Cantorova teorie množin

Teorie množin je známa každému matematikovi. Byla na ní založena formalizace mnoha matematických disciplín, významně ovlivnila vývoj matematické analýzy, topologie, moderní algebry a matematické logiky. Umožnila postavit matematický výzkum na pevný základ, díky němuž se matematika na počátku 20. století začala prudce rozvíjet. K čemu teorie množin slouží? Jde jen o formalizaci matematického jazyka překračující rámec logiky? Zvláštní přínos teorie množin tkví zejména v tom, že se snaží zvládnout pojem nekonečna, zachytit jej, formálně popsat, zavést bezesporně do matematiky a pracovat s ním jako s celkem. To platí nejen pro Cantorovu teorii množin, ale i pro Bolzanovu, která (nepovšimnuta) vznikla o půl století dříve. ¹⁾

Georg Cantor (1845–1918)

Cantor se nechtěl zabývat, jak bylo v jeho době zvykem, nekonečnem potenciálním (takovým, které můžeme vždy nějak zvětšovat či zmenšovat, k němuž lze stále něco přidávat, popřípadě se může blížit k jisté mezi, avšak nikdy jí nedosáhne). Zabýval se nekonečnem aktuálním či úplným, které pojímáme jako jeden celek, neboť tak je nám dáno a tak s ním můžeme pracovat. Právě k zachycení aktuálního nekonečného množství potřeboval Cantor množinu, kterou definoval: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení do jednoho celku.

Vzrušujícím dobrodružstvím pronikavé Cantorovy mysli bylo vytvoření ucelené teorie. Jako kritérium pro srovnání velikosti množin určil existenci vzájemně jednoznačného zobrazení: jestliže takové zobrazení mezi dvěma množinami existuje, pak mají stejnou mohutnost. Cantor byl první, kdo se tohoto kroku důsledně odvážil. V tomto smyslu mají množiny všech sudých, přirozených, racionálních i algebraických čísel stejnou mohutnost. Známá Cantorova diagonální metoda však ukazuje, že mohutnost množiny reálných čísel je větší. Jejím zobecněním Cantor předvedl, že z každé množiny lze přirozeným způsobem sestrojit jinou (množinu všech jejích podmnožin), která má mohutnost opět větší. Vznikne tak nekonečná škála nekonečných mohutností. Jejich velikost označují kardinální čísla, jejich uspořádání ordinální čísla. Cantor vymyslel pravidla pro počítání s nimi, stanovil základy nekonečné aritmetiky. Později bylo objeveno, jak zkonstruovat množiny ještě dalších, daleko větších mohutností, například nedosažitelných či nevýslovných. Tato monumentální stavba nekonečných mohutností je nutným důsledkem aktualizace nekonečna.

Vůči zavedení aktuálního nekonečna do matematiky zpočátku panoval všeobecný odpor, Cantor se potýkal s nepochopením i svých nejlepších přátel. Teprve později se matematici začali k jeho teorii množin houfně hlásit a o to bouřlivěji ji rozvíjeli. Ještě za Cantorova života se v ní objevily některé spory, nazvané paradoxy či antinomie. Ty byly vyloučeny vhodným omezením působnosti množin. Vznikly axiomatické teorie Zermellova-Fraenkelova a Gödelova-Bernaysova, s nimiž se v matematice pracuje dodnes.

Méně známý je filozofický základ, na němž Cantor svou velkolepou koncepci založil a v němž našel oporu k trpělivému prosazování a rozvíjení svých myšlenek i útěchu při jejich opětovném odmítání. Poukazuje na něj kniha J. W. Daubena Georg Cantor, z níž jsem některé části zkráceně přeložila a doplnila několika dalšími citáty z Cantorových spisů.

Daubenova kniha vyšla poprvé r. 1979. U nás není známa, do češtiny nebyla přeložena, protože v té době se u nás takové knihy nesměly publikovat. Je však dobré vědět, na čem je postaven základ moderní matematiky a jaké jsou jeho zapomenuté kořeny, může se to hodit nejen matematikům, ale i dalším vědcům, kteří z matematiky čerpají. V teorii množin jde zejména o problém nekonečna, a tím se dotýká také filozofie a teologie. Proto může být kniha o osobním zápasu Georga Cantora, muže, jenž provedl revoluci v matematice, přínosem i pro širší čtenářskou obec.

Vyhraněnost celkového Cantorova postoje k aktuálnímu nekonečnu zachycují jeho následující slova: Rozlišil jsem aktuální nekonečno ve třech případech: zaprvé, nakolik se uskutečňuje ve vyšší dokonalosti, v dokonale nezávislém bytí mimo svět, in Deo, kde ho nazývám absolutně nekonečným nebo prostě absolutním; zadruhé, nakolik se nalézá v závislém stvořeném světě in concreto; zatřetí nakolik jej může postihnout myšlení in abstracto jako matematickou veličinu, číslo nebo typ uspořádání. Ve dvou posledních případech, kde se očividně ukazuje jako ohraničené a ještě přístupné zvětšení, a tím je podobné konečnému, jej nazývám transfinitním a ostře jej stavím proti absolutnímu.

V každém z těchto tří případů lze možnost aktuálně nekonečného přijímat, nebo odmítat. Odtud vyplývá osm rozličných přístupů, které všechny byly ve filozofii předvedeny a z nichž přijímám ten, který je bezpodmínečně souhlasný ve všech třech případech.

Jestliže zkoumání absolutně nekonečného a vymezení toho, co lze o něm říci lidským rozumem, náleží spekulativní teologii, pak otázky svázané s transfinitním patří hlavně do metafyziky a matematiky. A těmi se přednostně zabývám již řadu let. ²⁾

Důležitost, kterou Cantor přikládal filozofii, je dobře patrná z následujícího citátu: Cítím se zavázán panu Tannerymu, že přikládá mým výzkumům filozofický, a dokonce metafyzický význam, považuji to za pochvalu a čest. Skutečně nenáležím k těm, kteří kvůli různým nezdarům, jež postihly metafyziku v důsledku chyb některých jejích představitelů zejména v tomto a předchozím století, cení tuto nauku nízko. Domnívám se, že metafyzika a matematika by právem měly být ve vzájemném vztahu a že v době jejich rozhodujících úspěchů ve vzájemné jednotě byly. Zatím se však naneštěstí, jak ukazují dějiny, mezi nimi velmi brzy objeví svár, který setrvává po řadu pokolení a který může přerůst do toho, že znepřátelení bratři už nevědí a ani nechtějí vědět, že jsou svázáni jeden s druhým. ³⁾

Cantor ve svých Základech všeobecné nauky o množinách ⁵⁾ přijal filozofii jakožto rovnocenného partnera matematiky. V úvodu zdůrazňuje, že matematická a filozofická část jsou nerozlučně spojeny. Z Cantorova pohledu jsou Základy daleko více než pouhé úzce matematické předvedení teorie transfinitních množin. Přinášejí též první publikovanou obranu aktuálního nekonečna, koncepce, kterou většina tehdejších filozofů, teologů a matematiků odmítala.

Filozofové byli vůči paradoxní povaze nekonečna ostražití již od předsokratiků, kteří první začali zkoumat jeho sporné projevy. Spíše se přikláněli k Aristotelovi, který používání úplného nekonečna jednoduše odmítl. Proti aktuálnímu nekonečnu se stavěli také křesťanští teologové; zpravidla na ně nahlíželi jako na přímé napadení jedinečné a absolutní nekonečné Boží přirozenosti. Matematici většinou v odmítání aktuálního nekonečna následovali filozofy. Jejich nechuť se opírala o zjevné spory, které tyto koncepce přinášely. K. F. Gauss to ve slavném dopise Heinrichu Shumacherovi vyjádřil velice autoritativně: Co se týče Vašeho důkazu, protestuji především proti užití nekonečného množství jakožto úplného, což v matematice není nikdy dovoleno. Nekonečno je pouze „façon de parler“, ve skutečnosti však hovoříme o limitách.

Cantor věřil, že odpor proti užití aktuálního nekonečna v matematice, filozofii a teologii byl založen na dlouhodobém a všeobecném omylu. Ať předpokládali matematici v minulosti cokoli, vlastnosti nekonečných čísel nemohou být určeny z vlastností čísel konečných. Takové pokusy nevyhnutelně vedou k nedorozumění a ke sporům.

Typickým argumentem užívaným Aristotelem a scholastiky bylo „pohlcení čísel“. Jsou-li dána dvě kladná konečná čísla a, b, potom je jejich součet větší než a i než b, a + b > a, a + b > b. Je-li však b nekonečné, nezáleží na tom, jakou konečnou hodnotu a nabude, jejich součet bude nekonečný: a + ∞ = ∞, což se zdá být ve sporu s uvedenou základní vlastností sčítání kladných čísel.

Cantor však tento druh argumentu odmítal, neboť by bylo mylné předpokládat, že nekonečná čísla musí vykazovat stejné aritmetické vlastnosti jako konečná. Přímým odkazem na svou teorii transfinitních ordinálních čísel Cantor předvedl, že nekonečná čísla jsou vnímavá na úpravu konečnými čísly. Rozdíl mezi Cantorovým ω a ω + 1 ⁶⁾ skutečně ukazuje, že konečné číslo může být přidáno k nekonečnému, aniž by bylo pohlceno. Proto Cantor věřil, že se Aristoteles mýlil ve své analýze nekonečna.

Když se Cantor vyrovnal s Aristotelem a scholastiky, zkoumal práce některých nejpůsobivějších myslitelů 17. století – století, které bylo svědkem vážných a často hlubokých rozborů povahy nekonečna. Zabýval se Lockem, Descartem, Spinozou a Leibnizem, jako další doporučoval Hobbese a Berkeleyho. Cantor takto shrnul pozici nejčastěji zastávanou v 17. století: čísla musí být určena z konečna. Nekonečno neboli v tomto pohledu Absolutno patří jedině Bohu. Cantorovo zvědavé „jak nekonečné?“ byla nemožná otázka. Myslitelé jako Spinoza a Leibniz považovali Nekonečno v tomto absolutním smyslu za stejně nepochopitelné, jako je Bůh, a proto jakýkoli pokus popsat nekonečné množství jinak než potenciálně byl předem určen k selhání.

Papež Lev XIII. a encyklika Aeterni Patris

Pokus papeže Lva XIII. o smíření nových a často matoucích vědeckých objevů s naukou církevních autorit povzbudil spoustu katolických intelektuálů k detailnímu studiu různých odvětví přírodních věd. Svou nejvlivnější encyklikou Aeterni Patris papež Lev XIII. podpořil obecně zájem o vědecké myšlenky a částečně přímo podnítil zájem o Cantorovu teorii množin. Tato encyklika patřila mezi jeho první prohlášení, byla vydána 4. srpna 1879. Lev XIII. se snažil obnovit filozofické myšlení na podkladě oživeného tomizmu, což byla oficiální katolická doktrína zakládající se na středověké scholastické filozofii Tomáše Akvinského. Základní pozici neotomizmu lze charakterizovat výstižně, byť poněkud zjednodušeně, jako přesvědčení, že současné zlo bylo způsobeno nepravou filozofií. Nevhodný a nesprávný pohled na přírodu vyústil do dvou důsledků: ateizmu a materializmu. V jednom bodě mluvila encyklika Aeterni Patris jasně: věda může čerpat ze scholastické filozofie, a potom může podporovat ideály a cíle církve samé.

Podnět, který Lev XIII. dal vzdělancům v církvi ke studiu a vědě, by neměl být podceněn. Zájem vyvolaný encyklikou nabyl zvláštního významu mezi Němci, kteří se začali zabývat vztahem mezi Cantorovou prací o absolutním nekonečnu a katolickou naukou.

Významný tomistický filozof Constantin Gutberlet publikoval v roce 1886 článek, v němž načrtl Cantorovu teorii množin jako obranu svého vlastního pohledu na filozofickou a teologickou povahu nekonečna. Gutberlet tvrdil, že studium nekonečna vstoupilo do nové fáze, když se objevily Cantorovy matematické a teologické studie.

Protože se věřilo, že Boží mysl je neměnná, soubor Božích myšlenek musel zahrnovat absolutní, nekonečné, úplné a uzavřené množiny. Gutberlet to předložil jako přímý důkaz pravdivosti Cantorovy teorie množin a jí podobných koncepcí. Prohlásil, že buď se musí předpokládat skutečná existence aktuálního nekonečna, anebo je nutno vzdát se představy nekonečného intelektu a věčnosti absolutní Boží mysli.

Povaha a význam transfinitních čísel

Cantor trval na tom, že skutečná a absolutní platnost přirozených čísel je mnohem větší než jejich existence ve skutečném světě zachytitelná smysly. Jak odděleně, tak všechna dohromady přirozená čísla existují ve vyšším stupni reality jakožto věčné myšlenky v Božím intelektu.

Působnost Cantorovy teorie tak byla odkázána na Boží intelekt, kde transfinitní čísla existovala jako věčné ideje. To byla silná forma platonizmu, k níž se Cantor opakovaně vracel pro podporu. Mohl si být jist vlastnostmi svých abstrakcí, neboť našly svůj ideál v mysli Boží.

Jakožto vševědoucí a všemohoucí hrál Bůh klíčovou roli při určení ontologického statutu Transfinita, jak je nahlížel Cantor. Jedině bezespornost byla omezujícím faktorem v jakékoli otázce týkající se matematické existence, neboť Bůh může vytvořit jakoukoli „možnost“, to znamená jakoukoli bezespornou ideu schopnou realizace in concreto. Zdá se, že zde se přiblížil pozdnímu Leibnizovi, který věřil, že by odporovalo Boží všemohoucnosti, kdyby Bůh nebyl schopen vytvořit všechny možné (bezesporné) ideje. Cantor nešel tak daleko, aby trval na tom, že všechny možnosti mají skutečnou fyzickou existenci někde ve světě jevů. Říkal pouze, že pokud jsou ideje bezesporné, pak to jsou možnosti a v mysli Boží existují jakožto věčně pravdivé ideje; to bylo postačující k prokázání matematické existence. Následkem toho žádná z kritik, které se zvedly proti jeho teorii transfinitních čísel, nemohla otřást jeho vírou v jejich nutnou skutečnost.

Příznačné je, že Cantor věřil v absolutní pravdu své teorie. V dopise I. Jeilerovi v r. 1888 píše: Nemám žádné pochybnosti, co se týče pravdy o nekonečnu, které jsem s Boží pomocí poznal a které jsem v jeho rozmanitosti zkoumal více než dvacet let. Každý rok, ba takřka každý den mě v této vědě přiváděly dále.

Cantor pociťoval jako svou povinnost užít své znalosti, které získal Boží milostí, a postarat se o to, aby církev neučinila závažné chyby v nauce o povaze nekonečna. Rozhodně je nutné podrobit otázku pravdivosti Transfinita vážnému zkoumání, neboť jestliže mám v tvrzení o pravdivosti a možnosti Transfinita pravdu, nepochybně by při zastávání opačného stanoviska hrozilo velké nebezpečí náboženského omylu. Vždyť „chyba týkající se stvořeného se přenáší do mylné nauky o Bohu“ (Suma proti pohanům II,3).

Cantor se tak projevoval podobně jako Galileo. Oba cítili povinnost přimět církev, aby přijala skutečnost světa, jak ho stvořil Bůh, a vyrovnat se s faktem, že člověku byla dána schopnost porozumět univerzálnímu řádu tak, jak byl stvořen. Církev jen může upadnout do omylu, jestliže umíněně ignoruje nezbytné závěry logického myšlení. Stejně jako Galileo si byl Cantor jist, že o správnosti jeho teorie by nemohlo být pochyb, kdyby jednou byla pozorně prostudována. Bůh přinesl pravé porozumění nekonečna Cantorovi a Cantor věřil, že na oplátku jeho studium transfinita může výrazně zlepšit porozumění Bohu.

Hranice lidských možností

Mým cílem není křesťanská či protikřesťanská propaganda ani záliba ve vyhledávání malebných absurdit. Chci jen poukázat na teologické odůvodnění vzniku teorie množin, které je silné jak u Bolzana – viz Vopěnkovu knihu ¹⁾ – tak u Cantora, jak vyplývá z citované knihy Daubenovy.

Tento neotomistický motiv zůstává v teorii množin skrytě přítomen. Sama o sobě teorie přináší zvláštní, neobyčejné a podivuhodné plody, které dnes nemají jiný nárok na existenci než čistě matematický.

Snažíme-li se vysvětlit lidem nematematickým, co jsou nekonečné mohutnosti, kardinální čísla, jaká je jejich aritmetika, nevycházejí z údivu a pochybností. Smíří se s tím leda proto, že matematika je pro ně věda temná, odtažitá, která se příčí přirozenému rozumu.

Cantor pracoval s aktuálním nekonečnem, neboť měl jeho existenci odůvodněnou jako bezespornou, a tudíž věčně pravdivou ideu v mysli Boží. My s ním pracujeme jakožto s důsledkem axiomatického systému teorie množin – jedním z axiomů je, že přirozená čísla tvoří množinu. Jeho bezespornost dokázat nemůžeme, navíc je teorie množin rozštěpena do dalších větví podle toho, které další axiomy či jejich negace přijmeme. Už nepředpokládáme, že jedna z těchto větví je pravdivá, nechceme si činit nárok, že by odrážela věčně pravdivé ideje existující v Boží mysli.

Nezodpovězena zůstává otázka, jestli nesetrváváme v pozici, původně podepřené neotomizmem, v níž se nahlíží na nekonečno jakoby z pohledu, z nějž by ho viděl Bůh. Možná stojí za to uvážit, nakolik je předpoklad, na němž je přijetí aktuálního nekonečna založeno, nadále únosný a není-li třeba jemněji rozlišit, jaké jsou hranice lidských možností a kam až sahá jejich obzor.