Aktuální číslo:

2017/12

Téma měsíce:

Kontakty

Věstonická vrubovka

Sloužil paleolitický předmět k bijekci mezi prvky dvou množin?
 |  5. 6. 1997
 |  Vesmír 76, 310, 1997/6

Třináctého roku vykopávek ve stanici lovců mamutů u Dolních Věstonic (viz Vesmír 73, 137, 1994/4) objevil 19. 8. 1936 Karel Absolon osmnáct cm dlouhou lýtkovou kost mladého vlka, na níž nalezl 55 zářezů. Od dvou delších, ležících uvnitř řady, jich bylo na jednu stranu (bazálně) 25 a na druhou (terminálně) 30 (obr. obrázek). Tuto kost považoval K. Absolon za vrubovku (viz výklad v rámečku). Před 2. světovou válkou o svém nálezu publikoval jen dvě krátké zprávy. Jednu v Illustrated London News 2. října 1937, druhou o rok později v časopise amerických historiků vědy ISIS (vol. 28, str. 462 – 3, 1938). Kompletní výzkumná zpráva byla sepsána až po válce.

Všimněme si nejprve podivuhodných osudů Absolonovy vrubovky v některých dalších pracích. Nebylo pochyb o tom, že jde o zajímavý nález, tehdejšími metodami odhadovaný na stáří 10 až 30 tisíc let, který měl podle K. Absolona vztah k počítání. Sloužil tento paleolitický předmět k záznamu počtu, k vyjádření rytmu, jako kalendář, nebo jako symbol či ornament? Za předpokladu, že by interpretace K. Absolona byla správná, byl to v té době (1936) nejstarší nález vrubovky. Alespoň velmi připomínal počítací hůlky (rabuše, rováše, vrubovky), o nichž je známo, že patřily (ovšem mnohem později) mezi početní instrumenty negramotných lidí leckde na světě, například v Evropě až do tohoto století, a v některých oblastech světa se používají dodnes.

Záhy po válce (1948) se tato vlčí kost objevila v přehledné práci D. J. Struika a v pozdější knize K. Vogela o počátcích matematiky, které vycházely z původních zpráv Absolonových. Po německém a anglickém vydání atlasu J. Jelínka se r. 1980 objevilo i české a slovenské. A v této knize je nález věstonické vrubovky lokalizován do jeskyně „Pekárny“. Vzdálenost obou míst je cca 50 km vzdušnou čarou. Tato populární kniha rozšířila nepřesnost o provenieci věstonické vrubovky i do odborné literatury. Tak třeba nové vydání Dějin elementární matematiky J. Tropfkeho už věstonické vrubovce připisuje za rodiště rovněž „Pekárnu“ a největší korunu původu této vrubovky nasazuje publikace Pohľad do dejín matematiky, která „Pekárnu“ situuje přímo do Dolních Věstonic. Inu, jednodušší je historická kompilace než nahlédnutí do originálních zdrojů.

Absolonův nález nebyl jediný

Vraťme se ale k Absolonově interpretaci vlčí kosti z Věstonic. Ohodnotil ji jako podivuhodnou počítací hůlku, která spadá do motivů geometrické ornamentiky. Popsal ji jako vlčí kost s vyrytými čarami, jež podle jeho názoru představují pojmy číselné, násobky pěti (pět prstů na ruce), jednou pět krát pět, podruhé šest krát pět. Považoval ji za nejstarší dokument pro dějiny matematiky na světě.

Tehdy to skutečně byl nejstarší předmět tohoto typu na světě, a ani Absolonův odhad stáří se příliš neliší od dnešní datace, stanovené současnými metodami na 28 až 25 tisíc let. Ovšem od té doby se objevila řada dalších nálezů: kost s vruby od osady Ishango (obrázek) u Edwardova jezera v Zaire, datovaná mezi 9 a 6,5 tisíce let př.n.l., paviání kost s vruby (obrázek) v jeskyni v pohoří Lemombo v jižní Africe, která stářím odhadovaným na 35 tisíc let překonala i věstonickou vrubovku. Rovněž z Francie a ze Sibiře pocházejí obdobné archeologické nálezy, jak ukazují práce A. Marshacka a B. A. Frolova.

Domnívám se, že Absolonovy interpretace věstonické vlčí kosti stejně jako Heinzelinovy výklady kosti z Ishanga vycházejí příliš z našich znalostí vlastností kvantit, číselných soustav a počítání. Tak třeba J. Heinzelin předpokládá, že lidé užívající ishangskou vrubovku byli schopni počítat v desítkovém číselném systému a že v prvém sloupci zářezů na kosti jsou čísla umístěna do dvojic, jako by se zde užívalo zdvojnásobování nebo půlení:

1. sloupec: 3,6 | 4,8 | 10,5 | 5,7

přičemž jako by poslední dvojice spíš patřila k třetímu sloupci, kde bychom mohli předpokládat, že si zaznamenali téměř všechna prvočísla do dvaceti

3. sloupec: 11 | 13 | 17 | 19

naproti tomu druhý sloupec jako by obsahoval přičítání a odečítání jednotky od deseti a dvaceti

2. sloupec: 11 | 21 | 19 | 9

Na druhé straně A. Marshack, který provedl mikroskopickou analýzu všech vrubů na ishangské vrubovce, došel k závěru, že zářezy byly vykonány 39 různými nástroji a značky byly s největší pravděpodobností v úzké vazbě na data lunárního kalendáře. Tato analýza podporuje myšlenku postupného, a nikoliv okamžitého vytvoření vrubového záznamu, a tedy protiřečí interpretaci Heinzelinově.

Osobně považuji za podstatné, že pravděpodobně jde o velice řídké nálezy artefaktů, které se dochovávaly v „obchodních“ a „daňových“ záznamech počtů ještě dosti nedávno před naší dobou lidmi, kteří neuměli počítat.

Srovnáme-li pak početní techniku primitivních kmenů, jak ji popisují někteří cestovatelé nebo misionáři, zjišťujeme, že tito lidé neznali číslovky vyšší než dvě, tři či čtyři a snad jejich jednoduché kombinace. Přesto však byli schopni vzájemně porovnávat různá větší množství bez numerace. Užívali velmi jednoduchého jednoznačného přiřazení (dnes bychom řekli bijekce) mezi prvky dvou množin, přičemž prvky zde netvořily jednotlivé předměty obdobné hodnoty, ale skupiny těchto předmětů hodnotově ekvivalentní skupinám předmětů z jiného množství. To se uplatňovalo ve směně zboží.

Po určení základních ekvivalentů předmětů vstupujících do směny (tři kožky za dvě hrsti soli) příslušníci jednoho kmene přišli na tržiště a každý člen nesl tři kožky, členové druhého kmene měli obě hrsti plné soli. Jednotlivci se postavili proti sobě a tam, kde měli svůj protějšek, si vyměnili tovar. Kde protějšek nebyl, směna neproběhla. Nikdo přitom nevěděl, kolik předmětů se vyměnilo. Každý byl však přesvědčen, že směna proběhla spravedlivě.

Představme si situaci, kdy se měla porovnávat dvě množství, která byla umístěna na různých místech, a nebylo třeba je přenášet a porovnávat tak, jak jsme to popsali. Pak bylo třeba pro takovou bijekci najít zprostředkujícího nositele – a to by mohl být případ věstonické vlčí kosti. Každé množství se zaznamenalo od dvou dlouhých vrubů uprostřed na jednu nebo druhou stranu kosti. Pak stačilo jen pozorným a synchronním posouváním nehtů obou palců postupně na jedné straně dospět ku konci (obr.. To, co na druhé straně zbývalo, bylo navíc. Tento zbytek se mohl nakonec dopočítat na prstech anebo jen pamatovat, a z daného množství vyloučit tolik předmětů, kolik jich příslušelo vrubům neprošlým nehty.

Co se týká ishangské vrubovky, je pravěpodobné, že Marshackova hypotéza je oprávněná, zejména když podobné hůlky používají jako kalendáře primitivní africké kmeny dodnes. Je ovšem možná i jiná interpretace. K. Menninger se ve své knížce zmiňuje o vrubovce (obr. obrázek), kterou používal švýcarský honák krav jako vnější paměť. S jarem sehnal krávy z celé vesnice a vyhnal je do hor spásat alpské louky a tam se s nimi zdržoval až do zámrzu. Mléko a výrobky byly však transportovány do údolí, prodávány a peníze schraňovány. Teprve po podzimním návratu stáda do údolí přinesl pasák na své holi záznam, kolik která kráva vyprodukovala mléka. To byla pak pomůcka k dělení zisku. I u ishangské vrubovky by mohlo jít o záznamy určité produkce či lovu anebo počtu dobytka apod.

Podstatné na těchto pomůckách je, že umožňovaly pracovat s většími počty přesně podle potřeb, aniž by tehdejší lidé potřebovali mít nějakou soustavu na základě deseti či pěti, aniž by museli vymýšlet jména vyšších číslovek. I primitivní instrument, vhodně použitý, rozšiřoval už na primitivním stupni civilizace lidské možnosti.

Literatura

K. Absolon: Výzkum diluviální stanice lovců mamutů v Dolních Věstonicích na Pavlovských kopcích na Moravě. Brno 1945
A. Marshack: The Roots of Civilisation, New York 1972
D. J. Struik, Concise History of Mathematics, český překlad 1963
K. Vogel, Vorgriechische Mathematik (1958)
J. Jelínek, Velký obrazový atlas pravěkého člověka, Mladá Fronta/Mladé Létá, Praha/Bratislava 1980
J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik, (4. vyd.) 1981
Š. Znám et al.: Pohľad do dejín matematiky, Alfa/SNTL 1986
B. A. Frolov, Čisla v grafike paleolita, Novosibirsk 1974
K. Menninger, Kulturgeschichte der Zahlen, Breslau 1934
B. Klíma: Das paläolitishe Massengrab in Dolní Věstonice. Quartär 37/38, 1987
E. Emmerling, H. Geer, B. Klíma: Ein Mondkalenderstab aus Dolní Věstonice. Quartär 43/44, 152–162, 1993

RABUŠE, ROVÁŠ, VRUBOVKA


Tak se nazývaly hole nebo laťky, které sloužily jako pomůcky k účtování. Dělaly se do nich zářezy, vruby, podle počtu dodaného zboží, pracovních jednotek, ovcí svěřených bačovi apod. Po zaplacení, odvedení nebo vůbec vyřízení věci se vrubová plocha seřezala zase na hladkou. Byly i rabuše dvojité. Když bylo třeba potvrdit výkon, například jízdu s naloženým vozem, části obou zúčastněných stran se přiložily k sobě a vrub se udělal najednou. Při účtování pak musely vruby souhlasit, jeden přiléhal k druhému. Později se rabuše říkalo i tabulím v hospodách, jak dosvědčují obraty piť na rováš (na dluh), udělat to na svůj vrub (na svůj účet, na svou odpovědnost), má u mne vroubek (nevyrovnaný dluh). Náš rováš od křivd pln je dluhů, píše A. Heyduk v jedné ze svých básní.

Východiskem bylo maďarské rovás zářez (od dělat zářezy). To převzala např. slovenština, polština a další slovanské jazyky. A jak se z rováše stala rabuše? Písmeno b se tam dostalo zřejmě z němčiny, prostřednictvím německých řemeslníků.

Krom toho se pro tento předmět používalo i slovo vrubovka, hůlka s vruby. Slovo vrub pochází od rubat (v-rubat), srovnej se slovy utvořenými jinou předponou: s-rub, ob-ruba atp. S rubat, resp. rubiť, souvisí například i ruské rubl, kousek odrubaného stříbra.

Pavla Loucká

LUNÁRNÍ KALENDÁŘ Z DOLNÍCH VĚSTONIC


Absolonova vrubovka není jediným nálezem svého druhu a dokladem početních schopností i grafického abstraktního vyjadřování paleolitických lovců mamutů od Dolních Věstonic a Pavlova pod Pavlovskými kopci. V roce 1986 k nim přibyla úzká tyčinka z šedavě okrového slínovce. Byla roztříštěna do zlomků, které, ač k sobě bezprostředně nepřiléhaly, bylo možno dle charakteru suroviny, barevné intenzity jejího přepálení i pravidelně kladené ryté výzdoby zcela spolehlivě rekonstruovat. Výzdobu tvoří krátké vrypy v příčném směru, které v podélné řadě následují rovnoběžně v naprosto pravidelném rytmu za sebou a které jsou šestkráte rozděleny vždy párem výraznějších rýh přes celou šířku tyčinky do pěti polí. Toto rozdělení vymezuje skupiny o 5, 5, 7, 7 a znovu 5 členech, přičemž souhrn činí 29 uzavřených jednotek. Odpovídá tak počtu dní jednoho měsíce a podporuje Marshackovu hypotézu o lunárních kalendářích.

Synodní měsíc přetrvává však 29 a půl dne. Aby model zřejmých fází měsíčního svitu odpovídal příslušnému počtu znaků, bylo třeba ještě jeden nepozorovaný půlden v grafickém vyjádření doplnit. To umožňovalo patrně okrajové pole, vyznačené na tyčince jen do poloviny její šířky. Obdobně je členěn počet znaků namalovaných o něco později ke konci starší doby kamenné na stěnách španělských jeskyní Canchal de Mohoma a Abri de la Vinas a kresbách na zlomcích mamutích klů z abri Blanchard a abri Lartet ve Francii i z ruského naleziště Gonci.

Pozoruhodnější je ovšem pět odpozorovaných forem nebeského kotouče, které odpovídají skutečné délce jednotlivých fází jeho svitu. Zejména pozvolné vyplňování měsíčního kruhu i s vlastní dobou úplňku a pak zase jeho ubývání přetrvává opticky déle nežli postup odvrácené tváře. Lze je vymezit pěti dny počátečního přibývání a pak sedmi dny jeho následného narůstání do plné formy, posléze rovněž sedmi dny postupného ubývání a konečně pěti dny nadále mizejícího obrazu. Přitom samotná doba úplňku v téměř pravidelném kruhu zůstává zdánlivě neměnná po několik dnů. Obrácenému cyklu nelze podobný jev přičítat, neboť zpravidla vždy umožňuje, byť jen úzkým srpečkem, celistvou podobu měsíce sledovat. Jasnějšímu údobí se tedy dává přednost a stinná fáze je opticky potlačována. Nelze se ubránit dojmu, že takový postup odpovídá skutečnému pozorování prostých očí. Při přednášce na Erlangenské univerzitě v r. 1994 zaujal tento výklad prof. Emmeringa, který po podrobném astronomickém pozorování a zevrubných propočtech správnost interpretace potvrdil.

Předmět ležel v bezprostředním dosahu společného hrobu tří lidí objeveného při archeologických pracích nad cihelnou u Dolních Věstonic a bezpochyby souvisel s rituálem pohřbu. Nálezová situace hrobu byla rekonstrukcí podivuhodné tragédie, patrně obtížného chirurgického zákroku v podbříšku tělesně velmi postižené ženy, trpící snad předporodními nebo porodními křečemi. Odvážná operace se nezdařila a oba její aktéři, medicinman vybavený charakteristickými atributy šamana a jeho pomocník, byli násilně usmrceni. Uložili je do hrobu po obou stranách zemřelé pacientky, aby ji podle tehdejších představ doprovázeli v pokračujícím životě v záhrobí. Stejný úděl stihl i vrubovanou tyčinku. Byla nejprve rozlámána a pak rozhozena do ohně, kterým byl pohřební rituál ukončen.

Nová vrubovaná tyčinka z Dolních Věstonic je bezesporu projevem vytříbeného pozorování přírodních jevů, zejména tajúplného měsíce na hvězdné obloze, a snad i domýšlených vazeb na osud členů dávných společností. Je také pramenem pro bližší poznání jejich představ o posmrtném životě.

Bohuslav Klíma

OBORY A KLÍČOVÁ SLOVA: Archeologie

O autorovi

Jaroslav Folta

RNDr. Jaroslav Folta (*1933) vystudoval Matematicko-fyzikální fakultu UK v Praze. Věnuje se dějinám přírodních věd a techniky. Touto tematikou se dlouhá léta zabýval v Národním technickém muzeu. Je místopředsedou Společnosti pro dějiny věd a techniky.

Doporučujeme

Tajemná „Boží země“ Punt

Tajemná „Boží země“ Punt uzamčeno

Břetislav Vachala  |  4. 12. 2017
Mnoho vzácného zboží starověkého Egypta pocházelo z tajemného Puntu, kam Egypťané pořádali časté obchodní výpravy. Odkud jejich expedice...
Hmyz jako dokonalý létací stroj

Hmyz jako dokonalý létací stroj

Rudolf Dvořák  |  4. 12. 2017
Hmyz patří k nejdokonalejším a nejstarším letcům naší planety. Jeho letové schopnosti se vyvíjely přes 300 milionů let a předčí dovednosti všech...
Hranice svobody

Hranice svobody uzamčeno

Stefan Segi  |  4. 12. 2017
Podle listiny základních práv a svobod, která je integrovaná i v Ústavě ČR, jsou „svoboda projevu a právo na informace zaručeny“ a „cenzura je...

Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru

Tištěná i elektronická
verze časopisu
Digitální archiv
od roku 1994
Speciální nabídka
pro školy a studenty

 

Objednat předplatné