Aktuální číslo:

2017/12

Téma měsíce:

Kontakty

矛盾 aneb Peklo bez oken

 |  14. 6. 2004
 |  Vesmír 83, 303, 2004/6

V japonském písmu kandži se pro „spor“ (ve smyslu „protimluv“) užívá dvojice znaků, z nichž první označuje halapartnu a druhý štít. 1) Zdalipak víte proč? Je takový starý čínský příběh: Byl jeden obchodník, který prodával halapartny a štíty. Vyvolával: „Toto je dokonalá halapartna, která probodne každý štít. A toto je dokonalý štít, který odrazí každou halapartnu.“ Šel kolem mudrc a zeptal se: „Probodne tvá halapartna tvůj štít, anebo odrazí tvůj štít tvou halapartnu?“Existuje mnoho rozličných protimluvů a protikladů, paradoxů a antinomií, hříček a jiných nonsensů, které si lidé vyprávějí více pro pobavení než k hlubší meditaci. Je to škoda, mnohé z toho by nás mohlo přivést k zajímavé úvaze, vybídnout k refl exi smyslu u jinak běžného pojmu, snad i odhalit skrytou mezeru v zákonech správného myšlení.Ve známém dramatu „Kodaň“ od Michaela Frayna 2) se Niels Bohr obrací k Heisenbergovi: „…ty jsi nikdy nedokázal pochopit, jak jsou paradoxy a protiklady plodné. To je zase tvůj problém. Celý tvůj život, každý dech je jediný paradox a protiklad, a přitom nedokážeš vnímat jejich krásu, stejně jako ryba nedokáže vnímat krásu vody.″ Heisenberg odpovídá: „Míval jsem občas pocit, že jsem polapen v jakémsi pekle bez oken.″Krása i plodnost paradoxů je úměrná jejich blízkosti k nějaké neblahé situaci, sebepopření či sebezničení, přičemž samy přímo nic nepopírají ani neničí. 3) Něco se třeba vrací v podivném cyklu zpět do situace, která měla být navždy opuštěna. Někdo tvrdí něco, co již samotným tímto tvrzením popírá. Gramofon se rozsype vibracemi z tónů, které sám přehrává. Počítačový program si volá sám sebe na pomoc. Televizní kamera má v záběru svou vlastní obrazovku. K pocitu jisté paradoxnosti stačí, když jedna věc působí na druhou věc tak, že druhá zpětně působí na první, zejména když toto zpětné působení nějak kazí původní působení. 4) Myšlenka, na které je založen jeden z největších výsledků matematické logiky 20. století, Gödelův důkaz neúplnosti formální aritmetiky, je ve svém jádru obdobou klasického paradoxu lháře: „Všichni Kréťané lžou,“ prohlásil Kréťan Epimenides – kde ani tak nejde o spor, jako o logicky vynucenou nepravdu; silnější verze je: „Jsem nepravdivá věta“ (pokud vám nevadí, že věta sama mluví).Ideu Gödelova důkazu 5) si předvedeme v pěti krocích: (1) víme, že tvrzení formální aritmetiky jsou o číslech; (2) ukáže se, že všechna tato tvrzení i jejich důkazy lze vhodně očíslovat (to je ovšem náročný a zdlouhavý krok); (3) speciálně tak dostane číslo i každé tvrzení o tom, že některé, obecně jiné tvrzení nemá důkaz (přesněji: že neexistuje číslo, které je číslem důkazu tvrzení s daným číslem); (4) mezi nimi lze najít i takové tvrzení, označme je G, které totéž tvrdí o sobě samém (o svém vlastním čísle) – G tedy říká: „G nelze dokázat“ (čili: „Nelze mě dokázat“); (5) toto tvrzení G je pravdivé: kdyby totiž nebylo, šlo by ho dokázat (podle toho, co říká), což je ve sporu s tím, že co lze dokázat, musí být pravdivé (vlastnost formálních teorií). Hle, demonstrovali jsme existenci aritmeticky nedokazatelné pravdy o číslech.Půvabem a trikem tohoto důkazu je samovztažnost jisté věty – její vztahování se k sobě samé. V tomto případě to byla věta jazyka aritmetiky, kterou jsme přistihli, jak o sobě tvrdí: „Nelze mě dokázat.“ Předtím jsme viděli ještě tvrdší sebeobvinění: „Jsem nepravdivá věta.“ Samovztažnost ovšem může být i kladná: „Jsem pravdivá věta“ (nebo neutrální: „Jsem věta o pěti slovech“). Vztahovat se k sobě mohou nejen věty, ale i jiní tvorové. Známý symbol pro recyklování vesmíru, had Uroboros, se k sobě chová dobře i špatně: krmí se požíraje se.Obchodník v našem čínském příběhu mohl přehánět, každá reklama musí přehánět. To je ovšem výklad nejméně poučný. Zajímá mě onen mudrc, který si asi myslel, že odpověď nemůže dostat. Nemůže, pokud onen příběh čteme formálně logicky. Logika zde jaksi překáží, nikoliv svou přesností, nýbrž svým bezčasím. V reálném, mimologickém světě může obchodník pečovat o své pravdy třeba takto: nejprve (pravdivě) vysloví svou první větu (o dokonalé halapartně), pak hbitě vyrobí dokonalý štít, aby mohl (opět pravdivě) vyslovit svou druhou větu (o dokonalém štítu). Načež si vzpomene na svou první větu, a proto vyrobí další, ještě dokonalejší halapartnu. A tak dále, každá věta bude (může být) pravdivá v okamžiku, kdy bude vyslovena. Na dotěrnou otázku mudrce odpoví: „Kterou halapartnu myslíš? A který štít?“Má vždy smysl se nad paradoxy zamýšlet, hledat zdroje protimluvů a učit se z nich. Okna se otevřou a vpustí příjemný, povzbudivý vánek.

Poznámky

1) Viz A New Dictionary of Kanji Use, Gakken, Tokio 1982, s. 376 a 380.
2) Viz též Vesmír 79, 587, 2000/10.
3) Samo slovo (z řeckého para tén doxan) naznačuje, že je to jen něco mimo či proti zdání, mínění, očekávání.
4) Tyto a další příklady byly výtečně zpracovány například D. Hofstadterem v známé knize Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Basic Books, New York 1979.
5) Matematici nechť laskavě přeskočí následující odstavec. (Podrobnější nástin důkazu lze najít v nedávno česky vydané knížce E. Nagela a R. Newmana „Gödelův důkaz“, VUTIUM, Brno 2003. anebo též R. Smullyan: Navěky nerozhodnuto. Úvod do logiky a zábavný průvodce ke Gödelovým objevům. Academia, Praha 2003.) O Gödelovi viz též Vesmír 75, 466, 1996/8.

Ke stažení

RUBRIKA: Úvodník

O autorovi

Ivan M. Havel

Doc. Ing. Ivan M. Havel, Ph.D., (*1938) absolvoval FEL ČVUT v Praze. V letech 1969–1971 studoval Ph.D. (počítačové vědy) na University of California v Berkeley. Několik let pracoval jako výzkumný pracovník v Ústavu teorie informace a automatizace ČSAV. V současné době je docentem na Univerzitě Karlově v Praze a působí v Centru pro teoretická studia (společném pracovišti UK v Praze a AV ČR), jehož byl v letech 1990 – 2008 ředitelem. Přednáší na MFF UK.
Havel Ivan M.

Doporučujeme

Tajemná „Boží země“ Punt

Tajemná „Boží země“ Punt uzamčeno

Břetislav Vachala  |  4. 12. 2017
Mnoho vzácného zboží starověkého Egypta pocházelo z tajemného Puntu, kam Egypťané pořádali časté obchodní výpravy. Odkud jejich expedice...
Hmyz jako dokonalý létací stroj

Hmyz jako dokonalý létací stroj

Rudolf Dvořák  |  4. 12. 2017
Hmyz patří k nejdokonalejším a nejstarším letcům naší planety. Jeho letové schopnosti se vyvíjely přes 300 milionů let a předčí dovednosti všech...
Hranice svobody

Hranice svobody uzamčeno

Stefan Segi  |  4. 12. 2017
Podle listiny základních práv a svobod, která je integrovaná i v Ústavě ČR, jsou „svoboda projevu a právo na informace zaručeny“ a „cenzura je...

Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru

Tištěná i elektronická
verze časopisu
Digitální archiv
od roku 1994
Speciální nabídka
pro školy a studenty

 

Objednat předplatné