Matematika a Mathematica

S bouřlivým rozvojem výpočetní techniky se nám na naše pracovní stoly dostávají mocné prostředky, o nichž se nám před dvaceti lety mohlo jen zdát. Jde o systémy pro výpočty, bez nichž se neobejdou aplikace matematiky a nakonec ani matematika samotná.

Jedním z velmi frekventovaných výpočetních prostředků je systém Mathematica. První verze tohoto programového prostředku spatřila světlo světa v roce 1988 ve společnosti Wolfram Research, kterou založil rok předtím Stephen Wolfram. Od té doby se program Mathematica neustále rozvíjí v souvislosti s nepředstavitelně rychlým růstem výkonu počítačů a na něm založených operačních systémů.

Společnost Wolfram Research deklaruje, že nejpočetnější skupinu uživatelů programu Mathematica tvoří techničtí pracovníci. Programu je věnováno mnoho knižních publikací ve všech jazycích a zdá se, že se vedle obdobných programových produktů (Maple, Matlab, Derive, Mupad, …) stává Mathematica co do popularity i možností velmi oblíbeným produktem. Zásluhu má na tom patrně její univerzálnost.

S programem jsem se sám setkal v době, kdy na našich osobních počítačích kraloval operační systém DOS. Byla to verze 2.2, její ovládání nebylo snadné, výpočty ale byly velmi efektivní. Mezitím se svět pozměnil, na osobních počítačích je dominantní systém Windows se všemi jeho přednostmi a nedostatky. Dnes je distribuována verze Mathematica 4.1, která pracuje na platformě různých operačních systémů (Linux, McIntosh, různé verze Windows, …). Vše je v rámci možností uděláno pro pohodlí uživatele, grafický výstup textu i obrázků je kvalitní, výpočty jsou na soudobých počítačích rychlé, obsluha je intuitivní a vcelku snadná. Programu vlastně nelze nic podstatného vytknout, pokud jde o způsob, jakým s uživatelem komunikuje.

V systému je zabudován výpočet velkého množství funkcí od elementárních po speciální, systém je způsobilý provádět symbolické výpočty, u mnoha typů funkcí spočítá např. příslušnou primitivní funkci, dává řešení mnoha typů diferenciálních rovnic v explicitním tvaru. Nelze opomenout prostředky, které skýtá pro pravděpodobnostní a statistické výpočty. Dobře pracuje s objekty lineární algebry, snadno lze spočítat k dané čtvercové matici její inverzní, určit vlastní čísla a vektory. V této souvislosti je dobré si připomenout, jak pracný může být například výpočet inverzní matice k matici o pěti řádcích a pěti sloupcích nebo výpočet primitivní funkce k celkem jednoduše vyhlížejícím funkcím, které jsou složeny z elementárních funkcí. S tím se studenti technik a přírodovědných oborů včetně matematiky setkají obvykle v prvních dvou letech studia. V podobě programových balíků typu Mathematica je před studentem, matematikem a uživatelem matematiky nástroj, který lze používat téměř tak snadno jako kapesní kalkulačku. Otázkou je, jak program tohoto druhu může přispět k matematickému vzdělání a vzdělávání. Je zřejmé, že matematika je vědecká oblast, založená na logice, studiu matematických objektů a pochopení metod a principů. Jde veskrze o náročnou intelektuální činnost a poznání, při kterém složité kalkulátory sice mohou pomoci, poznání však nemohou beze zbytku nahradit. Podobné to je i s obyčejnou kalkulačkou vybavenou základními aritmetickými operacemi; když nevím, co je sčítání, mohu sice pomocí kalkulačky sčítat, co ale je výsledkem snažení, zůstane utajeno. Mathematica se od obyčejné kalkulačky liší svým rozsahem a dosahem, náležitě ji využívat znamená znát matematiku, její metody a vlastnosti objektů, jimiž se zabývá. K elementárním kalkulačkám bývá připojen návod k použití. Někdy se tento manuál vejde na krabičku, ve které jsme kalkulačku zakoupili. Mathematica je rovněž vybavena manuálem. Její vztah ke školní kalkulačce je vyjádřen i tím, že tento manuál má téměř 1500 stran, přepravovat jej je fyzicky náročné, do kapsy se rozhodně nevejde.

Je téměř zřejmé, že programové balíky věnované matematice lze dobře využívat při vyučování. Daleko méně je zřejmé, jak se to má dělat. Ve světě se objevilo mnoho pokusů založit na výpočetních systémech tohoto druhu výuku matematiky. Jsou více či méně zdařilé, podstatně však poznání neovlivní, mohou ho jen vhodně podpořit. Podobně je tomu i při výuce a přednáškách, je velmi pracné např. ručně nakreslit ilustrující grafiku, tu např. Mathematica provede ve velmi dobré kvalitě a rychle. Stejně dobře lze programem nahradit psaní na tabuli a připravit dobře čitelný text k výkladu, nelze však programem nahradit výklad samotný. Ve výuce matematiky jsou dva extrémní postoje: získání představ a „prožitků“ na jedné straně a na straně druhé absolutní přesnost. Ilustrovat to lze například na faktoriálu čísla n. „Prožitkem“ může být jeho výpočet pomocí postupného násobení (počítající se velmi brzy unaví, o přesnosti raději nemluvme, po dvaceti násobeních se chyba skoro jistě objeví), lze použít klasickou kalkulačku (tam se ovšem výpočet v závislosti na aritmetice po 13 či 14 krocích zastaví); Mathematica provede např. výpočet čísla 1000! během okamžiku, „prožitkem“ jsou stránky číslic, přesnosti lze díky dovednostem tvůrců programu snad i uvěřit. Celočíselná aritmetika a způsobilost v ní pracovat je vůbec silnou stránkou tohoto produktu. Mathematica může zastáncům obou extrémních přístupů k výuce posloužit. Dá dostatek „prožitků“ tím, že umožní seznámit se s daleko větším množstvím příkladů než obvykle, aniž se zabředne do únavných rutinních a zdlouhavých výpočtů, a umožní užít i rigoróznost a přesnost, v matematice běžnou.

Ještě jiný aspekt mají programové balíky tohoto typu. Jde o víru, že výsledky, které skýtají, jsou správné. Zejména se to týká výsledků, které jsou získávány numerickými metodami. Ty je nutno použít vždy, když řešení problému nelze vyjádřit explicitně např. formulí. To je v matematice velmi časté. Numerické metody však mají své záludnosti, platí zde zásada známá i odjinud „Důvěřuj, ale prověřuj!“. To však nelze udělat jinak než se znalostí věci – a v těchto případech jde převážně o znalost matematiky. Pro matematiky, kteří program Mathematica užívají, je svým způsobem sportovní záležitostí vyhledávat v tomto programu matematické záludnosti a chyby. V té souvislosti nezbývá než říci, že silný matematický programový balík je velmi dobrým sluhou, také však může být zlým pánem.

Pokud jde o aplikace matematiky, lze význam matematických programových balíků spatřovat v tom, že umožní přenést těžiště výzkumu od metod ke zkoumání jednotlivých speciálních případů. Bez takových prostředků stojí vyšetření některé aplikační úlohy mnoho energie, s nimi lze ke konečnému řešení dospět např. během jedné vyučovací hodiny. Tím mám na mysli zejména aplikace mimo samotnou matematiku. Lze ale předpokládat, že také stále více matematiků přijde na to, jak užitečné je znát programové balíky typu Mathematica. S jejich pomocí prověří své pracovní hypotézy daleko rychleji než klasickým způsobem s tužkou a papírem.