Výběr a determinovanost v matematice

Často slýcháme od lidí pracujících na základech matematiky či v teorii množin o možnosti, žádoucnosti, nebo i nutnosti přijetí nových principů pro dokazování matematických tvrzení, neboť nynější matematická věda nedokáže zodpovědět otázky, které těmto lidem připadají důležité. Jak tato situace může vzniknout, čím je zajímavá a jaké jsou její praktické, matematické a filozofické důsledky, ukážu na příkladě dvou takových nových principů – axiomu výběru a axiomu determinovanosti.

Dnešní matematika používá axiomatickou metodu jako prostředek komunikace. Tato metoda spočívá ve volbě několika více či méně evidentních tvrzení – axiomů – a odvozování nových tvrzení z těchto axiomů podle jistých jednoduchých logických pravidel. Tento postup matematikům umožňuje velmi přesně sdělovat diskutovaná tvrzení a věřit v jejich obecnou platnost. Během staletí používání se axiomatická metoda stala zlatým standardem exaktního vyjadřování.

Dnešní matematika je nepřímo založena na teorii množin ¹⁾. Teorie množin je jistý soubor axiomů popisujících chování množin jakožto nejobecnějších matematických objektů – jejich výčet viz například v knize. Matematické argumenty jsou považovány za platné, pokud je zjevně možné je převést na důkazy z axiomů teorie množin. Tato redukce se však zpravidla neprovádí, protože je časově náročná, mechanická a nepřináší žádné nové porozumění – odtud slovo „nepřímo“ v první větě odstavce.

Již Gödel²⁾ poukázal na nepříjemnou vlastnost axiomatické metody: ať totiž zvolíme axiomy jakékoliv, vždy se najdou tvrzení, která budou z těchto axiomů nerozhodnutelná, to jest nedokazatelná, ale také nevyvratitelná. Přitom platnost takových tvrzení je často otázkou, která trápí celé generace matematiků – uveďme příklad pověstné hypotézy kontinua, která je nerozhodnutelná v teorii množin. Gödel doufal, že se podaří najít takový axiom či axiomy, které rozhodnou všechna zajímavá tvrzení. Nové axiomy by měly alespoň zčásti splňovat následující kritéria:

• měly by to být a priori zjevné pravdy o množinách,
• jejich důsledky by měly být početné a v souhlase s matematickou intuicí,
• jejich použití v důkazech by mělo být přirozené a jednoduché.

Význam mnoha přídavných jmen v předchozích větách je samozřejmě sporný. Tato slova jsou doposud definována společenskou arbitráží, s tichou nadějí, že by jejich přesný rozbor příliš neovlivnil dosavadní shodu na jejich významu.

Historie studia základů matematiky od 30. let se dá chápat jako pokusy o rozšíření teorie množin o nové, často protichůdné axiomy, jejich vzájemné porovnávání a posuzování podle již uvedených kritérií. Významným vedlejším produktem této činnosti bylo nové, hluboké porozumění, co a jak je dokazatelné v teorii množin samotné. Budu se zabývat dvěma neslučitelnými dodatečnými axiomy: axiomem výběru a axiomem determinovanosti.

Axiom výběru je následující tvrzení: pro každý soubor a neprázdných vzájemně disjunktních množin (tj. nemajících žádný společný prvek) existuje vzorkovník, to je množina b taková, že s každou množinou v a má jednoprvkový průnik. Takové b vlastně odebírá vzorek z každé množiny v A.

To je napohled přirozené až samozřejmé tvrzení,  které  má řadu stejně přitažlivých ekvivalentních formulací (viz rámeček). Stojí za povšimnutí, že axiom výběru zobecňuje jistou vlastnost množin konečných na množiny nekonečné.

Snadno se totiž dá v teorii množin samé argumentovat, že každý konečný soubor neprázdných disjunktních množin má vzorkovník.

Axiom výběru poprvé formuloval E. Zermelo r. 1904 ⁵⁾ a přes jeho samozřejmost se proti jeho přijetí mezi běžné axiomy zdvihla vlna odporu. Významní matematici té doby – mezi nimi i H. Lebesgue – poukazovali na některé protiintuitivní důsledky axiomu výběru (viz rámeček). Jiná námitka, více filozoficky laděná, byla proti zcela nekonstruktivnímu charakteru axiomu – existence vzorkovníků je prostě postulována bez toho, aniž by byl nějaký vzorkovník blíže popsán, zkonstruován či definován. To odlišuje axiom výběru od ostatních axiomů teorie množin. Spor byl vyřešen přijetím axiomu výběru mezi běžné axiomy poté, co se ukázalo, že ho ve svých pracích nevědomky používali i jeho odpůrci. Tím byla jasně demonstrována apriorní samozřejmost tohoto axiomu.

Náš protipól axiomu výběru, axiom determinovanosti, je tvrzení napohled méně přitažlivé. Abych ho motivoval, definuji napřed, co to je konečná hra, hra na přirozených číslech mezi dvěma hráči o m krocích, kde m je nějaké přirozené číslo, řekněme m = 3.

Na začátku takové hry je dána množina A, skládající se z trojic přirozených čísel. Hráči bílý a černý hrají (volí) střídavě ve třech kolech libovolná přirozená čísla:

a na závěr je bílý vyhlášen vítězem, pokud trojice <n₁, n₂, n₃> patří do množiny A, v opačném případě vyhrává černý.

Příkladem je jednoduchá hra o třech krocích, kde bílý vyhraje, pokud je součet všech hraných čísel lichý. Tedy máme

A={<n₁, n₂, n₃>: n₁+n₂+n₃ je liché číslo}.

Samozřejmě bílý tuto hru snadno vyhraje, například pomocí éto strategie: hraj n₁=1; pokud černý hrál n₂ sudé, hraj n₃=2, v opačném případě hraj n₃=1. Můžeme definovat pojem strategie jako předpis, který jednomu z hráčů určuje, jak hrát v závislosti na všech předešle hraných tazích.

Strategie je vyhrávající, pokud hráč, který ji sleduje, vyhraje, ať jeho soupeř hraje jakkoliv. Náš příklad byl velice jednoduchý, ale následující základní věta teorie her říká, že konečné hry nejsou složité:

Věta: Každá konečná hra je determinována, to jest v každé konečné hře má jeden z hráčů vyhrávající strategii.

Krátký argument ukazuje, že je možné tuto větu aplikovat například na šach, kde říká, že tam buď bílý, nebo černý dokáže vynutit výhru ze základního postavení, anebo mají obě strany remizovou strategii. Naopak na hry jako mariáš, kde hráči postrádají úplnou informaci o celkové situaci, se tato věta použít nedá.

Axiom determinovanosti zobecňuje shora uvedenou vlastnost her konečných na hry nekonečné. Ty jsou definovány stejně jako hry konečné, jen trvají nekonečně mnoho kol. Tedy na začátku je dána výsledková množina A skládající se z nekonečných posloupností přirozených čísel, a pak se hraje

Výsledkem je tedy nekonečná posloupnost <n₁, n₂, n₃, …>. Opět vyhraje bílý, pokud tato posloupnost patří do množiny A, jinak vítězí černý. Axiom determinovanosti je tvrzení, které říká, že každá nekonečná hra je determinována, to znamená, že jeden z hráčů pro ni má vyhrávající strategii.

Samozřejmě žádná „skutečná“ hra nemá nekonečně mnoho kol, ale formálně je tato situace popsatelná. Intuitivní představa takové předlouhé hry vyžaduje přijetí existence onoho nekonečného počtu kol jako jediné dotvořené entity, krok v moderní matematice zcela rutinní, ač filozoficky závazný, který v jiné podobě trápil už Aristotela.

Axiom determinovanosti prvně formuloval r. 1962 Jan Mycielski ⁴⁾. Ten ukázal, že tento axiom má mnoho důsledků, které by zjednodušily základy matematické analýzy, a navrhl jeho další studium. Od té doby především kalifornští matematikové rozvinuli překvapivě bohatou teorii reálných čísel za předpokladu axiomu determinovanosti (viz rámeček). Nicméně a posteriori motivace axiomu determinovanosti – pohodlnost a mnohost jeho důsledků pro matematickou analýzu – byla zdaleka zastíněna faktem, že tento axiom nemá a priori samozřejmost axiomu výběru, kterému dokonce protiřečí, a také že použití axiomu determinovanosti v důkazech je často dosti nezvyklé.

Doposud jsem líčil axiomy výběru a determinovanosti jako zcela neslučitelné – dá se ukázat, že si navzájem protiřečí. Důležitým objevem posledních desetiletí je však fakt, že tato dvě tvrzení spolu hluboce souvisejí. Abych tuto myšlenku mohl vyjádřit přesně, musím hovořit o dvou nástrojích dnešní matematiky: o velkých kardinálních číslech a analytickém univerzu.

Gödelův program hledání nových axiomů rozšiřujících teorii množin a axiom výběru vedl moderní teorii množin k vytvoření hierarchie axiomů velkých kardinálních čísel. Zhruba nastíněno, jde o posloupnost stále silnějších tvrzení, která říkají, že matematické univerzum je velice rozlehlé a bohaté na objekty. Přestože neexistuje žádná exaktní definice, co axiom velkých kardinálních čísel je a co není, je většinou snadné tato tvrzení rozpoznat a také jejich škálu zahušťovat a prodlužovat. Dnes je velmi úspěšná teze, podle které přijetí těchto axiomů je jediným smysluplným rozšířením teorie množin a axiomu výběru, alespoň pokud je naším cílem zachytit pravdu o celém množinovém všehomíru.

Axiomy velkých kardinálních čísel mají mnohé výhody:

• vyjadřují tradiční a z jistých filozofických hledisek oprávněnou snahu zahrnout do matematického univerza co možná nejvíce objektů,
• jsou navzájem slučitelné, a tedy můžeme přijmout najednou celou jejich škálu, popřípadě nějaký její  počáteční úsek bez obav z protimluv,
• poskytují nejsilnější možné metody pro zkoumání mnoha stránek matematického univerza,
• téměř každé známé matematické tvrzení má stejnou logickou sílu – v přesně definovaném smyslu – jako nějaký axiom velkých kardinálních čísel.

Do této míry byl Gödelův program úspěšný. Na druhé straně axiomy velkých kardinálních čísel nedávají odpověď na mnohé známé kombinatorické otázky – například na hypotézu kontinua.

Analytickým univerzem, označme ho písmenem M, míním nejmenší univerzum teorie množin, které obsahuje všechna reálná čísla. Analytické univerzum je část výchozího univerza a nemusí v něm platit axiom výběru. Takový svět skutečně existuje a metodu jeho konstrukce lze nalézt v knize [1]. Z definice M je patrný úmysl zachovat v něm matematickou analýzu z našeho „skutečného“ světa – proto jsme zahrnuli do M celou reálnou přímku –, ale zároveň se zbavit různých paradoxních objektů získaných použitím axiomu výběru. M je nejmenším univerzem, ve kterém má matematická analýza skutečný smysl.

Následující věta je jedním z nejdůležitějších faktů moderní teorie množin ³⁾:

Věta: Předpokládejme axiom výběru a dosti silný axiom velkých kardinálních čísel. Pak v analytickém univerzu platí axiom determinovanosti.

Zde tedy vidíme těsné spojení mezi našimi axiomy. Všimněme si nejdůležitějších metodologických důsledků této věty. Zaprvé při pokusu zodpovědět některou otázku o reálných číslech (nikoliv však již o množinách reálných čísel) z axiomů výběru a velkých kardinálních čísel se můžeme přesunout do kontextu axiomu determinovanosti s jeho početnými pohodlnými důsledky pro matematickou analýzu. Tam můžeme otázku vyřešit a získaná odpověď bude stejně platná i ve světě axiomu výběru a velkých kardinálních čísel. Takový postup bude díky předchozí větě formálně bezchybný – bude to důkaz. Na druhé straně při dokazování různých vět z axiomu determinovanosti se můžeme napřed pokusit argumentovat s pomocí axiomu výběru a velkých kardinálních čísel. Výsledek tohoto snažení je pak dobrou radou, zda je daná věta dokazatelná z axiomu determinovanosti, či nikoliv.

Lze přesně formulovat důvěryhodnou tezi, že axiom determinovanosti rozhoduje všechna zajímavá tvrzení o reálných číslech. Jestliže je tato teze pravdivá, pak podle předcházející věty i axiom determinovanosti a velkých kardinálních čísel rozhoduje tato tvrzení – velký krok k naplnění Gödelova programu!

Shora popsaná situace má jisté důsledky pro filozofii matematiky, zejména pro odvěký spor mezi jejími dvěma protipóly, realizmem a formalizmem. Realista tvrdí, že matematické objekty existují ve smyslu stejném jako předměty ve světě každodenní zkušenosti a matematik se mezi nimi rozhlíží a popisuje je. Naproti tomu formalizmus je názor, že matematika je pouhou hrou se slovy, která nic konkrétního neoznačují. Porovnání axiomů výběru a determinovanosti staví realistu před obtížný problém: jak může existovat více teorií, na jejichž základě lze budovat matematiku, když přece pravda o onom skutečně existujícím světě matematických objektů je jen jedna? Jaká kritéria máme použít k tomu, abychom dali přednost některé z těchto teorií? Naopak formalista zajásá: vždyť jsem to říkal, záleží pouze na tom, aby naše teorie byly dostatečně bohaté a vnitřně bezesporné.

Problém je v tom, že formalizmus obranu nepotřebuje. Je to poslední útočiště lidského rodu, nenapadnutelné, ale také místo, odkud se žádná ofenziva nedá podniknout. A zatímco v kavárenských diskusích mnozí matematici zaujímají formalistické postoje, v honbě za poznáním se všichni mění v zaryté realisty: zacházejí se skutečnými objekty, pozorují je a testují. Jsou pro to nejméně dva praktické důvody: zaprvé matematická intuice je mnohem rychlejší způsob získávání nových zajímavých pravd než probíraní všech možných důkazů na sebedokonalejším počítači; zadruhé formalizmus nedokáže vysvětlit nadčasovou a nadspolečenskou platnost matematikových poznatků, která je jeho největší pýchou.

Dovolím si nabídnout další pohled na tuto problematiku, blízký pohledu intuicionistů. Připusťme na okamžik, že matematické veškerenstvo se neskládá z množin, ale z nějakých objektů mnohem složitějších, s ne zcela vyslovitelnými vlastnostmi, které se pouze z jistého pohledu jako množiny jeví. Vskutku, tvrdit, že matematické objekty jsou množiny a nic jiného, je spíše známkou profesionální deformace než výsledkem seriózního pozorování. Ale v takovém případě je náš formální jazyk se svým těžkopádným způsobem odvozování nových vět břemenem, pouhou nutností komunikace. Takovým nedokonalým nástrojem nejenže nelze univerzum plně popsat, ale dají se jím také klást otázky, na které není žádná rozhodná odpověď.

Všimněme si, jak taková představa hraje s praxí moderní teorie množin. Tam matematici rezignovali na úsilí dát konečnou odpověď na četné otázky (příkladem budiž hypotéza kontinua), třeba proto, že lze zkonstruovat univerza teorie množin, ve kterých jsou odpovědi na tyto otázky různé, ale zároveň naše intuice nedává žádný návod, kterému z těchto univerz dát přednost. Naproti tomu se úporně hledají co nejdokonalejší metody zkoumání důsledků dodatečných axiomů a co nejprůzračnější a nejpřirozenější objekty, které lze těmito axiomy popsat. Zjevně otázka „axiom výběru, nebo axiom determinovanosti?“ není správně položena. Spíše jde o to, nalézt tu část matematické reality, kterou lze studovat například pomocí axiomu determinovanosti, a posléze vytyčit meze možností takového studia. Tato snaha byla v našem případě alespoň částečně završena úspěchem. ^*)