Turingův stroj a co bylo potom

Před 80 lety začal počítačový věk, když Alan Turing přišel se svým strojem. Pomohl zjistit, že věda nemůže rozluštit konečné tajemství přírody.

V roce 1900 David Hilbert představil třiadvacet hlavních matematických problémů, které zbývá rozlousknout. Tím nepřímo naznačoval, že (brzy) nastane čas, kdy v říši královny věd bude to nejdůležitější vyřešené a vývoj matematiky se svým způsobem završí.

(Podobným optimismem byla tehdy stižena řada dalších exaktních vědců, najmě fyziků; podle některých z nich se další vývoj fyziky měl odehrávat „na šestém desetinném místě“, tedy spočívat pouze v upřesňování již známého.)

Tentýž David Hilbert ve 20. letech – zcela v duchu svého přesvědčení – vyzval k sestavení úplného systému axiomů, skrze něž by se daly dokázat všechny matematické věty, čímž by se matematika rovněž stala formálně dokonalou vědou.

Tajemství věčného tajemství

Tento tzv. Hilbertův program zaujal mladého rakouského logika Kurta Gödela (původem z Brna). A ten došel v roce 1930, bylo mu teprve čtyřiadvacet, k nečekanému závěru – dokázal totiž, že Hilbertův cíl je z principu nedosažitelný. Gödelův důkaz říkal, že žádný systém obsahující elementární aritmetiku (v matematice většina) nemůže být zároveň úplný a bezesporný (stoprocentně dokazatelný z axiomů).

Volnějších interpretací oněch dvou Gödelových vět o neúplnosti se nabízí povícero:

– V žádném systému obsahujícím přirozená čísla nelze dokázat vše, co v něm platí.

– Matematika je trvale otevřený, z principu neúplný, neohraničitelný svět.

Jakkoli se Gödelova neúplnost týká výhradně matematiky (konkrétně teorie čísel), skrze známý galileovský fakt, že matematika je jazykem přírodovědy a skrze nepochybnou skutečnost, že člověk je součástí přírody, se opatrně nabízí domněnka sice již odpradávna tušená, nyní však i potvrzená vědecky:

– Nelze dosáhnout úplné formalizace vědeckého poznání.

– Existují vědecké pravdy, k nimž nelze dospět uzavřeným logickým pochodem.

Nabízí se i takříkajíc literární verze: Žádný systém nemůže dokonale popsat sám sebe. (Podobně jako třeba recenzi na novou hru nemůže psát herec, který v ní má hlavní roli.)

V úplnosti poznat tedy můžeme jen nižší systém, než jsme my sami. Jenže tím, že o tom systému vůbec uvažujeme a tím ho zahrnujeme do svého světa, přestává být nižší a stává se „náš“. Max Planck to postihl v jedné z úvah o hranicích vědy: „Věda nemůže rozluštit konečné tajemství přírody. Je tomu tak proto, že při té poslední analýze se i my stáváme částí toho tajemství, které se pokoušíme rozluštit.“

Neúplností k Bohu?

Možnost být součástí problému, který řeší věda, je zprvu výhoda – můžeme přímo pozorovat, vnímat, cítit, používat zdravého selského rozumu; v pokročilejším, abstraktnějším stadiu (až do „té poslední analýzy“, jak říká Planck), se však počáteční výhoda stává omezením – lidské smysly ani rozum už nestačí.

Stanislav Komárek kdesi napsal, že „pravda se skládá ze dvou polopravd jako přímka ze dvou polopřímek a z daných výroků si vybereme vždy ten, který se nám více hodí do krámu či na který jsme emočně vyladěni“. Jsme částí tajemství, které se pokoušíme rozluštit – jsme bodem pomyslné přímky, kterou celou chceme obsáhnout poznáním. Tu přímku si můžeme volně představit třeba vodorovnou (osa času, od vzniku po zánik) nebo svislou (osa velikosti, od atomů po vesmíry). A teď si představme, že bychom mohli z té přímky vystoupit nad ni nebo vedle ní – to by byl pohled! Teprve PAK bychom – snad – mohli řešit i ten svůj bodík na přímce – sebe ve vesmíru.

K alespoň zprostředkovanému poopuštění našeho místa nám částečně napomáhají rozumem vedené „prodloužené smysly“, přístroje. (Iluzi „vystoupení“ mimo svůj bod na světočáře podléhají jedinci, kteří prodělali nějaký numinózní zážitek – osvícení, nirvánu, stav vědomí změněného drogovou intoxikací apod.)

Jaký tedy je původ těch pravd, které sice platí, ale nelze je logicky dokázat? Pravd, které nepoznáváme rozumem, ale – čím vlastně? Intuicí? Nebo snad dokonce Zjevením? Nezavání to filosofickým idealismem? Asi není divu, že jako vedlejší produkt svých úvah Gödel vypracoval důkaz existence Boží.

Mlčící pravdy

Aniž bychom zacházeli do podrobností (které ostatně jsou přinejmenším zčásti mimo chápání autora těchto řádků), Gödel své tvrzení o neúplnosti dokázal díky objevu metody, jak otázky dokazatelnosti převést na ekvivalentní otázky vypočitatelnosti některých funkcí na přirozených číslech (proto také jeho věty platí jen v takových částech matematiky, které obsahují aritmetiku). Skrze to dokázal, že v každém axiomatickém systému bude vždy existovat funkce, kterou nelze v rámci tohoto systému vypočítat.

V návaznosti pak další matematikové začali zkoumat, které funkce jsou vypočitatelné a které ne. Samozřejmě se nemořili s výpočty konkrétních funkcí, oni se zabývali problémem obecně, tedy tím, co je to vlastně výpočet a které funkce v oboru přirozených čísel lze vypočítat (ať už zpaměti, ručně, nebo strojmo).

Gödelův výsledek (z roku 1930, připomeňme) ukázal, že sice existují matematické pravdy, které nejsou dokazatelné, avšak zachoval naději, že alespoň pro ty dokazatelné pravdy existuje způsob, jak jejich důkaz mechanicky (formálně, axiomaticky, algoritmicky) odvodit.

Tato naděje trvala něco přes šest let. V lednu 1937 vychází v časopise Proceedings of London Mathematical Society článek O vyčíslitelnosti (odevzdaný koncem května 1936). Autor Alan Turing (náhodou také čtyřiadvacetiletý jako Kurt Gödel v době svého objevu) v něm dokazuje existenci nerozhodnutelných problémů, tedy takových, pro jejichž řešení nelze sestavit postup, který pak jen stačí přesně plnit. K tomu vytvořil koncepci ideálního univerzálního matematického stroje (tzv. Turingův stroj). Toto ryze abstraktní zařízení v podstatě čte seznam přirozených čísel a podle daných pokynů ho „schroustá“ na jiný seznam čísel. (Ale klidně si pod ním můžeme představit matematika, který při své práci používá tužku a papír a gumu, se kterými po jednotlivých definovatelných krocích, takříkajíc mechanicky, počítá podle programu, tedy znalostí uložených v hlavě.)

Turing ukázal, že existují matematické úlohy, tzv. nevyčíslitelné funkce, na kterých „jeho“ (tím spíše pak každý reálný) stroj selže, tudíž které nemohou být napodobeny a vyřešeny algoritmicky, čili automatizovatelnými postupy. Stejným postupem jako u Gödelovy neúplnosti, tedy od nedokonalé matematiky k neúplné přírodovědě, se dostáváme od nevyčíslitelné matematiky k ne zcela popsatelnému světu.

Užitečný neúspěch

Byla to tehdy výživná sekvence: V době již tak znejistěné povrchními výklady Einsteinovy teorie relativity (1915), Bornovy pravděpodobnostní kvantové mechaniky (1926) a Heisenbergova principu neurčitosti (1927) dva kromobyčejně nadaní mládenci nedlouho po sobě (1930 a 1936/7) ukázali, že část existující pravdy je nedokazatelná a že část té dokazatelné pravdy je zase nevyjádřitelná algoritmicky (číselně, strojově). „O čem nelze mluvit, o tom je třeba mlčet,“ mínil německý filosof Ludwig Wittgenstein. (Nutno ovšem zdůraznit, že stejně jako Einsteinova relativita, Bornova hustota pravděpodobnosti a Heisenbergova neurčitost i Gödelova neúplnost a Turingova nevyčíslitelnost se uplatňují v podmínkách takříkajíc periferních, na hony vzdálených „lidským“.)

Tak jako nedokazatelné pravdy Gödelovy odkazují k filosofickému idealismu, i nevyčíslitelné funkce Turingovy jako by naznačovaly, že v mysli je cosi exaktně neuchopitelného, „božského“.

Svět je sice na jedné straně až nečekaně dobře matematizovatelný, na druhé ale exaktně méně poznatelný, než bychom si na základě jeho matematizovatelnosti mohli myslet.

V obou případech to však ukazuje, že poznání může mít i negativní podobu (že něco „nejde“), a pokud ta je respektována (což mimo jiné obnáší oslabení antropocentrického sebeklamu, které je samo o sobě cenným výsledkem), vědu i vědění to obohacuje. Trochu to připomíná kvantovou teorii: Hluboko dovnitř, do mikrosvěta atomárních částic, nikdy nepronikneme a jejich stavy i chování do detailu nepoznáme, ale to nám pranic nebrání zcela exaktně je studovat a využívat v makrosvětě.

Viz též navazující text Duch v mašině v rubrice Názory.