Teorie nekonečna

Nekonečno je tajemné. Pojem nekonečna patří na jedné straně k základní výbavě našeho myšlení, na druhé straně pokusy skutečně myslet nekonečno vedou často přinejmenším k znepokojení, u některých lidí dokonce vzbuzují hrůzu. Na první pohled se možná zdá, že nekonečno jaksi nepatří k našemu světu, že jde spíše o mlhavý teoretický koncept, při jehož důsledném promýšlení by se lidské myšlení mělo ztratit v propasti. O to zajímavější je skutečnost, že v matematice lze s pojmem nekonečna zacházet exaktně, že s ním lze doslova počítat a na jeho základě vyvozovat celé teorie. A nejen to: v matematice existují různá pojetí nekonečna a i v rámci jednoho pojetí nekonečna lze uvažovat o různých nekonečnech a s každým z nich lze matematicky zacházet.

Pojem nekonečna

Až do 19. století si matematici vystačili s nekonečnem potenciálním. Toto nekonečno představuje možnost pokračovat donekonečna v nějakém procesu, třeba v postupném přibližování hledané hodnotě. Asi první dochovanou úvahou o potenciálním nekonečnu je známý Zenonův paradox (z 5. století př. n. l.) o Achillovi a želvě (viz rámeček 1), z téhož století je ale známa i první praktická aplikace potenciálního nekonečna – metoda umožňující výpočet ploch a objemů s použitím nekonečné posloupnosti aproximací (tedy postupného zpřesňování), kterou vynalezl matematik Eudoxos a v následujícím století ji použil Archimédes k výpočtu plochy kruhu. Dokázal, že kruh o poloměru r má plochu πr², kde π je poměr délky obvodu k délce průměru. Metoda důkazu spočívá v tom (vyjádřeno dnešním jazykem), že obsah kruhu je limitou obsahů vepsaných pravidelných mnohoúhelníků.

Metody aproximovat donekonečna se přibližujícími veličinami se dnes užívá v diferenciálním a integrálním počtu, vynalezeném I. Newtonem a G. W. Leibnizem. Tato oblast matematiky patří k nejužitečnějším nástrojům nejen matematiky, ale vědeckého poznání vůbec. Velká část poznatků všech věd, ale i většina techniky a technologie, kterou denodenně používáme, by bez tohoto nástroje nemohla vzniknout. Je proto dobré si uvědomit, že potenciální nekonečno, které původně sloužilo k procvičování mysli a k provokování současníků Zenona z Eleje, se stalo jedním z úhelných kamenů naší současné civilizace.

Aktuální nekonečno a teorie množin

O aktuální nekonečno, tedy o nekonečno jakožto pojem označující velikost (nebo početnost) něčeho, se matematici začali zajímat až v polovině 19. století. Teprve v té době se totiž ukázalo, že může existovat to „něco“, čeho velikost může být nekonečná, což je množina. Vznik teorie množin je tedy s pojmem (aktuálního) nekonečna těsně svázán – kdybychom neuvažovali o aktuálním nekonečnu, obešli bychom se bez pojmu množiny a naopak, kdybychom neměli pojem množiny, nemohli bychom vůbec o aktuálním nekonečnu uvažovat, poněvadž bychom neměli aparát, jak jej uchopit. Prvním, kdo se vůbec aktuálním nekonečnem zabýval, a navíc zavedl pojem množiny, byl český matematik Bernard Bolzano. Ten se v polovině minulého století soustředil na způsob porovnávání „velikosti“ nekonečných množin a tím připravil půdu Georgu Cantorovi, který o generaci později položil základy teorie množin.

Jak vůbec můžeme porovnávat nekonečné množiny z hlediska jejich „velikosti“? Princip je velmi jednoduchý a snadno nahlédnutelný. Pro dvě konečné množiny platí, že jsou stejně velké (mají tentýž počet prvků), když ke každému prvku a množiny A lze přiřadit právě jeden prvek b množiny B tak, že všechny prvky b z množiny B jsou přiřazeny (hovoříme o prostém zobrazení). Totéž platí i pro nekonečné množiny: pokud ke každému prvku z jedné množiny lze přiřadit právě jeden prvek z druhé množiny tak, že všechny prvky z druhé množiny jsou přiřazeny, hovoříme o stejné mohutnosti obou množin. Mohutnost množiny je tak jakýmsi zobecněním pojmu velikosti pro nekonečné množiny.

Pojem mohutnosti u nekonečných množin vede ke zdánlivému paradoxu. Existují totiž množiny, které mají stejnou mohutnost jako jejich části. Příkladem je množina všech kladných celých čísel (1, 2, 3, 4, ...) a její podmnožina, množina všech druhých mocnin kladných celých čísel (1, 4, 9, 16, ...). Snadno se přesvědčíme, že ke každému číslu z první množiny můžeme přiřadit číslo z druhé množiny a naopak. Prostým zobrazením je zde funkce f(n) = n². Lze ukázat, že tutéž mohutnost má nejen množina všech celých čísel, ale též jakákoli její nekonečná podmnožina, a dokonce i některé množiny, jejichž podmnožinou je tato množina (například množina všech racionálních čísel, viz rámeček 3). Prvky každé z těchto množin lze totiž seřadit do nějaké nekonečné posloupnosti a každému prvku přiřadit (přirozené) číslo odpovídající jeho pořadí v této posloupnosti, posloupnost lze „očíslovat“ (proto těmto množinám říkáme spočetné). To ovšem neplatí pro množinu reálných čísel, jejíž studium vedlo k zásadnímu rozvoji teorie množin i teorie nekonečna.

Kolik je reálných čísel?

Sedmého prosince roku 1873 oznámil Georg Cantor v dopise Dedekinovi, že dokázal nespočetnost množiny všech reálných čísel. Konkrétně ukázal, že reálná čísla nelze seřadit do (nekonečné) posloupnosti, jejímž členům by bylo možné přiřadit čísla přirozená, tedy že množina reálných čísel má jinou mohutnost než množina čísel přirozených (rámeček vlevo). Tento den můžeme považovat za den zrození teorie množin. Tehdy se totiž objevilo něco hlubokého a netriviálního a ukázalo se tak, že teorie množin má obecnější platnost, než se předpokládalo. Teorie množin od té doby zaznamenala ohromný rozvoj, očekávalo se od ní totiž, že by se díky své univerzálnosti mohla stát základem veškeré matematiky, přesněji řečeno že by se na jejím základě dal postavit systém axiomů, z nichž by bylo možné odvodit všechna matematická tvrzení. Toto očekávání nebylo sice bezezbytku naplněno, teorie množin se ale přesto stala nejuniverzálnějším základem všech matematických disciplín.

Georg Cantor zahájil systematický výzkum nekonečných množin, a zvláště kardinálních čísel, což jsou čísla označující různé mohutnosti nekonečných množin. Jak už jsme zmínili, dokázal, že množina reálných čísel R má větší mohutnost než množina čísel přirozených N, což můžeme v jazyce matematiky vyjádřit jako nerovnost

alef₀ < 2^alef₀,

kde alef₀ je mohutnost množiny přirozených čísel a 2^alef₀ je mohutnost množiny reálných čísel (nebudeme zde dokazovat, proč právě 2^alef₀ vyjadřuje mohutnost množiny R; souvisí to se skutečností, že obecně 2ⁿ vyjadřuje počet všech podmnožin množiny o n prvcích). Cantor také dokázal rovnost 2^alef₀ × 2^alef₀ = 2^alef₀, což znamená, že existuje prosté zobrazení přímky na rovinu, jinými slovy že množina bodů na přímce má stejnou mohutnost jako množina všech bodů roviny. My už víme, že například mohutnost množiny přirozených čísel je stejná jako mohutnost jakékoli její nekonečné podmnožiny, takže nám tato rovnost nemusí připadat o nic více paradoxní. Důležité ale je, že tato rovnost vyplývá i z prosté aritmetiky kardinálních čísel. S kardinálními čísly lze počítat stejně jako s „obyčejnými“ čísly, vyjadřujícími velikost konečných množin. Můžeme tedy napsat rovnost 2^alef₀ × 2^alef₀ = 2^{alef₀ + alef₀} a vzhledem k tomu, že alef₀ + alef₀ = alef₀ (viz předchozí kapitolu), výše uvedená rovnost platí.

Obzvláště mnoho úsilí věnoval Cantor důkazu, že neexistuje kardinální číslo k takové, že alef₀ < k < 2^alef₀, jinými slovy že neexistuje množina, jejíž mohutnost by byla větší než mohutnost množiny přirozených čísel, ale menší než mohutnost množiny čísel reálných. Tato hypotéza kontinua zní poměrně logicky, uvědomíme-li si, že i množina všech racionálních čísel (na první pohled skoro stejně „velká“ jako R) má stále jen tutéž mohutnost jako množina přirozených čísel. Cantorovi se nicméně tuto hypotézu nepodařilo dokázat a ani jiným matematikům, včetně Davida Hilberta, nejvlivnějšího matematika přelomu století, se nevedlo lépe. Až v šedesátých letech se podařilo ukázat, že problém je hlubší povahy a souvisí s axiomatickou výstavbou teorie množin.

Axiomy teorie množin

Abychom v matematice vůbec mohli něco řešit, odvozovat a dokazovat, musíme mít nějaký systém základních tvrzení – axiomů – a pravidel pro odvozování a dokazování ostatních tvrzení. Cantor a jeho následovníci brzy rozpoznali, že jazyk teorie množin je tak univerzální, že je v něm možno formulovat veškerou matematickou teorii. Teorii množin lze formulovat pomocí axiomů a všechna matematická tvrzení, která kdy byla dokázána, lze z těchto axiomů odvodit. Tento přístup vedl během prvních dvou desetiletí tohoto století k formulaci axiomatické teorie, která je dnes všeobecně přijatou formalizací matematiky. Zasloužil se o to především Ernst Zermelo a axiomatická teorie množin se dnes nazývá ZF čili Zermelova-Fraenkelova teorie množin. Většina axiomů popisuje evidentní vlastnosti množin nebo způsob, jímž lze množiny sestrojit. Mimochodem, sám pojem množiny je natolik základní, že jej nelze ostře definovat – definice by jej musela vztáhnout k pojmům ještě základnějším, a celá teorie množin by pak byla odvozená z jiné, ještě základnější axiomatické teorie.

Až do 30. let tohoto století se všeobecně věřilo, že je možno formulovat systém axiomů tak, že pomocí něj lze formálně dokázat či vyvrátit jakékoli matematické tvrzení. Tato představa se rozplynula díky revolučním výsledkům Kurta Gödela, zvláště jeho slavné větě o neúplnosti. Ta zhruba říká, že pro jakýkoli konečný systém axiomů existuje tvrzení, které na základě těchto axiomů nelze ani dokázat, ani vyvrátit, jinými slovy že vždy existují tvrzení, která jsou na daném systému axiomů nezávislá. Slavným příkladem nezávislého tvrzení je Euklidův pátý postulát, tedy tvrzení, že k libovolné přímce p lze libovolným bodem P, jenž na ní neleží, vést v rovině určené přímkou p a bodem P pouze jedinou přímku, která přímku p nikdy neprotne. O důkaz tohoto na první pohled triviálního postulátu (tedy jeho odvození z ostatních Euklidových postulátů) se neúspěšně snažila řada matematiků, dokud se nezjistilo, že tento postulát zkrátka dokázat nelze, neboť je na ostatních postulátech nezávislý. Můžeme buď přijmout jeho platnost (a tím se ocitneme v eukleidovské geometrii), anebo přijmout platnost jeho negace, a tím se ocitneme v některém z neeukleidovských geometrických světů (viz Vesmír 72, 1993/1–12). Neexistují přitom kritéria, podle nichž by bylo možné rozhodnout, který z možných geometrických světů je „správný“.

Podobně je tomu i s řadou dalších tvrzení nejen v teorii množin, ale i v topologii, algebře a analýze. V rámci každé disciplíny můžeme vytvořit několik různých axiomatických systémů, jež se budou lišit tím, které axiomy do nich zařadíme. To má závažné důsledky nejen v matematice samotné, ale především ve filozofii matematiky. Z hlediska matematiky totiž nelze posoudit, který systém je „reálnější“ – matematika dává pravidla jak s axiomy zacházet, ale nikoli jaké axiomy je vůbec třeba do systému zavést. To lze rozhodnout jen arbitrárně, na základě nematematické úvahy o tom, co vlastně potřebujeme a k čemu chceme matematiku používat. Snaha je, aby systémy axiomů měly pokud možno nějaký vztah k reálnému světu. Možná právě v tomto momentu lze nalézt řešení prastaré otázky, zda je matematika jen formální konstrukcí naší mysli, anebo součástí reálného světa: sama o sobě je možná jen formální konstrukcí (anebo způsobem konstruování), ale prostřednictvím volby mezi různými axiomatickými systémy se vztahuje k reálnému světu.

Vraťme se však k axiomům teorie množin. V 60. letech, což byl zlatý věk teorie množin (a lecčeho jiného), objevil Paul Cohen metodu, pomocí níž lze sestrojit celou řadu rozličných modelů teorie množin, a touto metodou dokázal nezávislost některých tvrzení, jako je hypotéza kontinua či axiom výběru (rámeček na předchozí straně). Podařilo se mu totiž sestrojit několik různých modelů teorie množin, které byly vnitřně bezesporné, nicméně v některých modelech uvedená tvrzení platila, zatímco v jiných nikoli. Lze ale vůbec studovat nekonečno, když různá tvrzení, jež se jej týkají, platí či neplatí v závislosti na tom, jaký axiomatický systém zvolíme?

Velká kardinální čísla

Matematici se smířili s faktem, že některé otázky, jako je třeba hypotéza kontinua, zkrátka nelze zodpovědět. Nejenže hypotéza kontinua i její negace jsou bezesporné, ale neexistuje ani žádný důvod, proč právě hypotézu kontinua (či její negaci) přijmout. Tím se tato hypotéza liší třeba od zmíněného axiomu výběru, který je sice také nezávislý na ostatních axiomech (axiom výběru ani jeho negace s nimi nejsou ve sporu), nicméně jej lze přijmout na základě jeho evidentní užitečnosti v abstraktní algebře a analýze. Ovšem přestože nemůžeme zodpovědět ani tak jednoduchou věc, jako je otázka, zda existuje množina s menší mohutností než množina R a zároveň větší mohutností než množina N, matematici dosáhli značného pokroku ve výzkumu struktury množiny reálných čísel. Podařilo se jim to díky axiomům postulujícím existenci velkých kardinálů. Velké kardinály označují mohutnost množin, která je mnohem vyšší než mohutnost množiny reálných čísel. Axiomy, které je postulují, jsou samozřejmě nedokazatelné (jsou nezávislé), nicméně jejich postulování může výrazně pomoci i ke studiu množin s mnohem menší mohutností. Přidání každého axiomu, které nevede ke sporu, totiž „posiluje“ celý axiomatický systém, v rámci něhož je potom možno mnohem lépe dokazovat různá tvrzení.

Teorie velkých kardinálních čísel má počátky v práci Stanisława Ulama ze třicátých let. Ulam se zabýval problematikou míry a definoval měřitelné kardinály, u nichž dokázal, že jsou nedosažitelné. To znamená, že podobně jako operacemi na konečných množinách nelze dosáhnout nekonečných množin, operacemi na „menších“ kardinálních číslech nelze dosáhnout měřitelných kardinálů, velké kardinály se tedy týkají nesrovnatelně „větších“ nekonečných množin, než je třeba množina reálných čísel. Později se ukázalo, že mnoho problémů v teorii čísel lze redukovat na problém existence velkých kardinálů.

Velká kardinální čísla lze uspořádat hierarchicky podle velikosti. Vyšší kardinální čísla nejsou dosažitelná z nižších a axiomy, které je postulují, jsou silnější než axiomy postulující nižší kardinální čísla. „Silnější“ znamená, že na základě nich lze dokázat více tvrzení. Z axiomů postulujících vyšší kardinální čísla vyplývá existence nižších kardinálů, ale nikoli naopak. Seřadíme-li nejpoužívanější velké kardinály podle mohutnosti od „nejmenšího“ k „největšímu“, dostaneme následující seznam: inaccessible, Mahlo, weakly compact, indescribable, 0^#, Jónsson, Ramsey, measurable, O, strong, Woodin, superstrong, supercompact, extendible, Vopěnka’s principle, huge, j:V_λ → V_λ. Každý následující pojem v této hierarchii popisuje kardinály se silnějšími vlastnostmi, z jejich existence tedy plyne více matematických tvrzení.

Přestože existenci velkých kardinálních čísel nelze dokázat (existenci nekonečných množin ostatně také ne), jejich studium se mezi matematiky těší značné popularitě. Vrhá totiž světlo i na strukturu množiny reálných čísel, přestože tato množina má ve srovnání s nimi vlastně relativně velmi malou mohutnost. Studium různě mohutných nekonečných množin sice vypadá na první pohled jako bizarní záliba matematiků (jako ostatně skoro vše, čím se kdy matematici zabývali), ale vzpomeňme si na potenciální nekonečno a všechny aplikace s ním spojené. Zatím nevíme, jaké bude mít tato teorie nekonečna důsledky pro budoucí matematiku, jisté je jen to, že se dotýká samotného srdce matematiky, totiž teorie množin, a proto můžeme očekávat ještě mnohá překvapení.