Spinová skla

Frustraci nemá nikdo rád. Frustrace – to je bezvýchodnost, scestí, konec. Nicméně frustrace natolik patří k naší zkušenosti života v těle, že si můžeme klást otázku, zda toto zlo není i k něčemu dobré, zda matička příroda či dobrotivý Bůh, či kdo to byl, neměl jakýsi dobrý důvod, aby nás do téhle šlamastyky uvrhl. Na toto téma rozmlouvá teoretický fyzik z Říma Giorgio Parisi ¹⁾ se známým frustrovancem, princem Hamletem.

Parisi: Replika alfa, replika beta, suma, suma, abrakadabra...

Hamlet: Ať tak či onak, nevím, co mám dělat. Když půjdu do rady, budou si stoupenci mého otce myslet, že se paktuji s jeho vrahy. Nepůjdu-li do rady, bude mě Polonius nenávidět a ze svatby nebude nic. Ale pokud by mě i nenáviděl a já uprchl s Ofélií na Island, vyhlásí Anglie Islandu válku. Pokud bych snad neuprchl na Island, ale do Anglie, způsobí to povstání v Lancastershiru. Francie ovšem, jako vždy...

P: Už to mám... repliková symetrie je narušená, hurá, heuréka! To jsi ty, Hamlete?

H: ... a český král zahyne někde u Kresčaku. Ano, přišel jsem za tebou jako za slovutným přírodním filozofem. Nevím, co mám dělat. Pokaždé si někoho rozkmotřím. Už si myslím, že svět je nadobro zvrácený a spěje ke konci, či že jsem se sám zbláznil a mlha šílenství mi zakryla zrak.

P: A čím to, že si pokaždé někoho rozkmotříš?

H: No, vem si jen nás tři, mě, Ofélii a Polonia...

P: Je mi to jasné, dvojice Hamlet-Ofélie má kladnou vazbu, dvojice Hamlet-Polonius má zápornou vazbu, a konečně Ofélie-Polonius, jak už to bývá, je kladná. To je frustrace. Vy tři tvoříte vrcholy trojúhelníka, strany trojúhelníka jsou vaše vztahy a ty vztahy se dají kvantifikovat pomocí čísla J. Každá vazba dvou lidí má svoje J. Když se nenávidí, je to číslo záporné, když chovají náklonnost, je to číslo kladné. Třeba ty s Ofélií budete mít J rovno +1...

H: Cože? Nejméně +100!

P: Dobře, ty s Ofélií +100, ale nechme teď sporů o to, kdo víc a kdo míň, sympatie budou plus, antipatie mínus. Takže ty s Poloniem třeba –100 a Ofélie s Poloniem +100.

H: Není to trochu moc zjednodušený model?

P: Je. Ale i tak bude jeho chování dost složité. Můžeš si domýšlet, o co komplikovanější je to ve skutečnosti. Teď ale jdete například...

H: ...k švédskému velvyslanci na večeři.

P: Ano, a tam budou dva stoly a hosty je třeba rozesadit tak, aby jejich vzájemné sympatie a antipatie byly co nejvíce respektovány. Řekněme, že stoly jsou oba dost velké, takže nebýt antipatií, všichni by se sešli ...

H: Co se myslí tím „co nejvíce respektovány“ – přece buď respektovány jsou, nebo nejsou. Šlechtic není zvyklý na nějaké kompromisy!

P: No právě! Všichni chcete jen samé buď a nebo. A když to jednou nejde, hned vám připadá, že svět je nenapravitelně zkažený a Bůh ho co nejdřív potrestá! Ale nechme toho. Řekněme, že – jsme přece vyznáním pythagorejci – mírou respektu pro vztahy stolovníků bude číslo H. Vypočtu ho tak, že pro každou dvojici hostů přidám k H číslo J (míru vzájemné sympatie), pokud oba sedí u stejného stolu, a číslo –J, pokud sedí u různých stolů.

H: Takže pokud my s Ofélií budeme sedět spolu, zvětší se tím H o +100, kdežto když budeme sedět zvlášť, zvětší se H o –100 neboli zmenší se o 100. Tak to bude se všemi dvojicemi všech pozvaných – to se mi docela líbí. Začínám věřit, že číslo H něco vyjadřuje.

P: Ano. Vyjadřuje, řekněme, celkovou spokojenost společnosti. A tu je třeba udělat co největší. Můžu si to představit třeba tak, že se pohybuji ve zvlněné krajině (říkáme tomu „krajina volné energie“ – ale na jménech nezáleží). Každé místo v krajině odpovídá jednomu možnému rozsazení. Nejvýhodnější poloha bude ta v dolíku. Hledám nejspokojenější stav, neboli nejnižší bod krajiny. A toho dosáhnu tak, že se hosté správně rozsadí. Ale protože je v tom řada neslučitelných zájmů – vezmi si jen váš trojúhelník s Ofélií a Poloniem, a to jste byli jen tři – představ si, co nastane, když vás bude deset, sto, tisíc ... víš kolik je dnes miliard lidí?

H: Aha, rozumím. Ačkoli se u stolu mohou často sejít nepřátelé na život a na smrt, kdežto milenci zasednou odloučeni, obecné dobro je přesto větší, než kdyby rozsazení bylo jiné. Ale napadají mě přinejmenším dvě otázky: jak najít nejlepší řešení a zda o takovém rozsazení můžeme říct něco předem. Myslím tím to, že rozsazení dobré dnes nemusí být dobré zítra, protože přesně nevím, kdo zítra přijde. Můžu si jen tipovat, jako ve vrhcábech.

P: Kladeš velmi správné otázky. Všechno je tu založeno na teorii vrhcábů. Už od začátku musíme brát v úvahu vrhcábovitost problému, a tím také odpovědi budou značně vrhcábovité. Předem nevím, kdo přijde, neboli jaký soubor čísel J budu mít dán, ale jako vím, že jednička mi padne průměrně jednou v šesti hodech, můžu dopředu počítat s tím, kolik asi Jéček bude kladných a kolik záporných...

H: ...kolik asi lásek bude tak silných jako naše J = +100...

P: ...a tak dále. Proto ani nejlepší řešení nemůže být známo předem. Ale můžeme říci, že určité rysy se v nejlepším rozsazení objeví skoro vždy, kdežto jiné rysy skoro nikdy.

H: Moc ti nerozumím, co myslíš těmi rysy. Ale hádám, že máš na mysli to, že když bude přátelství zhruba stejně jako nepřátelství, skoro vždy bude u jednoho stolu zhruba stejně lidí jako u druhého, kdežto když bude převažovat přátelství, jeden stůl bude plnější a u toho druhého se sejde jen několik těch, co se nesnesou s nikým.

P: Například. Pak se můžu ptát, o kolik bude ten jeden stůl v průměru obsazenější než druhý a podobně. Na to nepotřebuji do detailu vědět, kdo mi přijde na večeři. Můžu potom dát objednávku truhláři a nechat vyrobit stoly podle svého odhadu – a většinou mi to vyjde. To ale není ta nejzajímavější otázka, kterou si lidé kladou.

H: A tou je?

P: Kolik je nejlepších řešení, a pokud jich je víc, zda se nějak sobě podobají, nebo je každé úplně odlišné od všech ostatních.

H: To je zvláštní. Myslel jsem, že nejlepší je prostě nejlepší, nejlepší je vítěz a vítěz je jeden!

P: To si lidé často myslí, ale není to pravda. Vem zase tu vaši známou trojku: ty, Ofélie, Polonius. Když budete tři sedět u jednoho stolu, kolik bude v tom případě H neboli celková spokojenost?

H: Počkej... bude... sto minus sto plus sto..., to je sto!

P: A když bude Polonius sedět zvlášť a vy dva milenci spolu?

H: Trochu mě unavuješ... sto... plus sto minus sto, to je sto! Stejně jako předtím!

P: Ano, a teď si přiber ještě další možnosti, například že ty budeš sám a Ofélie s Poloniem...

H: To je hrozná představa. Ale chápu, že je to stejně dobré nebo spíš stejně špatné řešení jako řada jiných. Takže když nebudeme jen tři, ale bude nás sto, patřičně se to zkomplikuje a vytvoří se spousta optimálních řešení. I když pořád mi nechce jít přes rty to slovo „optimální“, když je v tom tolik frustrace.

P: Jenže právě frustrace je zodpovědná za to, že máme takovou pluralitu optimálních řešení. To má zajímavé důsledky třeba pro biologii nebo, s trochou fantazie, i pro lidskou společnost.

H: Teď zas nevím, co myslíš. Frustrace se přece ve společnosti považuje za něco negativního. S pluralitou má taky leckdo problémy. Ale zkus mi to vysvětlit třeba na té biologii.

P: No, představ si třeba mravence a... třeba... třeba orangutana. Kdo z nich je lepší řešení?

H: To mi nedává smysl. Řešení čeho?

P: Vidím, že začínáš chápat.

H: ???

P: Napřed je třeba si uvědomit, co vlastne řešíme. What is the question.

H: To be!

P: Přesně. Bytí. Mravenec a orangutan jsou řešení problému jak přežít. Vyřešit tento problém je totéž co být. Kdo víc JE: mravenec, nebo orangutan? Oba jsou. Oba problém vyřešili. Oba jsou vítězové. Oba jsou nejlepší.

H: Chceš říct, že každý má své místo na slunci a že těch míst je víc, že jsou jich spousty.

P: Ano. Když zůstaneme u živých tvorů, můžeme každou z těch nesčíslných forem chápat jako řešení nějakého (nám dosud neznámého) společného problému. Každý druh obsadil jedno z možných řešení. Mnoho jiných řešení může být dokonce nevyužitých, možná že čekají, až se objeví nový druh, který je obsadí. Pluralita možných nejlepších řešení je zdrojem plurality živé přírody. A pluralita řešení má původ ve frustraci.

H: Možná. Pokud to funguje tak, jak říkáš.

P: Samozřejmě. To je všechno stále ještě pouhý pokus, jak porozumět diverzitě světa kolem nás.

H: Vida, kam mohou vést úvahy o rozsazování u stolu! Ale je možné dostat i nějaké matematičtější výsledky? Nejsou to jen spekulace o tom, co by všechno bylo možné kdyby?

P: To mě těší, že se někdo pídí po něčem víc než po povšechném – přiznejme si to – tlachání. Ale jestli to myslíš vážně, bude nezbytné, abych ti vysvětlil metodu replik.

H: Repliky čeho to budou?

P: Budou to repliky systému. Znáš hrací automaty?

H: No, moc ne, leda ty vrhcáby.

P: To nevadí. Představ si, že do bedýnky hodíš korunu. Chvíli to rachotí, a pak koruna vypadne některým z mnoha otvorů dole. Ty sázíš na některý z otvorů. Když se zmýlíš, o korunu přijdeš. Když se strefíš, dostaneš prémii.

H: To mě opravdu nudí.

P: Hm. Moc se mi to nepovedlo. Ale podívejme se, jak to funguje vevnitř.

H: Budiž.

P: Vevnitř jsou jakési dva trychtýře, které svedou spadlou korunu do některé ze dvou trubiček podle toho, do kterého trychtýře dolétla. Trubičky se všelijak proplétají, ale nakonec skončí u otvorů dole a mince z nich vypadne. A teď: trubičky jsou pohyblivé, barman má vzadu páku a občas s ní pohne, takže mohou končit jednou u těch, jindy u jiných děr dole. Přitom ale jsou obě trubičky sdrátovány, takže udržují od sebe stálou vzdálenost, řekněme o 3 otvory. Kam trubičky míří, je na jedné straně zcela náhodné, jelikož barman mohl nastavit svou páku jak chtěl, na druhé straně však je v této náhodnosti určitý řád, protože když nám koruna vypadne z určitého otvoru, víme, že příště nám vypadne buď z téhož, nebo z otvoru o 3 vlevo či o 3 vpravo. Víme to samozřejmě až potom, co jsme prokoukli vnitřní uspořádání tohoto automatu. Otázka je, jakou metodou se nám takové prokouknutí může povést.

H: A to, předpokládám, bude ta metoda těch divných replik. Ale něco mi tu nehraje. Říkáš: když koruna jednou vypadne tady, jindy musí vypadnou támhle – ale co když mezitím barman pohne pákou? Pak přece žádnou zákonitost nemohu použít a ani žádnou odhalit!

P: Velmi správně. Říká se, že „nepořádek“ (neboli náhodnost v nastavení hracího automatu) může být tepelný, anebo zamrzlý. Obyvatelé Království anglického a příslušejících kolonií pro to mají slova „annealed“ a „quenched“. Tepelný (annealed) nepořádek, to je ten případ, že barman hýbe pákou tak rychle, že než hodíš druhou korunu, nastavení stroje se důkladně změní. Kdežto zamrzlý (quenched) nepořádek je, když velmi líný barman nechá páku stát třeba půl roku. Nastavení je náhodné, ale s časem se skoro nemění.

H: Jo. Nemusí být líný. Možná že se to přihodilo v Grónsku a barman před čtvrt rokem zmrzl v ledovci. Zato ten, co vrtí pákou ze všech sil, ten se zahřeje, až se zpotí...

P: Takhle to tvůrci pojmů „zamrzlý“ a „tepelný“ nemysleli, ale možná se to tak dobře pamatuje. My se však budeme zabývat jen zamrzlým nepořádkem. Tepelný nepořádek je svým způsobem banální, protože spousta zákonitostí – jako například že trubičky ve stroji jsou sdrátovány – se jaksi rozplyne. Jsou bezvýznamné, neprojeví se.

H: Ale když si připomenu, čím jsme začali, totiž rozsazováním, sympatiemi a frustracemi, zdá se mi, že to odpovídá právě zamrzlému nepořádku. Tepelný nepořádek – to by znamenalo, že měním své sympatie mnohokrát v průběhu večeře. Pak by bylo úplně jedno, kdo s kým bude sedět. Zajímavé a složité je to tehdy, když se sympatie a antipatie udrží dlouho. Pak je musím brát v úvahu.

P: Přesně tak. Otázka teď je, jak pojednat situaci se zamrzlým nepořádkem. Kdybychom třeba věděli předem, že modroocí se mají rádi a nesnášejí černooké, dáme prostě k jednomu stolu černooké a k druhému modrooké. Máme jedno optimální řešení: Když je tam zamrzlý nepořádek, nevíme předem, koho ke komu dát. Jakmile ale najdeme optimální rozsazení, bude optimální za pět minut i za hodinu, po celou večeři. Jak jsem se ti už snažil naznačit, problém je v tom, že optimálních řešení může být více. V průběhu jedné večeře se to ale nemusíme dozvědět, jelikož setrváváme stále v tomtéž optimu. (Jiný příklad ze života: středoškolák se snaží vybrat si zodpovědně vysokou školu. Zvolí si nakonec medicínu. Farmacie by pro něho byla stejně dobrá, nemůže si to však ověřit, jelikož má jen jeden život a volbu už udělal. Říká si: kdybych měl dvojníka, mohl bych zkusit to i to.) A tak si vytvořím několik kopií – replik – systému. Všichni jsou jakoby klonováni. Každý exemplář, každá replika, je jako správný klon zcela identický originálu. Máme-li tedy 1000 replik, je to jako bychom v 1000 rezidencích 1000 švédských velvyslanců konali 1000 večeří s týmiž hosty současně. Teď ale dovolíme, aby každá replika našla svůj optimální stav nezávisle na tom, jak se rozsadí ostatní repliky. Až ve všech replikách skončí strkanice a hádky a optimum bude v každé replice nalezeno, podíváme se, zda jsou všechna optima stejná, nebo zda má každá replika jiné rozsazení. Tím ihned uvidíme, zda je nejlepších řešení několik, nebo je jen jedno. Repliky tvoří mnohačásticový systém s interakcí a můžeme velmi snadno aplikovat různé metody statistické fyziky a teorie pole, kterých mají fyzikové plný batoh...

H: Přiznám se, že já v batohu nic takového nemám. A vůbec mi není jasné, jak ty repliky interagují.

P: No, jak bych ti to vysvětlil... není to snadné... nechci tě unavovat detaily, formulemi a kouzly. Fakt je, že je možné vyřešit problém chování takovýchto částic, a to exaktně, bez jakýchkoli aproximací.

H: Už se nemůžu dočkat výsledku.

P: Výsledek je dost překvapující. Možných optimálních stavů je spousta – nekonečně mnoho, pokud i hostů bude nekonečně mnoho. To ale není ten největší šok: zjistilo se, že řešení jsou seskupena hierarchicky. Tím se myslí to, že se z nich dají vytvořit skupinky, uvnitř každé z nich jsou řešení stejně vzdálená. (Vzdálenost neboli odlišnost řešení se dá přesně měřit, i když ne vždy snadno. U automatů jsme viděli, že řešení jsou vždy vzdálena o 3. Něco podobného se dá říct i o řešeních problému rozsazování. Jednoduše řečeno: dvě řešení jsou vzdálena o tolik, kolik lidí sedí v jednom řešení jinde než v druhém. Pokud se tedy dvě řešení liší jen přehozením jedné dvojice osob, jejich vzdálenost je 2 a tak dále.) Skupinky se dají seskupovat do větších skupin, přičemž opět vzdálenost každých dvou řešení spadajících do různých skupin je stejná. Skupiny se sdružují do větších skupin jako v botanice, kde máme druhy, rody, čeledi a nevím, jak to pokračuje dál.

H: Vzpomínám si, že v sousedním království žil, byl, pivo pil, kytičky sbíral, folianty popisoval rytíř Linné, králi sloužil. V jednom takovém foliantu jsem zahlédl jakýsi strom a na koncích jeho větví seděly jednotlivé rostliny nebo spíš obrázky květin.

P: Ano, je to velice podobné. Zjistilo se, že všechna optimální řešení problému rozsazování (ještě jednou připomínám, že existuje spousta stejně dobrých nejlepších řešení), celý jejich soubor, se dají klasifikovat pomocí stromu. Podobná řešení seskupíme k sobě v rámci jednoho rodu, několik rodů bude tvořit čeleď a tak dále. Je to jakási hierarchie, jako v armádě nebo ve státní správě.

H: Ve sklepích paláce (těch důmyslných mučidel tam...!) měl otec řadu blouznivců, kteří tvrdili, že hierarchii je třeba smést s povrchu země.

P: Ano, je to otázka, o kterou se lidé stále přou: jsou hierarchické struktury kolem nás iluzí, výmyslem vládnoucích tříd, naprostou náhodou, důsledkem vnitřních pochodů přírody, či rozhodnutím Božím? Netroufám si na takhle široce položenou otázku odpovědět, ale něco přece jen vím: existuje systém frustrovaných stolovníků, v němž všechna optimální řešení skutečně jsou hierarchicky uspořádána, a to ne proto, že by to někdo předem rozhodl, ale protože to vyplývá ze systému samotného, sama jeho přirozenost to vyžaduje.

H: A když si opět povolím trochu fantazie, frustrovaní a spolu soupeřící živí tvorové jsou řešením problému bytí, jak jsi to poeticky nazval před chvílí, a všechna řešení tohoto problému jsou opět uspořádána hierarchicky – nebo aspoň mohu vyslovit tuto hypotézu.

P: Ano. Něco takového si mohu představit. „Problém bytí“, či jak to nazvat, je problém s frustrací a nepořádkem (spousta věcí je tu náhodných). Fyzikové zkoumali nejem problém rozsazování, ale i spousty dalších, a pokaždé se ukázalo, že pokud je tu frustrace a nepořádek, vytváří se hierarchická struktura optimálních řešení. Každé řešení mohu interpretovat jako jednu ekologickou niku. Každý živý tvor, či přesněji druh, je jakoby jedna replika systému. Tyto repliky obsadí některé niky. Hierarchická struktura, kterou pozorují systematičtí biologové, je odrazem hierarchické struktury optimálních řešení. Ale abychom to mohli tvrdit s naprostou jistotou, to se ještě hodně napracujeme!

H: Věřím. Už teď jsem dost unaven a hlava mi na hruď klesá. Ale ještě mi řekni, které „spousty dalších“ problémů jsi měl před chvílí na mysli.

P: Je jich opravdu celá řada. Asi nejzajímavější je problém obchodního cestujícího. Znáš?

H: Pche! Obchod!

P: Přesto rád nosíš plášť z Benátek a vykládaný opasek z Florencie. Tak obchodní cestující má mapu měst, která má navštívit. Otázkou je, jakou trasu má zvolit, aby byla co nejkratší. Vypadá to jednoduše, ale je to jeden z nejtěžších optimalizačních problémů. S použitím metody replik se ukázalo, že optimálních řešení je ohromný počet a jsou uspořádána hierarchicky. Nebo problém konformace bílkovin. Konformace, to je tvar, jaký molekula bílkoviny bude mít. Různý tvar bude mít různou funkci. (To znáš: uvařené vajíčko obsahuje tytéž bílkoviny jako syrové, ale v jiné konformaci. Z takové konformace se ale kuřátko nenarodí...). Jak to, že jedna molekula může mít více konformací? A kolik jich je? Studoval se zjednodušený model, v němž se zase objevil ohromný počet možných konformací, uspořádaných hierarchicky. U reálných bílkovin je takových konformací jen několik – asi by stačily prsty jedné ruky – jak to tedy souhlasí? Odpověď je přímočará: počet konformací roste s délkou polymeru. Čím víc aminokyselin, tím víc konformací. Reálné bílkoviny jsou příliš krátké na to, aby počet konformací byl „velký“. Model bílkoviny, s nímž pracují fyzikové, má obecně nekonečný počet aminokyselin, tedy i nekonečně mnoho konformací. Pokud ale příroda vyžaduje přesně daný počet konformací, třeba dvě, musí si nastavit délku bílkovin tak, aby to nebylo ani málo, ani moc. Další model představují neuronové sítě. Tady je každé optimální řešení interpretováno jako jeden pojem, který si neuronová síť dovede zapamatovat... ale ty už spíš!

H: Cože? Aha. Ale Giorgio, my tady marníme čas zbytečnými debatami o rozsazování u dvou stolů a já chtěl vlastně vědět něco jiného: prosím tě, co je to spinové sklo? Je skrz to dobře vidět?

P: Ale Hamlete, o tom si celou dobu povídáme! Spin, to je jako střelka kompasu, je to jeden malý magnetek. Dám-li jich spoustu vedle sebe, budou na sebe působit, přitahovat se a odpuzovat. Každý magnetek míří buď nahoru, nebo dolů. Ti magnetci, co míří nahoru, jsou jako hosté, kteří sedí spolu u jednoho stolu. U druhého stolu sedí magnetci, kteří míří dolů. Někteří magnetci se mají rádi, jiní neradi, jako lidi. To vede k všem těm složitostem, které jsme si vysvětlovali... Počkat... aha... no a jinak je to slitina zlata s pěti procenty železa, a ty magnetky, ty spiny, to jsou atomy železa. Ale na co to prosím tě potřebuješ... aha... počkat... instantony... Lifšicovy chvosty... ententýky dvašpalíky...

H: To nic. Já jen tak. (Tiše odchází.)