U zrodu infinitesimálního počtu

Jak je možné matematicky popsat nosnost mostu, proudění vody či vývoj populace a další přírodní jevy, které na rozdíl od geometrických obrazců nejsou ostře vymezeny a v čase se mění? Jak je lze uchopit pomocí nekonečna?

Objev infinitesimálního počtu na přelomu 17. a 18. století je bezesporu jeden z nejdůležitějších vynálezů novověké matematiky. Jeho pomocí je možné zjistit sklon algebraických i transcendentních křivek, jejich lokální a globální extrémy, rovnice přiléhajících tečen i plochu, která se pod nimi rozkládá. Infinitesimální počet otevřel celé nové oblasti jak pro čistou, tak pro aplikovanou matematiku.

Od počátku byl obestřen rouškou tajemnosti. Zachází totiž s infinitesimálními (nekonečně malými) veličinami, které se nacházejí za horizontem naší přímé evidence, což bylo od antiky považováno za přinejmenším podezřelé. Leibniz se odvolával na „zákon transcendentální homogenity“, podle nějž je možné srovnávat neboli stanovit algebraické rovnice pro veličiny, které spadají do téhož řádu nekonečně velkého nebo nekonečně malého.

Otcové zakladatelé infinitesimálního počtu byli Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz, kteří v tom navazovali na řadu svých předchůdců Archimédem počínaje. Newton pracoval s tzv. fluxemi, zatímco Leibniz používal diferenciály. Infinitesimální počet byl od svého vzniku předmětem vášnivých debat. Jednak přinesl nebývalé úspěchy při řešení starých klasických problémů, na druhé straně byl postaven na výpočtech užívajících infinitesimální veličiny. „Ohromující úspěchy, které během pouhého desetiletí nová metoda rukou nemnoha zasvěcených dosáhla na poli geometrie a fyziky, spolu s její temnou a drtivé většině geometrů nesrozumitelnou povahou nutně musely vyvolávat otázky nejen po příčinách tak zarážející plodnosti, ale především pochyby ohledně přípustnosti a oprávněnosti jejích pojmů a operací“ (s. 91).

Nepříliš známý je příběh markýze Guillauma de l’Hospital a jeho mladšího učitele Johanna Bernoulliho, jenž se váže ke knize Analýza nekonečně malých za účelem pochopení křivých čar. Jedná se o první systematický výklad infinitesimálního počtu, jenž jej zpřístupnil širšímu okruhu vzdělanců, a na dalších sto let se stal jeho základní učebnicí. Analýza vyšla v Paříži v roce 1696 a byla to „kniha, jež byla bez velkého přehánění pro transcendentní geometrii tím, čím byly Euklidovy Základy pro geometrii konečnou“ (s. 24).

Jan Makovský: Markýz de l’Hospital a Analýza nekonečně malých

Nakladatelství Filosofia, Praha 2023, 478 stran, ISBN: 978-80-7007-709-2

Jan Makovský se věnuje dramatickým okolnostem vzniku Analýzy, jejímu překladu z francouzštiny a podrobným komentářům.

Analýza nekonečně malých je výklad diferenciálního počtu na podkladě infinitesimálních veličin a jeho užití pro křivky. L’Hospital vychází stejně jako Leibniz z pojmu diferenciálu, což je nekonečně malá veličina, o niž funkce „spojitě roste“, její „okamžitá změna“, a tedy také rozdíl délky či plochy při nekonečně malém posunutí geometrického objektu. Své dílo začíná slovy: Analýza vyložená v této práci vychází z běžné analýzy, a přece se od ní velice liší. Obyčejná analýza se zabývá pouze konečnými veličinami, tato proniká až do samého nekonečna. Srovnává nekonečně malé rozdíly konečných veličin, odhaluje poměry mezi nimi, a tak umožňuje stanovit poměry konečných veličin. Lze dokonce říci, že tato analýza nekonečno překračuje. Neomezuje se totiž jen na nekonečně malé diference, nýbrž nachází poměry i mezi rozdíly těchto diferencí, a dále mezi diferencemi třetími, čtvrtými atd. (s. 121).

Důležité je pojetí křivky. „Křivky nejsou nic jiného než mnohoúhelníky o nekonečnu stran a vzájemně se liší jen co do úhlů, které tyto nekonečně malé strany mezi sebou svírají. Proto jedině analýze nekonečně malých přísluší určovat polohu těchto stran a odtud i jimi určené zakřivení, tj. tečny křivek, kolmice k nim, body převratu či vratu, paprsky odražené, lomené atd.“ (s. 121). Přijmeme-li výchozí předpoklady, je metoda infinitesimálních veličin názorná a efektivní. Díky ní byly mnohé slavné problémy týkající se křivek a ploch překvapivě snadno vyřešeny. V paragrafu 163 je uvedeno známé l’Hospitalovo pravidlo (s. 301), jehož autorem ovšem nebyl markýz de l’Hospital, ale Johann Bernoulli, podobně jako mnoha dalších podstatných tvrzení uvedených v Analýze.

Dlouho utajovaný příběh o vlivu Johanna Bernoulliho na vznik Analýzy nekonečně malých je obsažen v první části Makovského knihy, jež zahrnuje jak „akademický“ životopis markýze de l’Hospital, tak příběh o postupně se vynořujícím podílu jeho učitele. Je vyprávěn kultivovaným, mírně ironickým, někdy až příliš básnickým způsobem. Bohatě ho doplňují vysvětlivky a dodatky čerpající z komentářů tehdejších i pozdějších autorů.

Komentář k Analýze tvoří poslední část knihy. Obsahuje vysvětlení teorémů, je doplněn geometrickými obrázky, odkazy jsou ilustrovány půvabnými citáty. Nalezneme zde příběhy několika slavných matematických objektů, například cykloidy na stranách 372–379: „Roullette, cykloida. Žádná jiná křivka klasické matematiky se krásou a význačností svých geometrických a mechanických vlastností, vzrušeným zájmem ze strany největších matematiků i spory o prvenství nemohla rovnat jedinečnosti ‚Heleny geometrů‘. Cykloida coby obrazné svědectví doby, kdy geometrie plně vstoupila do pohybu a pohyb do geometrie, představuje pro 17. století bezmála totéž, čím byl pro antiku kruh. Jednalo se o křivku osudovou, o ‚jablko sváru‘, o něž se ucházeli všichni geometričtí koryfejové klasického věku“ (s. 372). Cykloidou se zabývali Kusánský, Galilei, Roberval, Descartes, Fermat, Toricelli, Pascal, Huygens i Johann Bernoulli. Markýz de l’Hospital zařadil své elegantní řešení do Analýzy (s. 51). V další de Beaunově úloze se nehledají tečny ke křivce, ale naopak z jejich vlastností se určuje povaha křivky, což je důležitá otázka vedoucí k diferenciálním rovnicím, konečný útvar se tu definuje nekonečnem vlastností.

Skrze barvitě vykreslené účastníky dění je možné nahlédnout do tehdejšího akademického světa, do významu, který byl vědě a jejím objevům přikládán, i do vzájemné rivality učenců.

Infinitesimální kalkul měl od počátku své odpůrce, prvními z nich, jejich argumenty i odpověďmi zastánců nového počtu se Makovský též zabývá. Pozdějším vlivným bojovníkem byl George Berkeley, který v roce 1734 vydal spis The Analyst, jenž byl přímým útokem proti nekonečně malým veličinám. Nicméně se s nimi dále pracovalo, i když ne vždy zcela rigorózním způsobem. Teprve kolem roku 1830 začali Riemann a Weierstrass přebudovávat diferenciální a integrální počet na podkladě pojmu limity. Jedná se o přepis infinitesimálních veličin pomocí takzvané epsilon-delta analýzy, jež tak ale ztrácí bezprostřední názornost a průzračnost. Cantorova teorie množin na konci 19. století znamenala definitivní vypuzení nekonečně malých veličin z matematiky, v tomto paradigmatu pro ně nebylo místo. Částečně byly rehabilitovány teprve v šedesátých letech 20. století, kdy Abraham Robinson vytvořil jejich konzistentní model, na jehož podkladě vybudoval tzv. nestandardní analýzu postavenou na infinitesimálních veličinách.

L’Hospitalova Analýza nekonečně malých je vzácnou ukázkou učebnice diferenciálního počtu pomocí původní metody. Umožňuje porozumět půvabu nekonečně malých veličin v jejich geometrické názornosti, což je dnes zcela neobvyklé. V pokročilejších částech studuje vlastnosti různých podivuhodných křivek, kterými se dnešní matematika téměř nezabývá.

Makovského kniha navíc obsahuje nesmírně bohatý studijní materiál. Soustřeďuje množství souvisejících faktů, citátů, příběhů, překladů, komentářů posbíraných po knihovnách a přeložených z několika evropských jazyků. Četné původní geometrické obrázky jsou znovu názorně překresleny, takže se lze o ně opřít. Vydat celou knihu i s příběhem a s bohatými komentáři byl skvělý počin nakladatelství Filosofia. Bude sloužit mnoha generacím dlouhá léta a neměla by chybět v žádné veřejné knihovně.