Plus minus naše

Víte, kde se vzaly naše znaky pro sečítání a odečítání + a –? Pokud ne, pak si myslím, že mám pro vás malé překvapení. Aspoň pro mne to překvapení bylo.

Pátral jsem po tom (to zase není tak těžké, protože existují slovníky, příručky, a konečně i stará F. A. Cajoriho A history of mathematical notations (Chicago 1928, 1930), a zjistil jsem, že se znaky + a – objevily (v tištěné podobě) poprvé v učebnici kupeckých počtů jistého Johanna Widmana, který ji vydal poprvé v roce 1489 v Lipsku pod názvem Behend und hüpsch Rechnung uff allen Kauffmanschafften. Toto vydání naše Národní knihovna nemá, ale v oddělení rukopisů a starých tisků jsem nalezl vydání z roku 1526 (bez udání místa) s pravopisně (pokud něco takového tehdy vůbec bylo) pozměněným názvem Behennde unnd hübsche Rechnung auff allen Kauffmanschafften. S laskavým svolením Národní knihovny zde můžeme reprodukovat titulní stránku a na následujícím obrázku část strany1recto.

A teď už vidíte, proč o tom všem píši:

Johannes Widman von Eger Mayster In den Freyen Künsten zů Leibzig enbeüt Maister Sigmunden von Schmydmüle Bayrischer nation hail vn vnuerdrossen willig dienste.

Johannes Widman z Chebu, mistr svobodných umění v Lipsku, posílá mistru Sigismundovi ze Schmidtmühlen bavorského národa pozdravení a vytrvalé ochotné služby.

Takže Johannes Widman byl z Chebu! A plus minus je naše – ale jen ,plus minus‘. Podívejme se ještě na pokračování tohoto nadpisu. S pravopisem si nedělali starosti, Mayster jako Maister, horší je, že si sazeč pletl písmena: to ,b‘ v Leibzig je spíše obrácené ,p‘, ,b‘ vypadalo jinak, jak vidíme hned z dalšího trochu záhadného slova ,enbeüt‘. Rozluštil jsem to jako ,entbeut‘, a to z nynějšího ,entbieten‘, např. jmdm. seinen Gruss entbieten = ihn grüssen (lassen) = pozdravovat, nechat pozdravovat. O Sigismundovi Altmannovi ze Schmidtmühlen se ví, že to byl Dr. utriusque juris a rektor Lipské univerzity v roce 1504. Proč ale Widman u něj tak zdůrazňuje, že je (z) bavorského národa? Snad že on, Widman, je z Chebu, z Čech? Spíše ale otázka, zda je plus a minus ,naše‘, nemá dost dobře smysl; to ,naše‘, národnost atd. jsou vynálezy až dob mnohem pozdějších. Neberte to ale raději až moc vážně, nejsem historik. Ještě si všimněme, že sazeči se pletlo ,u‘ a ,v‘; chápeme ovšem dobře, že ,und‘ (vlastně ,unnd‘) se dost dobře rozdělit nedá: ,und unverdrossen willig Dienste‘.

Po Trentově knize Algorismus (1475) a Bambergských aritmetikách (1482, 1483) byla tato Widmanova kniha první tištěnou aritmetikou v Německu a daleko přesahovala své předchůdce jak rozsahem, tak množstvím příkladů.

O životě Johanna Widmana (který se také psal Weideman, Wideman) je toho známo velmi málo. Narodil se r. 1462 v Chebu, zemřel po roce 1498 v Lipsku. Na Lipskou univerzitu se zapsal r. 1480 jako ,Iohannes Weideman de Egra‘. Bakalářský titul získal r. 1482 a magisterský o tři roky později. Pak přenášel základy aritmetiky a algebry (v úvodu píše ,Algobre oder Cosse genanntt‘). Widmanova přednáška z r. 1486, která byla první v Německu, se zachovala v poznámkách nějakého studenta. Používal v ní značení cossistů pro mocniny a neznámé, i jejich znaky pro plus, minus a odmocninu (viz níže). (Tyto informace jsem čerpal z Dictionnary of Scientific Biography, vol. XIV, Charles Scribner’s Sons, New York, 1976, kde jsou uvedeny názvy dalších Widmanových knih, publikovaných vesměs anonymně a bez data i místa, a těžko dostupná literatura o Widmanovi a jeho díle.

Exemplář v Národní knihovně je svázán do jednoho svazku s jinou aritmetikou (Adama Riese). První výskyt + a – jsem našel na str. 72 recto, a to v souvislosti s nákupem fíků (text začíná na předcházející straně).

Item jeden koupil 13 beden fíků cent po 4 a půl zlatých (ale ještě než se dopočítáme výsledku, fíky záhadně zlevní). Otázce, kolik zrovna vážil jeden cent tam, kde kupec (Widman) nakupoval, se vyhneme; z dalšího vyplyne – a to nám bude stačit –, že cent měl sto liber. A kupec vážil bednu za bednou a výsledky zapisoval tak, jak vidíte na reprodkované stránce. V levém sloupci jsou centy, v pravém libry; první bedna vážila tedy 4 centy a 5 liber, tj. 405 liber, druhá 4 centy – 17 liber, tj. 383 liber atd. Všimněte si, že znaky pro plus (více) a minus (méně) jsou oba složeny ze dvou čárek. Je docela možné – předkládám to zde jako hypotézu –, že tento způsob označování v oné době byl u kupců zcela běžný a že zde se poprvé objevuje vytištěný v knize. Vypadá to totiž na to, že vodorovná čárka tam už byla, že prostě oddělovala centy od liber a když se muselo přidat na stranu závaží, zaznamenalo se to svislou čárkou |; když se přidalo na stranu bedny, přidala se další čárka –. Jiná hypotéza, kterou jsem kdysi někde četl, vykládá vznik těchto znaků ze značek na sudu vína: když se odebralo nějaké množství, udělala se vodorovná čárka, kam až víno sahalo (to je mi podezřelé, nevím, jak bych do sudu viděl), a když se víno doplňovalo, čárka se škrtla (takže vzniklo +). To je mi ale ještě více podezřelé, že by už tehdy dělali slivky? Praktický mi však připadá způsob vážení. U druhé bedny se zjistilo, že váží o trochu méně než 4 centy; byl by nesmysl sundat jeden cent a doplňovat spoustu závaží až do váhy 83 liber, lepší je přidávat závaží na stranu bedny – při 17 librách se to vyváží.

A teď úloha zní: kolik vlastně koupil fíků a kolik za ně měl zaplatit? Napřed zjistíme, kolik váží všechny bedny s fíky. Widman doporučuje tento postup: napřed sečíst všechny centy. To dá 43 centů, tj. 4300 liber. Pak sečíst všechny položky pravého sloupce, označené plus (to dá 233 liber) a přičíst k centům převedeným na libry. A už ho okradli! Mně vyšlo (přiznávám: pomocí kalkulačky) 4533 liber, nepozornému kupci 4539 liber (na straně 72 recto to najdete na 9. řádku). Co se dá dělat, těch šest liber navíc bude muset zaplatit. Musíme ale ještě sečíst ty libry, které mají znaménko –, výsledek je 75 a to musíme odečíst od předcházejícího součtu. Navíc musíme ale také odečíst váhu prázdných beden (Holz abschlahen). A jedna prázdná bedna váží 24 liber, celkem tedy 13 krát 24, tj. 312 liber, k tomu přidáme těch 75 a dostaneme 387. A když to odečteme od 4539 liber, dostaneme 4152 jako čistou váhu fíků. A teď můžeme vypočítat, kolik fíky stojí. Jeden cent fíků stojí 4 1/8 zlatých (říkal jsem, že zlevní; spravedlnost zvítězila; pokud ovšem zase kupec neošálil dovozce fíků), takže dostaneme 41,52 krát 4 1/8, tj. 171,27 zlatého, což činí, jak se dočítáme na posledním řádku, 171 zlatých 5 grošů a 4 4/5 haléře. Proč? To bychom museli vědět, kolik tehdy a v daném místě měl jeden zlatý grošů a kolik jeden groš haléřů. Nechtělo se mi kvůli tomu vstávat od stolu a od počítače (ostatně ani nevím, kde to hledat) a raději jsem se začetl do povídání o pepři, které hned následuje. Našel jsem tam také další minus a plus, a dokonce pěknější.

Item jeden pytel pepře váží 2 1/2 centu – 9 liber (konec prvního řádku jsem musel rekonstruovat z následujícího textu) a jedna libra se prodává po 8 groších – 3 haléřích. A budeme muset odečítat váhu prázdného pytle a ta činí 3 libry + 3/4 (libry). Těchto 9 liber a 3 3/4 libry odečteme od 250 a zůstane nám 237 1/4 libry. Načež odečteme 3 haléře od 8 grošů a zůstane 93 haléřů. A už to máme: 96 haléřů je osm grošů, čili 1 groš = 12 haléřů. Jedna libra pepře stojí 93 haléřů a čistý obsah pytle, tj. 237 1/4 libry, stojí 22064 1/4 haléře. A postupujeme-li podle pravidel, píše Widman, dostaneme 91 zlatých 18 grošů a 8 1/4 haléřů. Odečteme-li 8 1/4 haléře, zůstane 22056/12 = 1838 grošů, což má být 91 zlatých a 18 grošů, odečteme 18 grošů a dostaneme 1820 grošů, což má být 91 zlatých, takže konečně víme, že 1 zlatý = 20 grošů.

Konec meta-kupeckých počtů; ponechávám už jen jedno cvičení, že totiž opravdu 171,27 zlatých = 171 zlatých 5 grošů a 4 4/5 haléře.

A jak se označovalo plus a minus před Widmanem (a samozřejmě ještě i dlouho po něm)? Používalo se počátečních písmen p a m, popřípadě ,zkratek‘ a . Samotné slovo ,plus‘ (více) kupodivu také není tak staré, jak bychom si mohli myslet. Historik matematiky Gustav Eneström našel první výskyt tohoto slova v italské algebře ze 14. století. Všechno je to ale stejně jen ,plus minus‘.