nařizují superpočítači ,Hlubina myšlení‘, aby vypočítal odpověď na Velkou Otázku Života, Vesmíru a Všeho. Fanoušci si vzpomenou, že po pěti milionech let počítač odpověděl ‘čtyřicet dva’ a v tu chvíli oba filozofové pochopili, že zatímco odpověď je jasná a přesná, jejich otázka takovou nebyla. Podobně nespočívá chyba v Laplaceově vizi v jeho odpovědi – že vesmír je v principu předvídatelný, což je přesná formulace určitého matematického rysu Newtonova pohybového zákona – nýbrž v jeho interpretaci toho faktu, který je vážným nepochopením, založeným na chybné otázce. Tím, že položili otázku vhodnější, dospěli nyní matematici a fyzici k pochopení, že determinismus a předvídatelnost nejsou synonyma.

V našem každodenním životě se setkáváme s nesčetnými případy, kdy se zdá být Laplaceovský determinismus velmi nevhodným modelem. Tisíckrát sejdeme bezpečně po schodech dolů, až si jednoho dne vymkneme nebo zlámeme kotník. Jdeme na tenisové utkání a neočekávaná bouřka ho zmaří. Vsadíme na favorita v dostizích a ten na poslední překážce upadne, když byl šest délek před ostatními. To není ani tak moc vesmír, v němž by – jak odmítl věřit Einstein – Bůh hrál kostky: zde to vypadá spíše na vesmír, v němž kostky hrají Boha.

Je náš vesmír deterministický, jak tvrdil Laplace, nebo je ovládán náhodou, jak se často i zdá? A má-li Laplace skutečně pravdu, proč tolik našich zkušeností ukazuje, že se mýlí? Jedna z nejvíce vzrušujících nových oblastí matematiky, nelineární dynamika – populárně známá jako teorie chaosu – tvrdí, že zná mnohé z odpovědí. Ať už zná či nezná, určitě vyvolala revoluci ve způsobu, jímž uvažujeme o řádu a neřádu, zákonu a náhodě, předvídatelnosti a nahodilosti.

Podle moderní fyziky je příroda řízena náhodou na nejjemnějších škálách prostoru a času. Tak třeba to, zda se nějaký radioaktivní atom – řekněme uranu – v daném okamžiku rozpadne či nerozpadne, je čistě záležitostí náhody. Není naprosto žádný rozdíl mezi atomem uranu, který se má rozpadnout, a tím, který nikoli. Žádný. Absolutně žádný. [...]

Abychom uviděli, jak lze nepředvídatelnost smířit s determinismem, uvažujme o méně náročném systému, než je celý vesmír – třeba o kapkách vody kapajících z kohoutku. To je deterministický systém: v principu je tok vody do baterie stálý a stejnoměrný a to, co se stane při vytékání, je plně určeno zákony pohybu kapalin. A přesto jednoduchý, ale účinný experiment dokazuje, že tento evidentně deterministický systém lze přimět k tomu, aby se choval nedeterministicky, což nás vede k jistému matematickému ,laterálnímu myšlení‘, vysvětlujícímu, proč je takový paradox možný.

Zavřete-li kohoutek velmi jemně a počkáte několik vteřin, než se tok usadí, můžete zpravidla dosáhnout pravidelné řady kapek vody padajících ve stejných časových intervalech v pravidelném rytmu. Stěží lze nalézt něco více předvídatelného. Jestliže však kohoutek pomalu otevíráte, abyste tak zvýšili tok, můžete ho nastavit do takové polohy, že kapky budou padat velmi nepravidelným způsobem, slyšitelně náhodným. Chce to trochu experimentování, než se dostaví úspěch, a pomůže, jde-li kohoutek zlehka. Nepovolujte ho však až tak daleko, že voda poteče nepřerušovaným tokem; musíte se dostat někam doprostřed. Podaří-li se vám ho nastavit správně, můžete naslouchat mnoho minut, aniž byste přišli na nějakou zjevnou pravidelnost.

V r. 1978 utvořila skupina mladých studentů obrazoborců z University of California v Santa Cruz Kolektiv Dynamických Systémů. Když začali uvažovat o tomto systému kapající vody, zjistili, že není tak náhodný, jak se zdálo. Zvuk kapání nahráli pomocí mikrofonu a analyzovali posloupnost intervalů mezi kapkami. Podařilo se jim najít krátkodobou předvídatelnost. Řeknu-li vám časový sled tří po sobě jdoucích kapek, pak můžete předpovědět, kdy kápne další. Například jestliže poslední tři intervaly mezi kapkami byly 0,63 sekundy, 1,117 sekundy a 0,44 sekundy, pak si můžete být jisti, že další kapka ukápne za 0,82 sekundy. (Tato čísla jsou zde jen pro ilustraci.)

To znamená, že pokud znáte intervaly pro první tři kapky přesně, pak můžete předvídat celou budoucnost tohoto systému.

Tak proč se Laplace mýlil? Vtip je v tom, že nikdy nemůžeme změřit počáteční stav systému přesně. Nejpřesnější dosud vůbec provedená měření fyzikálních systémů jsou správná na deset nebo dvanáct desetinných míst. Jenže Laplaceovo tvrzení je správné, jen když můžeme konat měření s nekonečnou přesností, na nekonečný počet desetinných míst – a to samozřejmě nejde. Lidé o tomto problému měření věděli už za Laplaceových dnů, předpokládalo se však obecně, že když uskutečníte počáteční měření na řekněme deset desetinných míst, pak všechny následné předpovědi budou také přesné na deset desetinných míst. Chyba sice nezmizí, ale nezvětšuje se.

Naneštěstí se zvětšuje, což nám brání zřetězit řadu krátkodobých předpovědí do jedné dlouhé. Tak třeba předpokládejme, že známe první tři kapky s přesností na deset desetinných míst. Pak mohu předpovědět dobu další kapky na devět desetinných míst, kapky následující na osm a tak dále. Na každém kroku roste chyba o jeden řád, takže ztrácíme důvěru vždy v jedno další desetinné místo. Tudíž po deseti krocích do budoucna už nemám ani ponětí o tom, kdy další kapka ukápne. (Znovu: přesné údaje by byly asi odlišné: možná je třeba deseti kapek ke ztrátě přesnosti o jedno desetinné místo, ale i kdyby tomu bylo až po šedesáti kapkách, zůstával by tady týž problém.)

Toto zesilování chyby je logickou trhlinou, v níž mizí dokonalý Laplaceův determinismus. Nepomůže nic, co není naprosto dokonalým měřením. Kdybychom mohli změřit časování na sto desetinných míst, naše predikce by selhaly po pouhých sto budoucích kapkách (nebo po šesti stech, použijeme-li optimističtější odhad). Tento jev se nazývá ,citlivost na počáteční podmínky‘ nebo informativněji ,efekt motýlího křídla‘. (Když nějaký motýl zamává křídly v Tokiu, může být o měsíc později výsledkem hurikán na Floridě.) Je těsně spjat s vysokým stupněm nepravidelnosti chování. Cokoli, co je opravdu pravidelné, je podle definice předvídatelné. Jenže citlivost na počáteční podmínky činí chování nepředvídatelným – a tudíž nepravidelným. Z tohoto důvodu se systém, který vykazuje citlivost na počáteční podmínky, nazývá chaotický. Chaotické chování poslouchá deterministické zákony, je však tak nepravidelné pro necvičené oko, že vypadá jako zcela náhodné. Chaos není pouze složité, beztvaré chování; je to něco mnohem delikátnějšího. Chaos je zdánlivě složité, zdánlivě beztvaré chování, mající ve skutečnosti jednoduché deterministické vysvětlení.

Chaos objevilo mnoho lidí, příliš mnoho na to, aby se zde mohli vyjmenovat. Došlo k tomu spojením tří oddělených vývojů. Jedním byla změna vědeckého ohniska, posun od jednoduchých tvarů, jako jsou opakující se cykly, ke složitějším typům chování. Druhým byly počítače, které dovolily nacházet přibližná řešení dynamických rovnic snadno a rychle. Třetím pak byl nový matematický pohled na dynamiku – pohled spíše geometrický než numerický. První dal motivaci, druhý techniku a třetí pochopení.

Geometrizace dynamiky začala asi před sto lety, kdy francouzský matematik Henri Poincaré – tak nekonformní, jak jen někdo může být, ale tak brilantní, že se jeho pojetí stalo pravověřím téměř přes noc – vymyslel pojem fázového prostoru. To je vymyšlený matematický prostor, který reprezentuje všechny možné pohyby daného dynamického systému. [...]

Obraz fázového prostoru jakožto způsobu pro organizování úplného rozsahu potenciálních chování, z něhož si příroda vybírá chování skutečně pozorované, se ve vědě velmi rozšířil.

Hlavním výsledkem Poincarého velké inovace je to, že lze dynamiku vizualizovat prostřednictvím geometrických útvarů, zvaných atraktory. Spustíte-li dynamický systém z nějakého počátečního bodu a pozorujete, co dlouhodobě dělá, shledáte často, že skončí v obíhání kolem nějakého dobře vymezeného útvaru ve fázovém prostoru. Tak například se může křivka spirálovitě blížit k nějaké uzavřené smyčce, v níž pak uvízne navždy.

Navíc mohou různé volby počátečních podmínek vést k témuž koncovému útvaru. Je-li tomu tak, pak se tento útvar nazývá atraktorem. Dlouhodobá dynamika systému je ovládána atraktory a podoba atraktoru stanoví, jaký druh dynamiky se objeví.

Například systém, který se usadí v klidovém stavu, má atraktor, který je pouhým bodem. Systém, který se ustálí tak, že opakuje periodicky neustále totéž chování, má za atraktor uzavřenou smyčku. To jest, atraktory – uzavřené smyčky – odpovídají oscilátorům. Vzpomeňte si na popis kmitající houslové struny v páté kapitole; struna vykonává posloupnost pohybů, které ji nakonec přivedou tam, kde to začalo, aby se tak tato posloupnost opakovala stále a stále znovu. Neříkám tím, že by se houslová struna pohybovala ve fyzickém smyčce. Ale můj popis této struny je uzavřenou smyčkou v metaforickém smyslu: pohyb vykonává okružní cestu dynamickou krajinou fázového prostoru.

Chaos má svou vlastní, dost tajuplnou, geometrii: je spjat s podivnými fraktálními útvary, zvanými podivné atraktory. Efekt motýlího křídla naznačuje, že detailní pohyb na podivném atraktoru nelze určit předem. To však nemění nic na faktu, že to atraktor je. Pomyslete na pingpongový míček hozený do bouřlivého moře. Hodíte-li ho tam shora, nebo ho pustíte pod hladinou, pohybuje se vždy směrem k hladině. A jakmile je na hladině, vykonává velmi složitou cestu v bouřlivých vlnách, ale ať už je tato cesta jakkoli složitá, míček zůstává na – nebo přinejmenším velice blízko – povrchu. V tomto obrazu je povrch moře atraktorem. Takže, chaos nevyjímaje, bez ohledu na to, kde se nacházel výchozí bod, systém skončí velice blízko svého atraktoru.

Chaos je dobře ustanovený matematický jev, ale jak jej můžeme nalézt v reálném světě? Musíme provést experiment – a tady je problém: tradiční rolí experimentů ve vědě je testovat teoretické predikce, ale jestliže je ve hře efekt motýlího křídla, jako je tomu u chaotických systémů, jak vůbec můžeme doufat v testování predikce? Není chaos ze své podstaty netestovatelný a tudíž nevědecký?

Odpovědí je hlasité ne, neboť slovo ,predikce‘ má dva významy. Jedním je ,předpovídání budoucnosti‘ a je-li ve hře chaos, pak tomu brání efekt motýlího křídla. Jiným významem je však ,popsat předem, jaký bude výsledek experimentu‘. Pomyslete na stokrát hozenou minci. Abyste předvídali – ve smyslu jasnovidectví – co se stane, musíte předem říci výsledek každého z hodů. Můžete však učinit vědecké predikce, jako ,zhruba v polovině hodů se ukáže orel‘, aniž byste předpovídali budoucnost detailně – i když, jako zde, je systém náhodný. Nikdo nebude naznačovat, že je statistika nevědecká, protože se zabývá nepředpověditelnými událostmi, a tudíž chaos by se měl chápat týmž způsobem. Můžete činit predikce všeho druhu o chaotickém systému; fakticky můžete učinit dost predikcí pro rozlišení deterministického chaosu od skutečné náhodnosti. Jedna věc, kterou můžete často predikovat, je podoba atraktoru, která se efektem motýlího křídla nemění. Efekt motýlího křídla působí jen to, že systém sleduje různé cesty na témže atraktoru. Důsledkem toho je, že obecnou podobu atraktoru lze často odvodit z experimentálních pozorování.

Objev chaosu odhalil fundamentální nedorozumění v našich názorech na vztah mezi pravidly a chováním, které tato pravidla vyvolávají – mezi příčinou a následkem. Zvykli jsme si myslet, že deterministické příčiny musí vyvolávat pravidelné následky, ale jak vidíme nyní, mohou vyvolávat následky vysoce nepravidelné, které si lze snadno splést s náhodností. Zvykli jsme si myslet, že jednoduché příčiny musí vyvolat jednoduché následky (což znamená, že složité následky musí mít složité příčiny), nyní však víme, že jednoduché příčiny mohou vyvolat složité následky. Chápeme, že znalost pravidel není totéž, jako schopnost predikovat budoucí chování.

Jak vzniká tato diskrepance mezi příčinou a následkem? Proč vyvolávají táž pravidla někdy zjevné tvary a někdy chaos? Odpověď najdete v každé kuchyni při používání jednoduchého mechanického šlehače. Pohyb obou metel šlehače je jednoduchý a predikovatelný, přesně tak, jak by to byl Laplace očekával: každá metla rotuje pravidelně. Pohyb cukru a bílku v nádobě je však mnohem složitější. Tyto dvě složky se promísí – k tomu jsou šlehače určeny. Avšak dvě metly šlehače se nesmíchají, nemusíte je po skončení práce rozmotat. Proč je pohyb bílkového sněhu tak odlišný od pohybu šlehacích metel? Míchání je mnohem složitější dynamický proces, než bychom měli sklon si myslet. Představte si jen, že bychom chtěli predikovat, kde skončí nějaké určité zrníčko cukru! Tím, jak směs prochází mezi oběma metlami, je odtahována nalevo i napravo a dvě zrníčka cukru, která na počátku byla vedle sebe, se brzy vydají samostatnými a nezávislými cestami. To je fakticky efekt motýlího křídla v akci – malé změny v počátečních podmínkách mají velké následky. Takže mixování je chaotický proces.

Obráceně, každý chaotický proces zahrnuje svého druhu mixování v Poincarého myšleném fázovém prostoru. To objasňuje, proč je příliv a odliv předvídatelný, zatímco počasí nikoli. Obojí zahrnuje týž druh matematiky, ale dynamika přílivu a odlivu nemíchá fázovým prostorem, zatímco počasí ano.

To není to, co děláte, nýbrž je to způsob, jímž to děláte.

Chaos zvrátil naše pohodlné představy o tom, jak svět funguje. Říká nám, že vesmír je mnohem podivnější, než si myslíme. Vrhl pochybnosti na mnohé tradiční metody vědy: pouze znát zákony přírody už nestačí. Na druhé straně nám říká, že některé věci, které jsme prostě pokládali za náhodné, mohou ve skutečnosti být následky jednoduchých zákonů. Chaos přírody je vázán pravidly. V minulosti měla věda sklon ignorovat události nebo jevy, které se zdály být náhodné, a to na základě toho, že nemají žádný zjevný tvar, a tudíž nemohou být ovládány jednoduchými zákony. Tak tomu není. Existují jednoduché zákony rovnou před naším nosem – zákony ovládající epidemie nemocí, infarkty, nálety kobylek. Poznáme-li tyto zákony, můžeme být s to zabránit katastrofám, které jsou jim ve stopách.

Chaos nám už ukázal nové zákony, dokonce nový typ zákonů. Chaos obsahuje svůj vlastní druh nových univerzálních tvarů. První, jehož si všimneme, se vyskytuje v kapajícím kohoutku. Vzpomeňte si, že kohoutek může kapat rytmicky nebo chaoticky – v závislosti na rychlosti toku vody. Ve skutečnosti je jak pravidelné, tak ,náhodné‘ kapání důsledkem mírně odlišných variant jednoho a téhož matematického předpisu. Jenže s tím, jak se zvyšuje rychlost toku procházejícího kohoutkem, se dynamika mění. Atraktor ve fázovém prostoru, reprezentující tyto dynamiky, se mění – mění se predikovatelně, byť velmi složitě.

Začněte s pravidelně kapajícím kohoutkem: opakující se rytmus kap-kap-kap-kap, jedna kapka jako druhá. Povolte malinko kohoutek, takže kapání se mírně zrychlí. Teď je rytmus kap-KAP-kap-KAP a opakuje se po každých dvou kapkách. Nezměnila se pouze velikost kapky, která rozhoduje o hlasitosti kapání, nýbrž změnilo se lehce i časování od jedné kapky ke druhé.

Dovolíte-li nyní, aby voda tekla ještě malinko silněji, dostanete čtyřkapkový rytmus kap-KAP-kap-KAP. A ještě trochu rychleji a máte osmikapkový rytmus: kap-KAP-kap-KAP-kap-KAP-kap-KAP. Délka opakující se posloupnosti kapek se zdvojnásobila. V matematickém modelu tento proces pokračuje bez omezení dále, s rytmickými skupinami 16, 32, 64 kapek a tak dále. Aby se dosáhlo zdvojení periody, je třeba stále jemnější změny v rychlosti toku. A existuje rychlost toku, při níž se velikost skupiny zdvojnásobila nekonečně často. V tomto okamžiku neopakuje žádná posloupnost kapek přesně týž vzor. To je chaos.

To, co se zde děje, můžeme vyjádřit v Poincarého geometrickém jazyce. Atraktor pro kohoutek začíná jako uzavřená smyčka, reprezentující periodický cyklus. Představte si tuto smyčku jako gumičku otočenou kolem prstu. Se vzrůstem rychlosti se tato smyčka zdvojí na dvě sousedící smyčky, jako když si gumičku otočíte kolem prstu dvakrát. Tato gumička je pak dvakrát delší než gumička původní, což je důvodem dvojnásobně dlouhé periody. A pak přesně stejně se tato už zdvojená smyčka znovu rozdvojí podél celé délky a vytvoří cyklus s periodou čtyři. Po nekonečně mnoha zdvojeních je váš prst ozdoben elastickou špagetou – chaotickým atraktorem.

Tento scénář pro vytváření chaosu se nazývá kaskáda zdvojování periody. V r. 1975 fyzik Mitchell Feigenbaum objevil, že s každou kaskádou zdvojování period je spojeno určité číslo, které lze naměřit v experimentech.

Toto číslo je zhruba 4,669 a řadí se vedle pí (π) mezi ta podivná čísla, která mají mimořádný význam jak v matematice, tak v jejích vztazích k přirozenému světu. Feigenbaumovo číslo má také svůj symbol, řecké písmeno δ Číslo π nám říká, jaký je vztah mezi obvodem kruhu a jeho poloměrem. Podobně nám říká Feigenbaumovo číslo δ, jaký je vztah periody kapání k rychlosti toku vody. Abychom to řekli přesně: to, o kolik musíte dále otočit kohoutek, abyste dostali zdvojení periody, klesá vždy o násobek 4,669. Číslo π je kvantitativním předznamenáním čehokoli, co se týká kruhů. Stejně tak je Feigenbaumovo číslo δ kvantitativním předznamenáním jakékoli kaskády zdvojování periody, bez ohledu na to, jak k ní dochází, nebo jak je experimentálně uskutečněna. Přesně totéž číslo se ukazuje v experimentech s tekutým heliem, vodou, elektrickými obvody, kyvadly, magnety a vibrujícími koly vlaku. Je novým univerzálním tvarem v přírodě, tím, který lze vidět jen očima chaosu; kvantitativní tvar, číslo, vyrůstající z kvalitativního jevu. Jedno z čísel přírody. Feigenbaumovo číslo otevřelo dveře do nového matematického světa, světa, který jsme právě začali prozkoumávat.

Přesný tvar nalezený Feigenbaumem a další tvary tomu podobné jsou záležitostí jemných detailů. Základním bodem je, že i když se důsledky přírodních zákonů jeví jako beztvaré, jsou zde tyto zákony stále přítomny, a tudíž přítomny jsou i tvary. Chaos není náhodný: je zdánlivě náhodným chováním, které je výsledkem přesných pravidel. Chaos je kryptickou podobou řádu.

Věda si tradičně cenila řádu, začínáme však oceňovat fakt, že chaos může nabídnout vědě zřetelné výhody. Chaos usnadňuje rychlou reakci na vnější stimulus. Vzpomeňte si na hráče tenisu čekajícího na podání. Stojí klidně? Pohybuje se pravidelně ze strany na stranu? Ovšemže ne. Přešlapuje nepravidelně z jedné nohy na druhou. Zčásti se snaží zmást svého protivníka, připravuje se však i k reakci na podání jemu směřované. Aby se mohl rychle pohnout v kterémkoli určitém směru, vykonává rychlé pohyby v mnoha různých směrech. Chaotický systém může reagovat na vnější události mnohem rychleji a s mnohem menším úsilím, než systém nechaotický. To je významné pro inženýrské problémy řízení.

Víme nyní například, že některé druhy turbulencí pocházejí z chaosu – což je to, co činí turbulentní chování podobné náhodnému. Nasazením řídícího mechanizmu, který extrémně rychle reaguje s cílem rušit jakkoli malou oblast nastávající turbulence, lze dosáhnout toho, aby bylo proudění vzduchu při povrchu letadla méně turbulentní, tudíž aby kladlo menší odpor pohybu. Živé bytosti se musí také chovat chaoticky, aby mohly rychle reagovat na měnící se okolí.

Skupina matematiků a fyziků, mezi nimi William Ditto, Alan Garfinkel a Jim Yorke, proměnila tuto myšlenku v extrémně užitečnou praktickou techniku: říkají tomu chaotické řízení. V zásadě je základní myšlenkou přimět efekt motýlího křídla, aby pracoval pro vás. Fakt, že malé změny v počátečních podmínkách vytvářejí velké změny v následném chování, může být výhodou; stačí úplně, abyste dostali ty velké změny, které potřebujete. Naše chápání toho, jak funguje chaotická dynamika, umožňuje navrhnout řídicí strategie, činící přesně toto. Tato metoda má za sebou řadu úspěchů. Umělé satelity používají ke korekcím letu palivo zvané hydrazin. Jedním z prvních úspěchů chaotického řízení bylo odklonění mrtvého satelitu z jeho oběžné dráhy a jeho nasměrování k setkání s asteroidem, a to s použitím jen malinkého množství hydrazinu, který na palubě zbyl. NASA zařídila, aby satelit několikrát oblétl Měsíc, pokaždé ho vždy kousek postrčila malou explozí hydrazinu. Uskutečnilo se několik takových setkání v operaci, která úspěšně využila výskyt chaosu v problému tří těles (zde Země/Měsíc/satelit) a s ním spojeného efektu motýlího křídla.

Táž matematická idea se použila pro řízení magnetického pásu v turbulentní kapalině – prototyp pro řízení turbulentního toku kolem ponorky nebo letadla. Chaotické řízení se použilo k návratu nepravidelného rytmu srdce k pravidelnému rytmu, předzvěst inteligentního pacemakeru. Zcela nedávno bylo chaotické chování použito jak k nastavení, tak zabránění rytmických vln elektrické aktivity v mozkové tkáni, čímž se otevřely možnosti pro zabránění epileptickým záchvatům.

Chaos je prosperující průmysl. Každý týden vznikají nové objevy v matematickém chaosu, nové aplikace chaosu na naše chápání přirozeného světa, nebo nová technologická použití chaosu – včetně chaotické myčky nádobí, japonského vynálezu, používajícího dvě rotující ramena chaoticky vířící tak, aby myčka spotřebovala méně energie. A také britský stroj, používající analýzu dat na základě teorie chaosu ke zlepšení kontroly kvality v továrně na pružiny.

Zbývá toho ještě hodně udělat. Možná krajním neřešeným problémem chaosu je podivný svět kvant, v němž kraluje paní Štěstěna. Radioaktivní atomy se rozpadají ,náhodně‘, jediné pravidelnosti zde jsou statistické. Velké množství radioaktivních atomů má dobře definovaný poločas rozpadu – období, v němž se rozpadne polovina atomů. Nemůžeme však předpovídat která polovina. Výše zmíněný protest Alberta Einsteina cílil na tuto otázku. Opravdu není vůbec žádný rozdíl mezi radioaktivním atomem, který se teď nerozpadne, a tím, který ano? Jak potom atom ví, co má dělat?

Mohla by být zdánlivá náhodnost kvantové mechaniky podvodem? Není to deterministický chaos? Představte si atom jako svého druhu kmitající kapku kosmické tekutiny. Radioaktivní atomy vibrují velmi energicky a každá taková kapička se může rozdělit – rozpadnout. Vibrace jsou tak rychlé, že je nemůžeme detailně změřit. Můžeme měřit pouze průměrné hodnoty, jako jsou úrovně energie. Klasická mechanika nám říká, že kapka reálné tekutiny může vibrovat chaoticky. Činí-li tak, pak je její pohyb deterministický, ale nepředvídatelný. Občas, ,náhodně‘, se vibrace spiknou a odštěpí drobounkou kapičku. Efekt motýlího křídla znemožňuje říci předem, kdy se kapka rozštěpí, ale tato událost má přesně statistické rysy, včetně dobře stanoveného poločasu rozpadu.

Mohl by být zdánlivě náhodný rozpad radioaktivních atomů něčím podobným, ale v mikroskopickém měřítku? Ostatně proč jsou zde vůbec nějaké statistické pravidelnosti? Jsou stopami nějakého determinismu? Z čeho jinak mohou statistické pravidelnosti pocházet? Bohužel nikdo dosud tuto svůdnou myšlenku nerozpracoval – ačkoli je svým duchem blízká módní teorii superstrun, v níž je subatomická částice svého druhu excitovaně vibrující smyčkou. Hlavním podobným rysem je zde to, že jak vibrující smyčka, tak vibrující kapka, zavádějí do fyzikálního obrazu nové ,vnitřní proměnné‘.

Podstatný rozdíl je ve způsobu, jak tyto dva příklady zacházejí s kvantovou neurčitostí. Teorie superstrun, podobně jako konvenční kvantová mechanika, se na tuto neurčitost dívá jako na pravou náhodnost. V systémech, jako je kapka, je však zdánlivá náhodnost vytvářena deterministickou, avšak chaotickou dynamikou. Ten trik by spočíval – jen kdyby někdo věděl, jak to udělat – ve vynálezu nějakého druhu struktury, která by zachovala úspěšné rysy teorie superstrun a současně by ponechala některé vnitřní proměnné chovat se chaoticky. Byl by to přitažlivý způsob, jak zachovat Boží kostky deterministickými a smířit se s Einsteinem.

/Ian Stewart: Čísla přírody. Neskutečná skutečnost matematické představivosti. /