Fermatova věta platí!

Tuto poznámku napsal toulouský soudce Pierre Fermat někdy kolem roku 1637 na okraj stránky v Diofantově Aritmetice. Přeloženo do moderní řeči, Fermatova poznámka tvrdí toto:

Jestliže n je přirozené číslo větší než 2, pak neexistují celá čísla a, b, c různá od nuly taková, že aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Důkaz tohoto tvrzení se ve Fermatově pozůstalosti nenašel, a je téměř jisté, že je Fermat nikdy nedokázal. Přesto se pro toto tvrzení ujal název velká věta Fermatova. Po více než tři staletí se mnozí slavní matematici (a taktéž méně slavní matematici, i matematičtí amatéři) snažili bez úspěchu tuto větu dokázat. Fermatova věta však odolávala. Až do června 1993.

V červnu tohoto roku se konala v nedávno otevřeném Newtonově ústavu v Cambridgi matematická konference, na niž se sjela řada expertů v teorii čísel, což je jedna z mnoha specializovaných matematických disciplin. Jedním z přednášejících byl čtyřicetiletý Andrew Wiles, profesor matematiky z univerzity v Princetonu. Wiles měl sérii tří přednášek s názvem Modulární formy, eliptické křivky a Galoisovy reprezentace. Přestože málokteří přítomní poznali, k čemu Wiles směřuje, několik zasvěcenců tušilo, o co jde. Na třetí přednášku, ve středu 23. června, se dostavilo více než 60 posluchačů. Ti se pak stali svědky snad největší matematické senzace tohoto století: Důkaz, který Wiles ve svých přednáškách nastínil, je důkazem Fermatovy věty.

Na závěr přednášky se Wilesovi dostalo ohromného potlesku. A co více: Mezi posluchači byli prakticky všichni světoví odborníci na teorie související s Fermatovým problémem, a všichni se shodli na tom, že Wilesův důkaz je pravděpodobně správný (zde musím podotknout, že vzhledem ke složitosti důkazu bude trvat několik měsíců, než matematici budou mít stoprocentní jistotu, že důkaz je opravdu v pořádku). Během několika hodin se rozezvučely telefonní dráty a matematici po celém světě se dočetli ve své elektronické poště, že Fermatova věta je konečně dokázána. Během několika dní pak přinesl tuto zprávu i světový tisk.

Je asi těžké vysvětlit nematematikům, proč ta sláva kolem Fermatovy věty a co nás na ní těch 350 let tak fascinovalo. Fermatova věta nevysvětlí vznik vesmíru nebo vznik života na zemi, ani ji nelze použít k výrobě větší bomby nebo lepšího televizoru. Ani v matematice samotné neovlivní příliš činnost více než hrstky specialistů. Jediné - a pro matematika to nejdůležitější - bylo, že 350 let odolávala snahám ji dokázat.

Původ problému

Pierre Fermat (1601 - 1665) je pokládán za největšího matematika 17. století, a byl bezesporu zakladatelem teorie čísel. Fermat strávil téměř celý svůj život v Toulouse. Vystudoval práva a stal se vysoce postaveným královským soudcem. Matematikou se zabýval jen ve volném čase, ale přesto dosáhl všeobecného uznání ve vědeckých kruzích. Učinil řadu důležitých matematických objevů a někteří historikové se dokonce domnívají, že Fermat vymyslel základní pojmy diferenciálního počtu dlouho před Newtonem a Leibnizem.

Fermatův hlavní zájem se týkal celých čísel, obzvláště otázek týkajících se dělitelnosti a prvočísel. Připomeňme, že prvočíslo je takové celé kladné číslo p > 1, které není dělitelné (beze zbytku) žádným celým kladným číslem kromě sebou samým a číslem 1. (Prvočísel je nekonečně mnoho: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 atd. Všechna kromě dvojky jsou lichá.)

Své objevy sděloval Fermat ve svých četných dopisech tehdejším matematikům a často je pouze psal ve formě poznámek na okraj Bachetova vydání Diofantovy Aritmetiky (řecky, s latinským překladem a komentářem). Tato Fermatova kopie se nezachovala, ale po jeho smrti vydal jeho syn Samuel v r. 1670 novou verzi, obsahující navíc Fermatovy poznámky. A právě v této verzi se výše zmíněná poznámka vyskytuje: následuje problém číslo 8 v knize II, týkající se rovnice

a² + b² = c².

Tato rovnice, pocházející od Pythagora, se týká pravoúhlých trojúhelníků a má nekonečně mnoho řešení, kde a, b, c jsou celá čísla. Dokonce lze všechna taková řešení popsat: Nechť u a v jsou libovolná celá čísla. Když položíme

a = 2uv, b = u² - v² a c = u² + v²,

čísla a, b, c splňují Pythagorovu rovnici. Např. u = 2, v = 1 nám dá trojici 3, 4, 5, nebo u = 5, v = 2 dá 20, 21, 29.

Fermatova poznámka na okraji stránky v Aritmetice tvrdí, že zobecnění Pythagorovy rovnice pro vyšší mocniny nemá řešení. Fermat se domníval, že toto tvrzení dovede dokázat. Ačkoli Fermat učinil mnoho objevů v teorii čísel, pouze dva jeho důkazy se zachovaly.

Jeden z těchto dvou zachovaných důkazů se právě týká Fermatovy věty pro n = 4: dokazuje, že nemohou existovat celá čísla a, b, c (různá od nuly) taková, že a⁴+b⁴=c⁴. Důkaz je celkem dosti snadný (přístupný čtenáři majícímu základní znalosti aritmetiky). Využívá velice jednoduché, ale geniální myšlenky: redukce daného případu na případ analogický, ale týkající se menších čísel. V moderní řeči bychom nazvali takový důkaz důkazem matematickou indukcí. (Je možné, že se Fermat mylně domníval, že tuto ideu pro n = 4 lze zobecnit pro všechna n > 2.)

Většina tvrzení, která Fermat zanechal, je správných. Byla později ověřena a dokázána, a mnohá dnes tvoří základy teorie čísel. Jeden z Fermatových objevů je toto tvrzení, taktéž známé pod názvem Fermatova věta:

Je-li p prvočíslo a n libovolné celé číslo, pak číslo n^p-n je dělitelné číslem p.

Například, jestliže p = 13 a n = 2, pak 2¹³-2=8190 je dělitelné třinácti.

Zde bych chtěl podotknout, že teorie čísel (jakož i jiné abstraktní matematické teorie) není jen tak docela neužitečnou zábavou nepraktických matematiků. Tato právě zmíněná Fermatova věta našla v minulých letech zcela pozoruhodné uplatnění: Na jejím základě je možno sestrojit šifru, která je prakticky nerozřešitelná, a to i v případě, že kódovací klíč je znám (tzv. veřejný klíč, viz Vesmír 71, 615, 1992/11 ).

Přestože téměř vše, co se po Fermatovi zachovalo, se ukázalo správným, v jednom případě se Fermat mýlil. Domníval se totiž (a tak to tvrdil ve své korespondenci), že všechna čísla tvaru 2^m+1, kde m = 2ⁿ, jsou prvočísla. Je tomu skutečně tak pro n=0,1,2,3,4: 3, 5, 17, 257, 65537.

Ale není tomu tak pro n=5 a n=6: číslo 2³²+1=4294967297 není prvočíslo, protože je násobkem čísla 641, a číslo 2⁶⁴+1=18446744073709551617 je dělitelné číslem 274177.

Trochu historie

Fermatovy objevy podstatně ovlivnily matematiku 17. a 18. století, obzvláště poté, co Fermatův syn Samuel vydal po jeho smrti soubor jeho rukopisů, včetně oné kopie Diofanta. Fermatův problém se postupně dostal do povědomí matematické veřejnosti a mnozí se pokusili Fermatovu větu dokázat. Leonhard Euler, jeden z největších matematiků všech dob, nalezl důkaz pro n = 3 (a uveřejnil jej r. 1822).

Carl Friedrich Gauss, další velikán 19. století, nalezl jiný důkaz případu n=3, a co více, jeho důkaz uvedl do teorie čísel novou, vskutku revoluční metodu. K tomu, aby dokázal vlastnosti celých čísel, použil Gauss nejen celá čísla, ale (velice podstatně) také některá komplexní čísla, jako např. číslo [-1+√(-3)]/2. Pro matematicky vzdělané čtenáře dodávám, že toto číslo lze vyjádřit i jako e^2πi/3 nebo cos 2π/3 + i sin 2π/3, že leží na jednotkové kružnici, a je jedním ze tří kořenů rovnice z³=1. Gauss tak nejen dokázal jeden speciální případ Fermatovy věty, ale zároveň položil základy budoucí teorie číselných těles.

Gaussovi osobně Fermatův problém příliš neimponoval. Když v r. 1816 vypsala francouzská Akademie věd cenu za řešení Fermatova problému, Gauss se vyjádřil v jednom dopise takto: „Jsem Vám velice vděčen za zprávu o pařížské ceně. Ale musím se přiznat, že Fermatova věta jako taková mne zajímá velmi málo; sám mohu uvést mnoho podobných tvrzení, která nelze ani dokázat, ani vyvrátit.“

Na rozdíl od Gausse vynaložili mnozí jeho současníci značné úsilí, aby Fermatovu větu dokázali. Dirichlet podal důkaz pro n=5 r. 1828 a pro n=14 r. 1832; Lamé pak r. 1839 rozřešil případ n=7. Někteří se domnívali, že větu dokázali v celé obecnosti, mimo jiné i Augustin-Louis Cauchy, a také Lamé, který uveřejnil chybný „důkaz“ r. 1847.

Největšího pokroku dosáhl Ernst Eduard Kummer, který v letech 1844 - 47 dokázal, že Fermatova věta platí pro mnohá n. Navíc jeho metoda vedla ke vzniku algebraické teorie čísel. Kummerova metoda byla zobecněním výše zmíněného důkazu, který použil Gauss.

Podotkněme nejprve, že při řešení Fermatova problému aⁿ+bⁿ=cⁿ se stačí omezit na ta n > 2, která jsou prvočísla. Kdyby totiž Fermatova věta neplatila pro nějaké n, které lze rozložit na součin řekněme n=rs, tak by neplatila ani pro s (a podobně ani pro r): Jestliže a^rs+b^rs=c^rs, pak také platí A^s+B^s=C^s, kde A=a^r, B=b^r, a C=c^r. Protože každé n>2 je dělitelno buďto čtyřkou, nebo lichým prvočíslem, a Fermatova věta platí pro mocninu 4, stačí dokázat, že rovnice a^p+b^p=c^p nemá nenulové řešení pro žádné liché prvočíslo p.

Je-li p prvočíslo, uvažujme komplexní čísla e^2kπ/p, k=0,..., p - 1, tj. kořeny rovnice z^p=1. Těchto kořenů je p a jsou umístěny na jednotkové kružnici tak, že ji dělí na p rovných dílů. Tato komplexní čísla lze přidat k celým číslům, včetně čísel, která vzniknou aplikací aritmetických operací. Kummer vyšetřoval takto vzniklá cyklotomická čísla a jejich pomocí dokázal, že Fermatova věta platí pro nekonečně mnoho prvočíselných mocnin.

Pokusy amatérů

Od Kummera až do nedávné minulosti se většina práce na Fermatově problému týkala vyšetřováním podmínek na mocninu p, za nichž Fermatova věta platí pro p. V důsledku tohoto obsáhlého výzkumu a díky možnosti ověřit mnohé z těchto podmínek pomocí počítače byla Fermatova věta dokázána pro všechny mocniny n < 4 000 000. A občas se některý matematik mylně domníval, že větu dokázal. Např. r. 1901 uveřejnil Ferdinand Lindemann „důkaz“, který se ukázal být chybný. (Mimochodem, Lindemann se proslavil tím, že dokázal, že π je transcendentní číslo, což má za následek, že není možno docílit kvadratury kruhu, ale to je jiná historie.)

V roce 1908 odkázal jistý Dr. Paul Wolfskehl 100 000 marek Královské společnosti věd v Göttingenu za účelem, aby je udělila jako cenu za důkaz Fermatovy věty. Pan doktor netušil, jaký bič tím upletl na asistenty matematické fakulty v Göttingenu: Dopisy „řešitelů“ od roku 1908 dodnes zaplňují zvíce tří metrů v regálech Akademie. Po vytřídění vyložených nesmyslů připadnou asistentům k zodpovězení 3 až 4 „řešení“ měsíčně. Téměř všechna řešení předložená Královské akademii jsou pokusy amatérů, a vesměs používají velice elementárních metod. Krátce po původním vypsání upustila Akademie od pravidelných ohlášení v časopisech (což bylo jednou z podmínek Dr. Wolfskehla), neboť postižené časopisy byly zaplaveny rukopisy „dokazujícími“ Fermatovu větu.

V roce 1908 představovala částka 100 000 marek značnou sumu. Německá superinflace ve dvacátých letech a hospodářská krize v letech třicátých však způsobily, že se tato částka podstatně smrskla (v roce 1974 cena obnášela asi 10 000 marek). Myslím, že si v Göttingenu oddychnou, až cenu vyplatí, a nebudou muset čekat až do roku 2007, kdy podle Wolfskehlovy závěti měla cena vypršet.

Směs algebry a geometrie

V posledních asi tak 70 letech si matematici snažící se o důkaz Fermatovy věty vzali na pomoc jinou mocnou zbraň - geometrii. Geometrie je ovšem nauka stejně stará jako aritmetika, ale byla to právě směs moderních geometrických metod s metodami algebraickými, která nakonec vedla k úspěchu.

Jeden ze způsobů, jak geometrické metody uplatnit, je vyšetřovat pro dané n „křivku“ danou rovnicí xⁿ+yⁿ+zⁿ=0. Tento objekt není křivka v obvyklém smyslu, tj. čára v eukleidovské rovině, nýbrž něco poněkud obecnějšího: jednak dimenze je vyšší a jednak rovina je nahrazena tzv. projektivní rovinou nad tělesem algebraických čísel. (My matematici máme totiž ve zvyku všechno co nejvíce zobecnit.) Fermatova křivka je pak jen jednou z mnoha křivek, o kterých existuje celá teorie. Z r. 1922 pochází tzv. Mordellova domněnka, která se týká projektivních křivek obecně a jejímž důsledkem je, že rovnice aⁿ+bⁿ=cⁿ má pro dané n>2 pouze konečně mnoho řešení. To samozřejmě není dost dobré pro důkaz Fermatovy věty, ale i tato domněnka byla natolik důležitá, že když ji r. 1983 dokázal Gerd Faltings, dostal brzy na to Fieldsovu medaili.

Fieldsova medaile je pro matematika totéž, co pro jiné vědce Nobelova cena. Obnáší sice mnohem menší finanční částku, ale má zhruba stejnou prestiž. Je udělována jednou za čtyři roky, třem nebo čtyřem matematikům pod 40 let. (Protože Wilesovi už je více než čtyřicet, je téměř jisté, že ji r. 1994 nedostane.) Je poněkud ironické, že matematika se nikdy nestala jedním z oborů, ve kterých se Nobelova cena uděluje, zatímco již několik ekonomů ji dostalo za matematické teorie pochybné hodnoty.

Teorie, kterou Wiles nakonec úspěšně použil, se týká tzv. eliptických křivek. Eliptické křivky jsou dané rovnicemi tvaru y²=(x+b)(x-a)x, kde a a b jsou celá čísla (splňující jisté podmínky.) Souvislost teorie eliptických křivek s Fermatovou větou vyplývá ze studia tzv. modulárních křivek a Taniyamovy domněnky. Roku 1955 vyslovil Yukata Taniyama domněnku, že každá eliptická křivka, velmi volně řečeno, nemá "příliš mnoho výjimečných vlastností". Matematici to přesněji vyjadřují slovy "je modulární". Roku 1986 si Gerhard Frey povšiml, že je-li aⁿ+ bⁿ=cⁿ, pak eliptická křivka y²=(x+bⁿ)(x-aⁿ)x by musela mít „neuvěřitelné“ vlastnosti. Krátce nato, r. 1987, dokázal Kenneth Ribet, že taková eliptická křivka není modulární, a tudíž Fermatova věta plyne z Taniyamovy domněnky.

Wilesův důkaz využívá Ribetovy věty a vztahu Taniyamovy domněnky k Fermatově větě. Wiles sice nedokázal Taniyamovu domněnku v celé obecnosti, ale dokázal, že domněnka platí pro jistou třídu eliptických křivek. Důsledkem toho (a Ribetova výsledku) je, že eliptické křivky odpovídající rovnici aⁿ+bⁿ=cⁿ nemohou existovat. Tudíž tato rovnice nemá řešení a Fermatova věta platí.

Andrew Wiles

Andrew Wiles je profesorem matematiky na univerzitě v Princetonu. Narodil se ve Velké Británii, studoval nejprve v Oxfordu, a později v Cambridgi, kde získal doktorát pod vedením Johna Coatese. Krátce po skončení studií se přemístil do Spojených států, kde působil nejprve na Harvardově univerzitě, a poté na univerzitě v Princetonu. Dokázal řadu důležitých vět, např. v teorii cyktomických těles. Na Fermatově větě pracoval pravděpodobně od výše zmíněného výsledku Ribeta. Někdy na začátku letošního roku se prý zmínil dvěma svým kolegům, že „skoro“ dokázal Fermatovu větu. Pravděpodobně již měl důkaz, ale strávil několik měsíců ověřováním detailů. V okamžiku, kdy předstoupil před kolegy v Newtonově ústavu, si již byl svým důkazem stoprocentně jist.

Bude trvat několik měsíců, než si tím budou stoprocentně jisti ostatní. Wilesův důkaz prý je 200 stránek dlouhý, ale to na něm není to nejtěžší. Důkaz používá výsledky z rozličných zdrojů z různých částí matematiky, takže je na světě pravděpodobně ne více než pět nebo šest matematiků, kteří jsou schopni důkazu nyní porozumět. I když díky zájmu o Fermatovu větu se v budoucnosti jistě najde mnohem více matematiků, kteří Wilesovu důkazu porozumí a případně jej i zjednoduší, zůstane tento výsledek asi jedním z nejobtížnějších, jaký v moderní matematice existuje. V každém případě je nemožné, že tento důkaz měl Fermat na mysli.