Vejdou se počty do počítače?

Kurt Gödel ovlivnil zásadním způsobem tři oblasti: matematickou logiku, kosmologii a filozofii matematiky. První dvě oblasti jsou si natolik vzdálené, že – podle Penrose, který je spojil – existují stále ještě fyzici, pro něž je překvapením, že jejich Gödel je totožný s logikem Gödelem, a obráceně. Třetí oblast – filozofie matematiky – je známa a zkoumána nejméně, i když právě jí věnoval Gödel většinu svého života a úzce souvisí s oblastí první, logikou. Je to také tím, že Gödel skoro nic ze svých filozofických úvah nepublikoval a že vše, co máme, je jen několik ne zcela dokončených rukopisů, které se našly po jeho smrti a po dešifrování byly vydány poměrně nedávno. Všechno, co se týká filozofie matematiky, máme už i v českém překladu. ²⁾ Myslím si, že právě toto filozoficko-matematické tázání bylo tím, co ho přivedlo k těm nejslavnějším výsledkům v logice a skoncovalo s řadou iluzí. Pokusím se to ukázat a snad i zdůvodnit.

Napřed ale musím aspoň naznačit široký rámec, v němž se budeme pohybovat. Od Řeků jsme převzali dodnes platný vzor vyspělé vědecké teorie: je jím geometrie. Taková teorie sestává ze tří složek: jazyka této teorie, několika obecných vět v tomto jazyce (axiomů, přírodních zákonů) a pravidel, jimiž z těchto základních vět odvozujeme (dokazujeme, dedukujeme) důsledky teorie. S tím souvisejí tři otázky:

1. Jak je utvářen jazyk teorie (jaká je jeho syntax a sémantika)?

2. Jak se dostáváme k oněm základním větám (axiomům, zákonům)?

3. Jaká jsou pravidla odvozování a jaký je jejich jazyk?

Druhá otázka je předmětem mnoha sporů ve filozofii vědy: zda k axiomům či zákonům docházíme nějakou analýzou, intuicí, indukcí, generalizací, či prostě dohodou; tuto otázku necháme zcela stranou. K první otázce (o jazyku teorie) uvedu také jen několik poznámek. Od jazyka teorie se očekává, že má přesnou a jednoznačnou syntax, která dovoluje vytvářet a rozpoznávat správné věty. Se sémantikou (smyslem) vět je to složitější, protože základní pojmy takového jazyka nejsou definovány samostatně, nýbrž jen svými vzájemnými vztahy. Například v jazyku geometrie se neříká, co je bod nebo přímka, nýbrž jen že nějaký bod leží na nějaké přímce. Geometrie není o tečkách a čárách, podobně ani mechanika nepojednává o padajících kamenech či pohybujících se lokomotivách z učebnicových příkladů. Takové formální teorie by byly ovšem „o ničem“, byly by jen čistou strukturou. Proto přistupuje ještě jedna „sémantická“ složka, která se už formalizovat nedá, a tou je překlad z přirozeného jazyka do jazyka formálního a obráceně. Tak kupříkladu při řešení nějaké učebnicové úlohy řekneme, že lokomotivu budeme považovat za hmotný bod; když nám to pak nevyjde, neobviníme zpravidla teorii, ale tento překlad. S tím souvisí i jeden z pojmů úplnosti teorií: můžeme do dané teorie přeložit všechny ty věty přirozeného jazyka, které spadají do „kompetence“ dané teorie? K této otázce se vrátíme až na konci článku. Zbývá poslední část: pravidla odvozování čili dedukce. Jsou to pravidla transformační, která transformují nějaké věty na jiné věty (důsledky oněch vět). I zde se může klást otázka po úplnosti, totiž zda daná pravidla postihují všechny odvozovací postupy, které používáme v přirozeném jazyku a myšlení.

Toto pojetí vědeckých teorií dostalo konkrétní a přesnou podobu ve dvacátých a třicátých letech minulého století: Jazykem vědeckých teorií (jejich logickou syntaxí) je matematická logika (přesněji predikátový kalkulus prvního řádu), odvozovací pravidla jsou pravidla této logiky, matematika je čistou syntaxí jazyka, tj. podobně jako logika slouží jen transformování vět na věty jiné, k „počítání“. Požadavek překladu byl dvojí. Zaprvé teorie je vědecká (empirická) jen tehdy, pokud se důsledky této teorie dají nakonec přeložit do jazyka bezprostředních smyslových zkušeností (a tím ověřit). Druhý požadavek byl obrácený: věty, které se nedají přeložit do nějaké takové formalizované empirické teorie, jsou beze smyslu, jsou to pseudověty, blábol. Oba požadavky jsou hodně sporné, u druhého je to vidět na první pohled. Sám je totiž blábolem, protože se do žádné formalizované empirické teorie přeložit nedá.

Matematici a logici oné doby už dlouho zkoumali vlastnosti takových formálních teorií, zvláště matematických. Celé to bylo velmi svůdné. Vypadalo to, že bude možné nalézt zcela bezpečné a jisté základy matematiky, a později pak celé vědy, a zároveň i metodu jak systematicky a „mechanicky“ vědu rozvíjet: prostě pilným a pečlivým dodržováním všech pravidel.

První problém (jistoty) souvisel s konzistencí (bezesporností) vědeckých teorií. Tím se rozumí, že v takové teorii nelze odvodit současně nějaký důsledek i jeho opak. Konzistence není záležitostí přesvědčení, jde o jistotu, a tedy o důkaz. Zdálo se, že by to jít mělo, vždyť je to požadavek základní a vlastně jednoduchý. Gödel udělal těmto iluzím konec: dokázal, že takový důkaz konzistence neexistuje, dokonce ani pro aritmetiku. Malinko přesněji a konkrétněji: dokázal, že v žádné teorii aritmetiky nelze dokázat, že z ní neplyne rovnost 1 = 2. Rozumějme dobře i při tomto zjednodušeném výkladu slovům „v teorii aritmetiky“ a druhému slovu „důkaz“: znamenají, že jde o důkaz, který lze přeložit do teorie samé. Konzistenci aritmetiky lze ovšem dokázat nějakou silnější teorií, jenže pak problém konzistence prostě přeneseme na tuto silnější teorii. A ještě něco musíme dodat: to vše platí pro to (čistě syntaktické) pojetí teorií, které jsme zde vyložili (v odstavci o „konkrétní a přesné podobě“). Moje přesvědčení je, že Gödel svými negativními výsledky napadl už tehdy právě toto pojetí vědeckých teorií, zvláště pak tvrzení, že matematika je jen syntaxí jazyka.

Druhým problémem je něco, co bychom mohli nazvat definitivností vědeckých teorií v tom smyslu, že neponechávají nic otevřené či nerozhodnuté. Říká se tomu „úplnost“: O jednom smyslu tohoto slova jsme se už zmínili – o „překladové“ úplnosti. Ustálily se dva další významy tohoto slova; jednomu se říká poněkud zavádějícím způsobem „sémantická úplnost“ (nemá nic společného s překladovou úplností), a přestože i zde Gödel (tentokrát kladně) zasáhl, nebudeme se tím zabývat. Syntaktická úplnost znamená, že daná teorie dokáže v principu odpovědět jednoznačně na otázku o platnosti jakéhokoli tvrzení, které se v ní dá formulovat, ano nebo ne. Tedy pro každou správně utvořenou větu této teorie platí, že se dá odvodit buďto tato věta, nebo její negace, žádná věta nezůstane „nerozhodnutá“. Za nejslavnější výsledek matematické logiky dvacátého století se pokládá Gödelův důkaz, že žádná teorie aritmetiky (tudíž ani žádná teorie, která aritmetiku obsahuje či potřebuje), není úplná. ³⁾ Rozumějme dobře: zůstane neúplná, i když ji rozšíříme či doplníme. Než se pokusím vyložit podstatu tohoto výsledku v tom rozsahu, aby jej bylo možno komentovat, musím se vrátit na okamžik k oné ideji o „mechanizovatelnosti“ (dnes bychom řekli převoditelnosti na počítače) formalizovaných vědeckých teorií.

Řekli jsme, že (v našem „konkrétním a přesném“) pojetí vědeckých teorií se vše zakládá na čisté syntaxi. Ta dovoluje bezpečně poznat, co je a co není správně utvořená věta, co je a co není odvození (důkaz). Za těchto předpokladů lze mechanicky vytvářet postupně všechny (platné) důsledky dané teorie. Počítač (ideální) naprogramujeme tak, aby postupně vytvářel všechny řetězce znaků jazyka. U každého řetězce se pak ověří (čistě syntakticky), zda není posloupností gramaticky správných vět, které jsou pospojovány transformačními (deduktivními) pravidly (včetně toho, zda tento sled dedukcí zpětně vede až k axiomům či jiným formálně platným větám). Když ano, pak poslední věta je důsledkem teorie. Nechme stranou, že je to celé „nerealistické“, stačí, že to jde „v principu“.

A teď k výkladu Gödelova slavného důkazu neúplnosti. Bylo podáno mnoho popularizujících výkladů. Jednoduchou, ale pro naše účely dostatečně přesnou formulaci nabízí R. Smullyan: ⁴⁾ Abeceda jazyka nějaké teorie obsahuje (mimo jiné) pět znaků: ~ P N ( ). Tuto teorii nám zastoupí počítač, který je naprogramován tak, že postupně tiskne některé řetězce vytvořené ze znaků abecedy (jako výše: všechny „důsledky“ teorie). ⁵⁾ O daném řetězci budeme říkat, že je „tisknutelný“ (= „dokazatelný“, „odvoditelný“), pokud už byl nebo jednou bude naším počítačem vytištěn. Vlastnost „být tisknutelný“ si označíme pr, takže pr(x) znamená: x je tisknutelný. Tyto řetězce jsou předměty a nemůžeme (ba dokonce nesmíme) se ptát, co „znamenají“ – jsme v čisté syntaxi. Nyní ale některé řetězce vyčleníme a u nich řekneme, co znamenají (pozor, nikoli v oné teorii, tam už jsme si zakázali ptát se po smyslu). Jde o tyto řetězce, v nichž x zastupuje jakýkoli řetězec: ⁶⁾

P(x) znamená x je tisknutelný,

~P(x) znamená x není tisknutelný,

PN(x) znamená norma řetězce x je tisknutelná,

~PN(x) znamená norma řetězce x není tisknutelná.

Normou řetězce x se rozumí řetězec x(x), například normou řetězce P(N je řetězec P(N(P(N). ⁷⁾

Teď učiníme další předpoklad, totiž že náš počítač je naprogramován „správně“ – že říká „pravdu a nic než pravdu“. Když tedy vytiskne řetězec P(P(N), pak je řetězec P(N skutečně tisknutelný. Otázka nyní zní: říká počítač „celou pravdu“? Odpověď (Gödelova) zní: nikdy, vždy existuje řetězec (tvaru výše uvedených), o němž víme, že je pravdivý, ale počítač jej nikdy nevytiskne (teorie nedokáže). Teď je chvilka na malý test: Najdete takový řetězec?

Tím řetězcem je ~PN(~PN). Znamená totiž, že norma řetězce ~PN není tisknutelná. Tato norma je však ~PN(~PN), tj. původní řetězec. „Říká“ tedy, že on sám není tisknutelný. Netisknutelnost ale nestačí, musíme ještě dokázat, že je pravdivý. Jenže kdyby nebyl pravdivý, pak by byl tisknutelný, a to nejde, protože pak by náš počítač byl pokažený – tisknul by proti předpokladu i nepravdivé řetězce. Řetězec PN(~PN) ovšem tisknutelný také není, takže zde máme příklad „nerozhodnutelného“ řetězce.

Pokud jste se s tímto způsobem uvažování setkali poprvé a porozuměli jste mu, můžete mít pocit, že jste se stali obětí nějakého triku; že ten trik odhalíte a najdete chybu. Nezkoušejte to (či spíše zkuste to, protože tím lépe všemu porozumíte), není tam chyba a já nehodlám zpochybňovat tento (meta)matematický výsledek. Jde mi o něco jiného, totiž o některé interpretace tohoto výsledku, a zvláště o jeho předpoklady.

Všeobecně přijímané přesvědčení je, že Gödel přišel ke svému výsledku jakýmsi „omylem“ – a to i bez ohledu na to, co sám říkal (dodává se: později ovšem). Tedy že uvěřil v program čisté syntaxe a chtěl dokázat jeho úplnost, ale že mu nějak vyšla neúplnost. Pochybuji o tom. Gödel studoval ve Vídni a s logikou ho seznamoval Moritz Schlick, vůdčí postava Vídeňského kroužku. Neví se s jistotou, zda navštěvoval také přednášky či semináře Rudolfa Carnapa, který do kroužku přinesl „novou“ matematickou logiku (Carnap byl žákem Gottloba Fregeho, tvůrce matematické logiky). Za nepochybné se však pokládá, že Gödel četl Carnapovy poznámky o obecné axiomatice (Untersuchungen zur allgemeinen Axiomatik), které tehdy kolovaly mezi studenty. Tam se seznámil s Carnapovým pojetím matematiky jako čisté syntaxe, s pojetím, že matematika nemá žádný obsah a že slouží v empirických vědách jen k transformacím jedněch vět na jiné. Carnap to byl, kdo ho upozornil na monumentální Russellovo a Whiteheadovo dílo Principia Mathematica, které bylo ztělesním tohoto ducha. V roce 1928 (to bylo Gödelovi 22) psal příteli Herbertu Feiglovi, že byl na prázdniny doma u maminky v Brně a četl části tohoto díla; dodává: „byl jsem méně nadšen, než jsem čekal“. Myslím si, že Gödel už v té době chtěl Carnapovi dokázat, že matematika není čistá syntax a že jeho pojetí vědeckých teorií je chybné.

Podívejme se ještě jednou na onen řetězec, který o sobě tvrdí, že je netisknutelný (nedokazatelný), a přitom je pravdivý. Byl to řetězec ~PN(~PN), který podle našich definic říká, že norma řetězce ~PN není tisknutelná, tedy že řetězec ~PN(~PN) není tisknutelný. Podle týchž definic však totéž říká i řetězec ~P(~PN(~PN)), který ale tisknutelný klidně může být. Někoho by mohlo napadnout, že je to vyvrácení Gödelovy věty. Samozřejmě není: to, že oba řetězce říkají totéž, víme my, dokázat se to uvnitř teorie nedá (formálněji: nedá se dokázat ekvivalence obou řetězců). Upozorňuje nás to ale na to, o čem vlastně Gödelova věta je: Platnost či neplatnost se vypovídá o řetězcích, tedy předmětech, nikoli o tom, co říkají. To ovšem víme od začátku. Šlo nám o čistou syntax a ptát se, co řetězce říkají, jsme si zakázali. Syntaktická úplnost tedy znamená, že požadujeme rozhodnutelnost všech (správně utvořených) řetězců. To, že sice nemůžeme dokázat či vyvrátit nějaký takový řetězec, ale neznamená, že nemůžeme dokázat či vyvrátit řetězec, který (z našeho pohledu) říká totéž, nás při tomto pojetí nezajímá. Je to záležitost překladu.

To souvisí s jinou, dosti delikátní otázkou: Nakolik jsme zde oprávněni mluvit o pravdě (například onoho řetězce, který o sobě říká, že je netisknutelný)? Rozumějme dobře, tento řetězec patří i původní teorii (a „říká“ tedy něco zcela jiného, například vyjadřuje nějakou větu aritmetiky) a my pravdivost přenášíme i na tento řetězec. Wittgenstein ve velmi kritizovaném, ba vysmívaném odstavci z Poznámek o základech matematiky ⁸⁾ píše: Tak jako se musíme ptát, „v jakém systému je dokázaná?“, tak se musíme ptát i, „v jakém systému je pravdivá?“. Nezdá se, že by se to dalo odbýt tak snadno, jak si mysleli kritici těchto poznámek. ⁹⁾

Zbyl nám už jen slíbený třetí pojem úplnosti, té úplnosti, která by si možná větším právem zasloužila adjektivum „sémantická“. Hovořili jsme už o tom, že každá teorie má svůj jazyk a že do tohoto jazyka překládáme věty z jazyka přirozeného (musíme tyto věty „formalizovat“).

Jazyk teorie by měl být dost bohatý, měl by mít dostatečnou „vyjadřovací sílu“, abychom do něj mohli přeložit vše, co do oblasti dané teorie spadá. O takovou úplnost, zdá se, původně usiloval Frege, když chtěl vytvořit jazyk, který by formalizoval všechny důkazové prostředky, jichž matematici při své práci používají. Nechtěl vytvořit calculus ratiocinator (kalkulus lidského myšlení), nýbrž to, čemu se říká lingua characteristica, znakový jazyk, v němž by se všechny tyto postupy daly vyjádřit. Vytvořil ale jazyk (říkal mu Begriffsschrift, „pojmopis“), který byl právě kalkulem. Tento kalkulus dostal později název „predikátový kalkulus prvního řádu“ a stal se „klasickou matematickou logikou“. Jenže to není ta lingua characteristica, po níž toužil Frege. Její vyjadřovací schopnosti jsou omezené a syntaktická neúplnost Gödelovy věty je důsledkem této sémantické (v tomto jiném smyslu) neúplnosti. I když to možná z našeho zjednodušeného výkladu Gödelovy věty není hned patrné, zakládá se právě na predikátovém kalkulu prvního řádu (náznak: měli jsme tam počítač, kalkulátor). Rozšíříme-li vyjadřovací schopnosti logiky, Gödelova věta přestane platit. Rozšířená logika ovšem přestane být kalkulem.

Myslím si, že právě to chtěl Gödel ukázat, totiž že matematika není redukovatelná na čistou syntax, na kalkulus. Lidské myšlení je mnohem hlubší, než aby se dalo vypočítat, než aby se vešlo do počítačů. Nevejde se do nich ani aritmetika – počty.