Hodně je někdy více

Martin Rees, královský astronom Velké Británie, ¹⁾ v závěru jedné ze svých knih konstatuje: „Na území vědy leží tři významné hraniční oblasti: velmi velké, velmi malé a velmi komplexní.“ ²⁾ Kladu si otázku, zda by nebylo vhodné přidat ještě oblast čtvrtou, kterou v nouzi o lepší termín nazvu „velmi početné“. Co tím míním? Nikoliv něco, co se často nebo všude vyskytuje – s tím věda zpravidla nemá problém (má jej spíš s něčím opačným: co se téměř nikdy nevyskytuje). Mám na mysli něco jiného: objekty, které se skládají z velkého, přímo obrovského počtu prvků. Může to být atomové jádro o velkém počtu nukleonů, makromolekula o velkém počtu atomů, látka o velkém počtu molekul, organismus o velkém počtu buněk, populace o velkém počtu jedinců. Hejno ptáků, roj včel, mraveniště, neuronová tkáň, počítačová síť, hvězdokupa, galaxie. Může to být i soubor, jehož prvky nejsou objekty reálného světa, ale něco odvozeného, například různé typy molekul (může nás zajímat, zda spolu chemicky reagují).

Nejspíše byste podobné kolektivní objekty považovali za něco, co by mělo náležet do kategorie komplexního – jenomže pojem komplexity je sám velmi komplexní, má mnoho podob a variant. Co mám na mysli, je v jistém směru vlastně dost jednoduché: jde vždy o soubor prvků, do jejichž nitra nemusíme vidět, nepitváme je, víme jen to, že jich je hodně. Předpokládejme však něco dalšího: že některé z těchto prvků jsou vzájemně propojeny nějakými vztahy či vazbami (blízkost, přitažlivost či odpudivost, fyzická propojení, chemické reakce, signální dráhy, známosti, odkazy, logické důsledky).

Abychom mohli mluvit dostatečně obecně a omezili se jen na přítomnost či nepřítomnost oněch vzájemných vazeb mezi prvky, je dobré uchýlit se k čistě abstraktní představě. Matematika k tomu nabízí pojem grafu, kde prvkům říkáme vrcholy a vazbám hrany. Představte si množství takových vrcholů, mezi nimiž jsou některé náhodně zvolené dvojice propojeny hranami. Myslete si třeba, že vrcholy grafu jsou webové stránky a hrany odpovídají odkazům z jedné stránky na jinou. Nezapomeňme ovšem na jednu věc: je třeba předpokládat, že oněch vrcholů (vašich stránek) je opravdu hodně!

Pokud bude celkový počet hran v grafu poměrně malý vzhledem k celkovému počtu vrcholů, budou převažovat osamělé vrcholy, popřípadě nevelké shluky propojených vrcholů (pojmenujme si takovouto globální situaci „fází typu A“). Naopak bude-li úhrnný počet hran příliš velký, pak skoro všechny vrcholy spolu vytvoří jeden velký souvislý shluk („fáze typu B“). Oba krajní případy si lze docela dobře představit – ale co se odehrává mezi nimi? V teorii náhodných grafů existuje půvabný výsledek P. Erdöse a A. Rényiho: Když zvyšujeme počet hran K v náhodném grafu o počtu vrcholů N, pak velikost největšího souvislého shluku je zpočátku relativně malá, a to až k hodnotě K = 1/2N, kdy dochází k drastické globální změně z fáze A do fáze B (je to příklad fázového přechodu; něco podobného známe z fyziky jako změnu skupenství). ³⁾ Důležité je, že čím větší je N, tím „ostřejší“ je dotyčný přechod (ale vždy při K = 1/2N). ⁴⁾

Není mým úmyslem se zde zabývat teorií fázových přechodů. Pouze bych rád k tomu přičinil dvě poznámky. Jednak že obdobné jevy, kdy náhle vznikne nová globální vlastnost systému (aniž se podstatně změní jeho lokální vlastnosti), se vyskytují v mnoha jiných, i zajímavějších situacích. Je to například vznik cyklů v orientovaných grafech a hypergrafech, speciálně vznik kolektivní autokatalýzy v síti chemických reakcí, v čemž Stuart Kauffman vidí chemický základ vzniku života. ⁵⁾

Druhá poznámka navazuje na to, s čím jsem dnes začal. Existují vlastnosti diskrétních systémů, o nichž má smysl mluvit jen (či až) v případě, jsou-li tyto systémy velmi početné (v prve zmíněném smyslu). Jak jsme si mohli všimnout na našem (úmyslně jednoduchém) příkladu náhodného grafu, není nutné k tomu, aby prostředí, v němž se mohou objevit nějaké, možná i nečekané, globální jevy – v našem případě fázové přechody –, mělo charakteristické rysy komplexních systémů, jako například přítomnost složitých a různorodých prvků, jejich složité a dynamicky nelineární interakce a nutnost uvažovat mnoho úrovní popisu. Viděli jsme, že někdy stačí opravdu málo: abstraktní vrcholy a hrany – třeba knoflíky a nitě, jak to Kauffman s oblibou ilustruje. ⁶⁾ Jen musíme mít hodně knoflíků a správný počet nití.

S Reesovými kategoriemi velkého a malého to souvisí nepřímo, ale podstatně. Aby něco bylo početné (v našem specifickém smyslu), musí to být velmi velké, nebo to musí sestávat z velmi malých prvků. Různé hraniční oblasti – velkého, malého, početného, komplexního – na území vědy nejen „leží“, ony se navíc k sobě rozmanitě vztahují, navzájem se potřebují, hrají společnou hru.