Co přináší základní výzkum v numerické matematice?

Lidé používají mnoha vymožeností vědy a techniky, aniž by si uvědomovali, že za nimi velice často stojí i matematika. Používají např. auta, letadla, různé elektronické přístroje, jejichž vývoj se opíral mj. i o nejrůznější matematické modely a metody. Při řešení vědeckých, technických, ekonomických aj. problémů často narážíme na komplikované modely a tak složité matematické úlohy, že jejich řešení neumíme vyjádřit jen pomocí nějakého vzorce. Naštěstí se ukazuje, že pro praktické účely obvykle nepotřebujeme zcela přesné řešení, ale spokojíme se s řešením přibližným, jehož chybu dokážeme vhodným způsobem odhadnout. A právě k výpočtu takového přibližného řešení slouží numerická matematika.

Ilustrujme to na několika typických úlohách. Na středních školách se studenti učí vzoreček pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Poněkud složitější vzorce lze odvodit i pro kořeny rovnice třetího a čtvrtého stupně. Již na začátku minulého století ale dokázal N. H. Abel (1802 - 1829) pro rovnice pátého stupně a po něm E. Galois (1811 - 1832) i pro rovnice vyšších stupňů, že takové vzorce pro kořeny nelze obecně napsat. Pomocí numerických metod však můžeme kořeny rovnic vyšších stupňů vypočítat např. s přesností na sto cifer. Nutnost řešit rovnice vyšších stupňů vzniká v řadě praktických úloh (např. při výpočtu objektivů optických přístrojů).

V další typické úloze půjde o určení pohybu těles, která na sebe gravitačně působí. Pokud na sebe působí jen dvě tělesa, umíme jejich dráhy vyjádřit jednoduchým vzorcem. Avšak stanovit nějaký vzorec popisující dráhy tří těles se nám podaří jen v několika málo speciálních případech. Francouzský matematik Henri Poincaré (1854 - 1912) totiž ukázal, že řešení obecného problému tří těles nelze explicitně vyjádřit pomocí známých elementárních funkcí. Proto se problém tří a více těles řeší většinou numericky (tj. přibližně). Numeričtí matematici, kteří se zabývají základním výzkumem, vymýšlejí stále přesnější a rychlejší metody pro výpočet úloh tohoto typu. To nám pak umožňuje co nejpřesněji stanovit např. dráhu sondy k Měsíci či modelovat vývoj sluneční soustavy na stovky let dopředu (popřípadě dozadu), ale i propočítat případnou srážku Země s asteroidem o mnoho let dříve, než by k ní došlo.

I výpočet řešení úlohy pomocí zdánlivě prostého dosazení do vzorečku může narazit na problémy. Číslicové počítače pracují jen s čísly, jež jsou zaokrouhlena na určitý (i když třeba velmi velký) počet cifer. Také výsledky aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) se v počítači zaokrouhlují a chyby zaokrouhlování se mohou při obrovských počtech provedených operací nepříznivým způsobem hromadit. Jednou z úloh numerické matematiky proto je i analýza aritmetických operací, které provádějí reálné počítače, zejména s ohledem na zaokrouhlování.

Současná numerická matematika umožňuje zvládnout i velmi komplikované problémy, k nimž patří např. výpočet průhybu mostů či pružnosti kostí, výpočet teplotního, elektrického nebo magnetického pole v různých zařízeních apod. Je rozhodně mnohem levnější nejprve předem propočítat rozložení teploty v projektovaném transformátoru pro vysoké napětí, než transformátor bez výpočtů vyrobit, a pak teprve zjistit, že při prvním zapnutí shoří izolace vinutí. Proto se numericky modelují i mnohé další problémy, např. tektonické poruchy v zemské kůře, šíření exhalací, stav a předpověď počasí, vibrace konstrukcí, chování plazmatu, chování víceatomových molekul, namáhání vysokotlakých nádob, průběhy chemických reakcí, obtékání lopatek turbín, mechanické namáhání těles atd.

Zastavme se na okamžik u posledně jmenovaného problému. Představte si například, že máte nějakou strojní součást, která je určitým způsobem namáhána. Důležitou otázkou je zjistit rozložení mechanického napětí uvnitř i na povrchu součásti. Ta by totiž mohla prasknout právě v těch místech, kde je napětí největší. Pomocí moderních numerických metod (např. metody konečných prvků - viz Vesmír 71, 377, 1992/7) lze zmíněný problém převést na řešení velkých soustav algebraických rovnic o desítkách tisíc neznámých. Pokud byste na řešení takových úloh užili nějakou klasickou metodu z dob K. F. Gausse (1777 - 1855), tak se snadno dostanete do potíží s velikostí paměti počítače a výpočet vám může trvat týdny i při použití nejvýkonnějších superpočítačů. (Např. pro Gaussovu eliminační metodu je výpočetní čas úměrný třetí mocnině počtu neznámých.) Proto se v současnosti jako součást základního výzkumu intezivně vyvíjejí tzv. rychlé algoritmy pro řešení velkých soustav algebraických rovnic, které šetří paměť a u nichž je čas výpočtu přímo úměrný první mocnině počtu neznámých - např. metoda více sítí. A tak řada špičkových světových pracovišť dnes snadno zvládá i řešení soustav milionů rovnic o milionech neznámých bez použití superpočítačů.

V poslední době je značná pozornost věnována rozvoji nové numerické metody, které se anglicky říká "substructuring". Namáhaná součást se nejprve rozdělí na několik oblastí, které mají jednoduchý geometrický tvar, přičemž každá z nich může být z jiného materiálu. Pak se využije toho, že na oblastech jednoduchého tvaru, např. kvádrech, lze k přibližnému řešení použít již zmíněné rychlé algoritmy. Speciální pozornost přitom musí být věnována neznámým hodnotám přibližného řešení na styku oblastí. Těch je však málo ve srovnání s celkovým počtem neznámých, a tak je výsledný algoritmus nenáročný na počet operací.

Bouřlivý rozvoj numerických metod si vyžádala mj. teorie optimalizace, která má široké uplatnění např. v ekonomii (optimalizace distribuce zboží apod.). Teorie optimalizace také umožňuje navrhnout tvar strojní součásti tak, aby měla minimální váhu nebo aby na jejím povrchu bylo minimální mechanické napětí. Pomocí optimalizačních technik lze stanovit i ekonomickou dráhu vesmírné sondy, tj. kdy a na jak dlouho mají být zapáleny její motory, aby dosáhla cíle co možno nejúspornější cestou. Optimalizační úlohy jsou velice rozmanité a bohužel neexistuje univerzální numerická metoda, jak je řešit. Každá třída problémů tak vyžaduje vyvinout speciální numerické metody pro přibližné řešení úloh této třídy.

Připomeňme ještě užití moderních numerických metod v počítačové tomografii a příbuzných oborech. Matematické metody skryté v softwarovém vybavení přístrojů totiž širší veřejnost většinou nevidí, a přitom je bez nich např. počítačová tomografie nemyslitelná. Fyzikální principy tomografie, sonografie, třírozměrné elektronové mikroskopie a dalších nedestruktivních metod zkoumání světa umožňují získat velké množství dat, např. o pohlcování záření, které na lidské tělo z různých stran dopadá při vyšetření v počítačovém tomografu se zářičem gama. Z těchto naměřených údajů by si velmi zkušený lékař mohl udělat jen zcela hrubou představu o tom, co je uvnitř pacientova těla. Teprve výpočet, který provádí počítač s tomografem spojený, poskytne na obrazovce přístroje obrázek řezu lidským tělem, kde hustší a řidší tkáně jsou odlišeny různými odstíny šedé barvy, nebo dokonce obrázek nějakým způsobem uměle "obarvený". Počítač přitom zpracovává ohromné množství naměřených dat a velkou rychlost výpočtu obrazu řezu lidským tělem, která je při vyšetření nezbytná, umožňuje tzv. rychlá Fourierova transformace. Je to metoda, která byla poprvé publikována jako výsledek základního výzkumu r. 1965 a stala se jedním z prostředků, které dovolily počítačům, aby z nich vyrostly skutečné nástroje analýzy jevů našeho světa. Ústřední myšlenku tohoto analytického postupu poprvé navrhl francouzský matematik J. B. J. Fourier (1768 - 1830).

Jestliže naše řádky vzbudily dojem, že v numerické matematice jsou všechny úlohy vyřešeny, není to bohužel pravda. Ve vědě a technice vznikají neustále nové a nové stále složitější modely a úlohy, o jejichž řešení numerická matematika usiluje. V současné době jde zejména o tzv. nelineární úlohy a úlohy postihující všechny tři dimenze našeho reálného prostoru. Kromě toho se numerická matematika vrací i k úlohám již vyřešeným a hledá cesty, jak je řešit rychleji, efektivněji, a tedy i levněji.

Ve svých počátcích se matematika začala již od dávnověku vyvíjet z potřeby lidí počítat, tedy jako numerická matematika. V současné době dosáhla matematika vysokého stupně abstrakce. Je to věda, jejíž předmět lze zhruba charakterizovat jako kvantitativní vztahy a prostorové formy.

Zatímco naše příklady spíše dokládaly bohaté aplikace matematiky a numerické matematiky zvlášť, existuje samozřejmě v matematice stejně jako v jiných vědních oborech výzkum základní. Cílem tohoto bádání je zejména formulovat úlohy, které vznikají přímo v rámci různých matematických odvětví, a hledat jejich řešení. Matematika se tak stává jako celek dokonalejší a úplnější, a to je zásadní podmínka všech jejích možných aplikací. Numerická matematika má na rozdíl od některých ostatních matematických disciplín tu vlastnost, že je často bezprostředně ovlivňována praktickými potřebami lidí. Navíc její výsledky často užívají v praxi nematematici-specialisté v různých jiných vědních oborech. Základní výzkum však nelze pomíjet ani v numerické matematice. Jeho hlavním cílem není provádění výpočtů, ale jde především o odhady chyb, důkazy existence popř. jednoznačnosti řešení, vyšetřování otázek stability a celkové efektivity navrhovaných metod. To je čistě badatelský výzkum, jenž může - a občas se to doopravdy stává - každodenní život lidí významně ovlivnit způsobem, který se předem nedá ani naplánovat, ani uhodnout.

Financování základního výzkumu, včetně základního výzkumu v matematice, se v České republice jistě ani zdaleka nepřibližuje té části národního produktu, kterou pro tento účel věnují vyspělé státy. Je tedy stále nebezpečí útlumu základního výzkumu a jeho dlouhodobých důsledků: rozpadu vědeckých týmů a zániku výchovy mladých vědců. Pokračování ve výzkumu v budoucnosti by pak nebylo nadlouho možné, i když budou k dispozici finanční prostředky, a Česká republika by se stala jen zdrojem levných nekvalifikovaných pracovních sil. Řada odvětví našeho průmyslu je ve špatné situaci proto, že zde nebyly vytvořeny podmínky pro používání matematických metod. Přitom badatelský výzkum v matematice je záležitost ve srovnání s většinou ostatních vědních oborů velmi levná.