Aktuální číslo:

2017/12

Téma měsíce:

Kontakty

Aritmetika, vědomí a čas

Slavná Hofstadterova kniha konečně v českém překladu, část IV D. R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach – Existenciální gordická balada Argo/Dokořán, Praha 2012
 |  7. 3. 2013
 |  Vesmír 92, 177, 2013/3
 |  Seriál: Gödel, Escher, Bach, 4. díl (Předchozí)

Dostáváme se k čtvrté a poslední části úvah nad knihou Gödel, Escher, Bach (GEB).1) Dle Hofstadtera by jistý zvláštní typ zacyklení v mozku či mysli2) mohl sloužit jako vysvětlující princip pro myšlení, vědomí a pocit „já“.3) Totiž právě ten typ zacyklení, které Hofstadter nazývá podivnou smyčkou a které se může, ba dokonce musí podle něj vyskytnout v každém dostatečně složitém systému o několika (raději mnoha) úrovních, pokud tento systém vhodným způsobem odkazuje na sebe sama (autoreference), a to napříč úrovněmi (spletitá hierarchie).

Ona titulní věta druhé knihy: „Jsem podivná smyčka“ může být čtena různými způsoby. Gramatická první osoba (jsem) může znamenat, že věta mluví o sobě, že celá kniha mluví o sobě, že její autor (Hofstadter) mluví o sobě, přičemž to poslední lze zobecnit na „Člověk je podivná smyčka“. Z jiného hlediska lze větu domýšlet jako: „Jsem věru podivná smyčka“. anebo: „Jsem nic než podivná smyčka“. Každé z těchto čtení (nejvíc to poslední, řekl bych) svým způsobem reprezentuje Hofstadterovy názory. K těm se snad dostaneme.

Z hlediska geneze idejí je pozoruhodné, že k myšlence podivných smyček Hofstadtera nepřivedlo nic přízemnějšího než Gödelova (meta)věta o neúplnosti formální aritmetiky. Přesněji řečeno, nadchlo jej autoreferenční kouzlo užité v důkazu této věty (s. 762).

Šifra mistra Gödela

Pro naše účely naštěstí nepotřebujeme vidět onen důkaz vcelku, stačí tolik, aby problesklo dotyčné kouzlo. Proto se omezím jen na náznak důkazu, a to ve dvou krocích.4)

První krok: V jazyce formalizované aritmetiky se zformuluje tvrzení, označme si ho G, které mluví o vlastnostech jistých přirozených čísel. Co o nich říká, není zajímavé, důležité je, že toto tvrzení G má v důmyslně zašifrované podobě ještě druhý význam, totiž „Nedám se dokázat“. (Realizovat tento krok – čili zformulovat G – je neobyčejně pracné a Gödel ukázal, jak se to dá udělat mj. díky tomu, že aritmetické důkazy lze považovat za formální objekty.)

Druhý krok: S využitím jisté paralely s paradoxem lháře se ukáže, že tvrzení G nemá jinou alternativu než mít pravdu – jinak by strašil logický spor. Jaký spor? Kdyby totiž G bylo nepravdivé, bylo by dokazatelné (čili opak toho, co říká), a protože cokoliv, co je dokazatelné, musí být pravdivé (je to vlastnost všech bezesporných teorií), bylo by i G pravdivé. Takže jasný spor! Jediná možnost, jak se mu vyhnout, je prostě považovat G za pravdivé (ve shodě s tím, co říká).

Stojí za to si to dobře promyslet (nestyďte se číst znovu a pomalu). Jak vidno, existuje konkrétní, pravdivé, a přitom nedokazatelné tvrzení formální aritmetiky. Tudíž formální aritmetika a s ní i všechny teorie na ní založené jsou neúplné – ale o to teď vlastně nejde.

O co jde, je ona podle Hofstadtera „nejprůzračnější podivná smyčka“ (s. 762), kterou lze v uvedeném důkazu odhalit. Všimněte si: tvrzení G mluví samo o sobě, což je případ kouzla autoreference. Přitom je nutno přecházet z jedné úrovně do jiné – kromě úrovně syntaktické (písmena a značky, z nichž je G poskládáno) tu totiž jsou ještě další dvě úrovně sémantické (jednak co G říká o přirozených číslech, jednak co říká o dokazatelnosti či nedokazatelnosti čili o aritmetice jako takové). Neboli je tu druhé kouzlo, spletitá hierarchie. (To, že autoreferenční vztah v G obsahuje negaci, zde vlastně nehraje roli – G by docela dobře mohlo být pyšné na svou příslušnost do elitní kategorie nedokazatelných vět.)

Na různých místech a s různým důrazem Hofstadter tvrdí, že obdobná podivná smyčka či spletitá hierarchie existuje ve světě symbolů (symbolů v jeho smyslu), tedy i v mozku. Krátce řečeno, „subjekt začíná existovat v okamžiku, kdy získá schopnost, aby reflektoval sám sebe“ (s. 726).

Vezměte si čas

Nedivil bych se, kdyby nějaká obdoba Hofstadterovy podivné smyčky, založené na meziúrovňové autoreferenci, opravdu nějak tajemně, spletitě a nepopsatelně souvisela s prožitkem vědomí. Jakmile se totiž začne mluvit o sebevztažnosti, vždy se samo toto mluvení ocitá v jakémsi zvláštním paradoxu (vzpomeňme na zmínku o kvazisubjektivitě minule). Nezdá se mi však, že by pouhá paradoxnost či jiná verbálně popsatelná podivnost stačila na vznik fenomenální, jevové stránky vědomí, tím méně že by vedla k teoretickému porozumění vědomí a „Já“.

Tím se však zabývat nechci a neumím. Zde bych chtěl jen poukázat na jeden dílčí aspekt těchto otázek, na nějž často mnozí, včetně Hofstadtera, zapomínají. Je to rozlišení stavů či dějů reálného světa od formálních „dějů“ ve světě matematických idealit. Klíčem k tomuto rozlišení je čas. Zatímco logické paradoxy jsou bezčasové – nemůže něco platit a současně neplatit, být a současně nebýt (nenechme se mást etymologií slova „současně“), přesadíme-li tytéž paradoxy do reálného světa, ztratí se jejich absurdita, a to právě díky časové prodlevě, vždy nějak přítomné. Uvedu příklad.

Svého času jsem ve Vesmíru vyprávěl jednu půvabnou historku, která se promítla do japonského ideogramu pro „protimluv“.5) Připomenu ji: Jeden obchodník, který prodával halapartny a štíty, vyvolával: „Toto je dokonalá halapartna, která probodne každý štít. A toto je dokonalý štít, který odrazí každou halapartnu.“ Šel kolem mudrc a zeptal se: „Probodne tvá halapartna tvůj štít, anebo odrazí tvůj štít tvou halapartnu?“ Je to typ paradoxu, který by Hofstadter možná zařadil do jisté podkategorie dvoustupňových podivných smyček, totiž typu „A ničí B a B ničí A“ (například když se dva hadi vzájemně polykají od ocasu; ale nemusí jít ani o ničení: na Escherově obrázku zmiňovaném v části II, s. 52,) jedna ruka kreslí druhou ruku a ta zase prvou).

Mudrc chtěl odhalit spor, ale obchodník by se tomu uměl vyhnout. Poté, co pravdivě vyslovil svou první větu (o halapartně), rychle vyrobil dokonalý štít, aby mohl, opět pravdivě, vyslovit svou druhou větu (o štítu). Chce-li pak znovu potvrdit svou první větu, stačí, aby rychle vyrobil novou, ještě dokonalejší halapartnu. A tak dále.

V reálném fyzickém světě neexistují logické spory, existuje jen iterace, oscilace, chvění, kmitání a bzučení. Jistě znáte princip bzučáku: elektrický obvod sám sebe přeruší, když jím prochází proud. Avšak po přerušení nemůže procházet proud, takže obvod se zase sepne. A znovu. Klíčem jsou slůvka „když“, „zase“ a slovesné tvary, které jako by předpokládaly, že jedna věc se stane jindy než druhá a že se něco nějak mění – tedy v čase.

Hofstadter opakovaně zdůrazňuje, že jeho dávnou inspirací byl právě Gödelův důkaz. Gödelovské smyčce s autoreferencí přisuzuje velkou explanační sílu a píše o ní dokonce: „Myslím si, že […se] nakonec ukáže být podstatou umělé inteligence a že se dostane i do centra našeho úsilí porozumět fungování lidské mysli“ (s. 731). A znovu po dvaceti letech: „pojem podivné smyčky je klíčem k odhalení toho, čemu my, bytosti nadané vědomím, říkáme ,bytí‘ či ,vědomí‘“ (s. 762). „[…] jedno musí být řečeno přímo: gödelovská podivná smyčka, která vzniká ve formálních matematických systémech […], je smyčka, která takovému systému umožňuje ,vnímat sebe sama‘, mluvit o sobě, získat ,sebeuvědomění‘; […] díky této smyčce formální systém nabývá vědomí“ (s. 762–763).

Tím víc mě zaráží, jak málo se Hofstadter, milovník smyček, zabývá principiálním rozdílem mezi samovztažností v reálném čase a autoreferencí v bezčasých formálních systémech.6) Je jistě pravda, že si je tohoto rozdílu vědom, soudě aspoň podle zmínky, že „formální systémy nedisponují ničím, co by bylo obdobou času a vývoje“ (s. 767). To jsem sice našel až v jeho pozdějším „doslovu“ a spíše v souvislosti s evolucí, on nicméně vzápětí dodává: „Já osobně si nedokážu představit, že by se vědomí dalo plně pochopit bez odkazu na gödelovské podivné smyčky, zpětnovazebné smyčky křížící úrovně“ (s. 767). Zajisté to může chápat (a asi chápe) metaforicky, i to by ovšem stálo za pozornost.

Slovo o paradoxu lháře

V Gödelově důkazu je vynucena pravdivost jistého tvrzení, aby se předešlo sporu, který by vznikl, kdyby pravdivé nebylo. Dotyčné tvrzení („Nedám se dokázat“) připomíná paradox lháře („Nemám pravdu“, viz předešlou část eseje), ten je však mnohem radikálnější: prostě žádný únik nepřipouští. Proto nepřipustí ani nápodobu Gödelova důkazu – ukazuje se, že pojem (aritmetické) pravdy jednoduše nelze definovat uvnitř aritmetiky (s. 597). Tento výsledek je speciálním případem Tarského věty o nedefinovatelnosti pravdy.7)

Hofstadter je přesvědčen, že jakmile by vznikl spor na vyšší úrovni mysli, jak je tomu u paradoxu lháře, muselo by dojít k nějakému konfliktu i na úrovni fyzických událostí v mozku. „Stačí dvě takové události, které ze své podstaty nemohou nastat současně“ (s. 601). Jenomže Hofstadterův (poněkud naivní) fyzikalismus nedovoluje připustit něco konfliktního na fyzické úrovni, takže „bude nutné opustit názor, že by mozek mohl někdy obsáhnout zcela přesnou reprezentaci pojmu pravdivosti“ (s. 601). Vyslovuje domněnku, „že úplně modelovat pravdivost je nemožné již z fyzických příčin, jmenovitě proto, že by takový model vyžadoval současný výskyt fyzicky neslučitelných událostí v mozku“ (s. 601).

Jak Hofstadter poznamenává, toto „řešení“ paradoxu lháře je analogií zmíněné Tarského věty. Přehlíží však jeden důležitý rozdíl: sám mluví o mozku (potažmo o mysli), zatímco Tarského věta se týká formálního, bezčasého systému.

Co kdybychom, podobně jako v předchozím odstavci, vzali v úvahu čas? Prohlásí-li věta o sobě samé, že není pravdivá, chvilku jí můžete věřit, než si uvědomíte, co to pro ni znamená – že je nepravdivá! Takže se jí už nedá věřit. Změníte tedy názor, ale jen dokud si nevšimnete, že právě v tom s vámi potvora souhlasí. Tak proč jí znovu nevěřit? Čili má pravdu – nemá pravdu – má pravdu – nemá pravdu – má pravdu – nemá pravdu… a tak dále. Spor stále nikde, protože vždy uplyne nějaký čas, třeba jen pár milisekund (rychleji měnit názor stejně neumíte).

Je tu však postrach všech ostražitých filozofů: nekonečný regres! Ani toho se naštěstí nemusíme v reálném (našem) světě bát, protože každý další krok je o něco slabší a nudnější, až se náš zájem a pozornost tiše vytratí. Co zůstane, je naše potěcha z paradoxu. (A rovněž kouzlo tušeného nekonečna, ale to by už byl jiný příběh.)

Když už se jednou Hofstadter rozhodl vypustit paradox lháře do reálného světa, měl by se smířit s tím, že čas rozpustí spor. Logická (ne)pravda je jedna věc a (ne)pravda v reálném čase je věc druhá.

Vlastně to tak jednoduše nelze říct. I formalizovaný logický spor čtete a promýšlíte v reálném čase. A naopak zdlouhavému a únavnému přešlapování mezi výrokem a jeho negací se můžete vyhnout, když obojí napíšete na kus papíru, ten strčíte do kapsy a prohlásíte: „Mám v kapse spor!“ Jistě, obojí si lze představit, ale jaksi to uhýbá jinam. Formální systémy samy o sobě čas prostě nepotřebují, zatímco procesy v mysli bez něj nemají šanci.

Hofstadterův spletitý redukcionismus

O něco výše jsem přešel bez mrknutí Hofstadterovo přesvědčení, že zážitek paradoxu či sporu na úrovni mysli by musel být provázen fyzickým konfliktem na úrovni neuronů. Už jen díky tomu bychom mohli Hofstadtera považovat za radikálního redukcionistu (ve smyslu redukce všeho na stanovenou nejnižší, bazální úroveň). Nebylo by to přesné – nejenže on sám považuje radikální redukcionisty za své oponenty,8) ale co je důležitější, přináší svou (v jeho době novou) představu, že podstatou mysli (mozku) je souhra mnoha úrovní spletitě hierarchického uspořádání, v němž (jak již bylo citováno) nižší úroveň je sice zodpovědná za vyšší, ale je pro ni irelevantní.

Zde lze „zodpovědnost“ chápat tak, že vyšší úroveň se do ničeho nemá příliš míchat (epifenomenalismus zkřížený s emergentismem) a „irelevanci“ lze vidět v tom, že povaha substrátu by neměla hrát roli, mohly by to být neurony stejně jako tranzistory (funkcionalismus). Pokud mám škatulkovat, což příliš neumím, posadil bych Hofstadtera někam na půl cesty mezi hierarchickými redukcionistynereduktivními materialisty (prvou z těchto dvou škatulek jsem si vymyslel). Vše s výraznými prvky scientismu.

Když se analytičtí filozofové zmiňují o emergenci, mají zpravidla na mysli přechod z nějaké nižší úrovně na vyšší. Hofstadter naproti tomu vidí klíč v celé hierarchii vzájemně provázaných úrovní. Píše například: „Podstatou našeho porozumění sobě samým proto bude pochopení spletité hierarchie úrovní v našich myslích“ (s. 727). Nelze popřít určitou originalitu této myšlenky, můžeme se ale ptát, odkud se berou ony úrovně. Jsou aspektem reality jako takové, anebo jsme to my, myslící a teoretizující bytosti, kdo je do reality vkládá? Hofstadter často mluví o přechodech z úrovní do metaúrovní v tom smyslu, že objekty jedné úrovně slouží objektům druhé úrovně jako témata. Kreslící ruka kreslí kreslenou ruku, pravidla šachu určují průběh konkrétní partie, autor románu vymýšlí své postavy, metamatematika se zabývá matematikou, „symboly“ v mozku reprezentují jiné „symboly“.

Podobných příkladů najdeme v GEB mnoho, ale jsou to jen příklady, není jasné jak z nich vytěžit nějaký obecný princip. Vlastně o to Hofstadterovi ani nejde, jde mu především o mozek a v něm se rodící mysl. Jak je to však v mozku s úrovněmi? Vymýšlí je neurovědec, anebo jsou přirozené, jakoby objektivní? Na jednom místě Hofstadter píše: „Tak složitému systému, jako je mozek, se dostaneme na kloub jedině tím, že ho budeme strukturovat na stále vyšších a vyšších úrovních […]“ (s. 576). Ta věta není jednoznačná: máme při zmíněném strukturování respektovat nějaké přirozené úrovně, anebo je na nás, jaké úrovně si vymyslíme? Nikde v GEB jsem si nevšiml (možná jsem to přehlédl), že by se Hofstadter explicitně zabýval ontologickou povahou úrovní. Pro jeho hierarchický redukcionismus by to asi bylo namístě.

Mimochodem, v reálném světě existují příklady přirozených úrovní – hned nás napadne evoluce s úrovní jedinců oproti úrovni druhů. Domnívám se – a právě evoluce mě k tomu navádí –, že k identifikaci přirozených úrovní je nutno vzít vážně čas, lépe řečeno odlišnost časových měřítek dějů v různých úrovních. Však i pravidla šachu by se mohla měnit, ale nesrovnatelně pomaleji, než je čas konkrétních sehrávek. A tak se nám čas opět vnutil jako problém.

Poznámky

1) D. R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach – Existenciální gordická balada. Argo/Dokořán, Praha 2012. Jako dříve v závorkách jsou odkazy na stránky (českého vydání) GEB.

2) Pro Hofstadtera je mysl jen nejvyšší úrovní mozku, a tudíž užívá slovo „mozek“ (brain) i tam, kde jiní (včetně mne) mluví o „mysli“ (mind).

3) Hofstadterův náhled dobře vystihuje titul jeho novější (dosud nepřeložené) knihy, „Jsem podivná smyčka“ (I am a Strange Loop, Basic Books, New York 2007).

4) Blíže viz (kromě GEB) též E. Nagel a J. R. Newman: Gödelův důkaz, VUTIUM, Brno 2003, nebo R. Smullyan: Navěky nerozhodnuto, Academia, Praha 2003. Srov. též Vesmír 75, 466, 1996/8 [Švandová].

5) Vesmír 83, 303, 2004/6 [„Peklo bez oken“].

6) Hypotetický „čas“ formalizovaných algoritmů a dynamických systémů je abstraktní.

7) Viz též en.wikipedia.org/wiki/Tarski’s_undefinability_theorem.

8) Za své pravé oponenty (kteří stojí za to, aby se o nich zmiňoval) považuje materialisty radikálnější, než je sám (včetně Searla), anebo zombie-filozofy (včetně svého někdejšího školitele Chalmerse). Jiným než materialistickým názorům se spíš jen útrpně pošklebuje, o fenomenologii ani slovo.

Ke stažení

OBORY A KLÍČOVÁ SLOVA: Fyzika
RUBRIKA: Nad knihou

O autorovi

Ivan M. Havel

Doc. Ing. Ivan M. Havel, Ph.D., (*1938) absolvoval FEL ČVUT v Praze. V letech 1969–1971 studoval Ph.D. (počítačové vědy) na University of California v Berkeley. Několik let pracoval jako výzkumný pracovník v Ústavu teorie informace a automatizace ČSAV. V současné době je docentem na Univerzitě Karlově v Praze a působí v Centru pro teoretická studia (společném pracovišti UK v Praze a AV ČR), jehož byl v letech 1990 – 2008 ředitelem. Přednáší na MFF UK.
Havel Ivan M.

Doporučujeme

Jak si delfíni ucpávají uši

Jak si delfíni ucpávají uši audio

Jaroslav Petr  |  17. 12. 2017
Hluk v mořích a oceánech produkovaný člověkem ohrožuje kytovce. Může je dočasně ohlušit nebo jim trvale poškodit sluch. Nově objevený fenomén by...
Tajemná sůva šumavská

Tajemná sůva šumavská

Jan Andreska  |  17. 12. 2017
Byl vyhuben a vrátil se. Na Šumavu lidskou snahou a do Beskyd vlastním přičiněním. Puštík bělavý teď žije opět s námi, ale ohrožení trvá.
Hmyz jako dokonalý létací stroj

Hmyz jako dokonalý létací stroj

Rudolf Dvořák  |  4. 12. 2017
Hmyz patří k nejdokonalejším a nejstarším letcům naší planety. Jeho letové schopnosti se vyvíjely přes 300 milionů let a předčí dovednosti všech...

Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru

Tištěná i elektronická
verze časopisu
Digitální archiv
od roku 1994
Speciální nabídka
pro školy a studenty

 

Objednat předplatné