Logické a filosofické hlavolamy nad knihou Raymonda Smullyana

Takovými a podobnými hádankami zahrnuje čtenáře „král logiků“ či „Lewis Carroll“ naší doby Raymond Smullyan, který se letos dožívá 90 let. Americký matematik, logik, pianista, kouzelník, spisovatel a filosof. Kromě šesti odborných monografií z oblasti logiky zabývajících se formálními logickými systémy, rekursí, diagonalizací a auto-referencí vydal šestnáct knih hlavolamů a filosofických esejů, poslední v roce 2007. Své čtenáře vede od jednoduchých hádanek a paradoxů až k složitým logickým problémům.

Logické hádanky a Gödelovy věty

Šest Smullyanových knížek bylo přeloženo do češtiny. První z nich má charakteristický název „Jak se jmenuje tato knížka?“ (Mladá fronta, 1986). Jsou zde staré známé hádanky, nové vymyšlené a další ještě rafinovanější. Ne na všechny hádanky nám však stačí pouhá logika. Někdy je potřeba vzít rozum do hrsti, jak jen to kdo umí.

Lovec je sto metrů na jih od medvěda. Ujde sto metrů na východ, pak se otočí k severu, vystřelí na sever a trefí toho medvěda. Jakou barvu má medvěd? – Medvěd byl bílý, byl to lední medvěd. Musel totiž stát na severním pólu.

Na první pohled by se mohlo zdát, že Smullyanovy knížky spočívají v salonních hádankách, hrátkách se slovy a bizarních paradoxech. Jeho cíl je však ukázat, že role logiky leží dále: vytříbit a zformalizovat myšlení, postavit je na pevný základ a poukázat na jeho vlastní meze. S potěšením se noří do nepřehledných vod labyrintu rozumu, vynáší odtud záhady, rozebírá je, řeší a hledá, co je za nimi.

Kniha „Navěky nerozhodnuto. Úvod do logiky a zábavný průvodce ke Gödelovým objevům“ (Academia, 2003) je náročnější. Přestože opět zatahuje čtenáře do dobrodružství myšlení předkládáním hlavolamů, obsahuje základy výrokové logiky, dotýká se modální logiky a předkládá varianty složitějších logických tvrzení.

První Gödelova věta o neúplnosti říká, že ve všech dostatečně bohatých axiomatických systémech (například v aritmetice, která popisuje chování přirozených čísel) existuje dost kuriózní výrok G, o němž lze dokázat toto: G platí právě tehdy, když G není dokazatelný. Jako by nám vyzývavě říkal: Koukejte, já jsem v tomto systému nedokazatelný! ²⁾ Buď tvrzení G platí a není dokazatelné, a tedy tento axiomatický systém obsahuje platné nedokazatelné tvrzení a v tomto smyslu není úplný. Anebo tvrzení G neplatí, ale je dokazatelné. A to je ještě horší, protože pak je tento axiomatický systém sporný.

Druhá Gödelova věta říká, že takový systém je bezesporný, právě když nemůže dokázat vlastní bezespornost. Smullyanova parafráze je z jeho oblíbeného ostrova poctivců a padouchů. Padouši se vyznačují tím, že vždycky lžou, zatímco poctivci vždy mluví pravdu (k úplnému porozumění by však bylo třeba upřesnit jednotlivé pojmy).

Domorodec z ostrova poctivců a padouchů řekne logikovi: „Nikdy nebudete věřit, že jsem poctivec.“ – Je-li logik bezesporný, pak 1) nesmí věřit v domorodcovu poctivost a 2) nemůže se nikdy dozvědět o své bezespornosti.

A ještě jedna zpopularizovaná verze: Student položí svému profesorovi otázku: „Existuje skutečně Bůh?“ Profesor mu odpoví prapodivným způsobem: „Bůh existuje právě tehdy, pokud ty oprávněně nevěříš v jeho existenci.“ ³⁾

Gödelovy věty jsou odvozeny od paradoxu lháře, který zní: Tato věta je nepravdivá. Taková tvrzení, podobně jako úvodní hádanka, výborně fungují v přirozených jazycích. Dá se s nimi krásně hrát: Tato věta se skládá ze sedmi slov. „Tato věta“ se skládá ze dvou slov. Přečíst Bibli trvá daleko déle než přečíst „Bibli“. ⁴⁾ Jsou založena na referenci a auto-referenci, která je vyjádřena pomocí uvozovek, ukazovacích zájmen, interpunkce. V jednoduchých formálních logických systémech však takové prostředky nemáme. Abychom se mohli zabývat tvrzeními, která mluví sama o sobě, je třeba vše označit a zakódovat, a pak vztáhnout k sobě. A právě to se Gödelovi v jeho slavných větách podařilo.

Cesta do nekonečna

Zatím poslední česky vydaná kniha Raymonda Smullyana nese název „Satan, Cantor a nekonečno“ (Mladá fronta, 2008). Je zarámována příběhem, v němž čaroděj-logik uvádí své dva mladé přátele, princeznu Annabelu a jejího nápadníka Alexandra, do kouzelné magie logiky. Kniha začíná opět u logických hádanek. Hraje si se slovy, s odkazy, s auto-referencí. A pak se vydává na cestu do nekonečna.

Čaroděj vysvětluje přátelům principy, na nichž se podařilo nekonečno zkrotit a spoutat do jasného logického řádu. Jasným způsobem vykresluje základní pojmy teorie množin, která slouží k zachycení nekonečna v matematice a kterou na konci 19. století vytvořil německý matematik Georg Cantor.

Starým problémem nekonečna bylo, zda a jak lze vzájemně srovnávat velikosti nekonečných souborů. Cantor stanovil jako klíčový pojem vzájemně jednoznačného zobrazení. Mezi dvěma množinami existuje vzájemně jednoznačné zobrazení, jestliže jejich prvky můžeme vzájemně spojit do dvojic tak, aby žádný prvek nezůstal sám. Stádečko sedmi ovcí a háj sedmi stromů můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit například tak, že ke každému stromu přivážeme jednu ovečku. ⁵⁾ Pak tyto množiny mají stejnou velikost neboli mohutnost.

Totéž platí i pro nekonečné množiny.

Množinu přirozených čísel, tj. celých čísel od 0 dále: 0, 1, 2, 3, … a množinu sudých čísel: 0, 2, 4, 6, můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit zkrátka tak, že každé číslo spojíme s jeho dvojnásobkem. Tyto množiny mají stejnou mohutnost. Tato nejmenší nekonečná mohutnost se nazývá spočetná a má ji v podstatě každá množina, jejíž prvky můžeme po řadě očíslovat přirozenými čísly.

Spočetná je množina všech sudých čísel, spočetná je však i množina všech celých čísel, a dokonce všech zlomků, a tedy i racionálních čísel. Zpočátku se zdálo, že každá nekonečná množina je spočetná, že vždy lze nalézt nějaký trik jak ji očíslovat přirozenými čísly.

Georg Cantor ale v roce 1874 objevil metodu, nazývá se diagonalizace, jak vytvořit ke každé množině A další množinu, která má větší mohutnost. Je to množina všech jejích podmnožin, označuje se P(A). A tak existuje nekonečně „nekonečen“. Můžeme začít s množinou přirozených čísel N a vytvořit nekonečnou posloupnost nekonečných množin, jejichž mohutnost se stále zvětšuje: N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), …

Hned P(N) má stejnou mohutnost jako reálná čísla, která představují body přímky, kontinua. Mohutnost kontinua je tedy větší než mohutnost přirozených čísel. Chceme-li opravdu porozumět struktuře nekonečných množin, musíme si položit otázku: Existuje mezi dvěma mohutnostmi N a P(N) ještě nějaká další střední mohutnost, větší než N a menší než P(N)? Lze najít nějakou množinu, která je větší než spočetná a menší než kontinuum? Cantor se domníval, že nikoli, a tato domněnka se nazývá hypotéza kontinua. Cantor se ji snažil po řadu let dokázat, ale marně. „Co bych za to dal já,“ povzdechl si čaroděj, „a co by za to dali všichni matematici celého světa, kdyby na tuto otázku znali správnou odpověď!“ ⁶⁾

Postupem času se totiž ukázalo, že tato hypotéza, podobně jako několik dalších důležitých matematických tvrzení, není ani dokazatelná (jak dokázal Paul Cohen v roce 1963), ani vyvratitelná (jak dokázal Kurt Gödel v roce 1939). Je to nezávislé tvrzení. V rámci axiomatického systému teorie množin nelze dokázat ani její platnost, ani její neplatnost.

Za hranice logiky

K existenci nezávislých tvrzení lze přistoupit různým způsobem. První z nich zastávají matematičtí formalisté. Pro ně nejsou tato tvrzení ani pravdivá, ani nepravdivá, záleží na nás, zda je přijmeme, či nepřijmeme. Tato tvrzení nevyjadřují žádnou pravdu o světě, jde jen o jejich bezespornost vůči našemu axiomatickému systému. Žádná správná odpověď neexistuje.

Druhý přístup představují matematičtí realisté nebo platonici. Patřil mezi ně Gödel a hrdě se k nim hlásí i Smullyan, jak je patrné i z čarodějova povzdechu. Věří, že všechna tato tvrzení samozřejmě musí být buď pravdivá, nebo nepravdivá, jenom to ještě nevíme. Hypotéza kontinua buď platí, anebo neplatí. Jenom toho ještě nevíme dost o množinách, abychom na tuto otázku dovedli správně odpovědět. Možná dosud nebyly nalezeny správné přirozeně pravdivé axiomy.

V poslední kapitole Smullyan nechává Cantorova studenta hrát hru se Satanem. Student má za úkol uhodnout množinu, kterou Satan pomocí diagonální metody vymyslel. Student odhalí, co Satan chystá, přelstí ho a vyhrává i nad samotným ďáblem.

Smullyan se připojuje k Platonovi, Aristotelovi, Tomáši Akvinskému a dalším, kteří používají jasné, ostré, logické myšlení. Dotýkají se přitom skutečností hlubších, které nejsou rozumem zcela zachytitelné.

Podobně je tomu i v půvabném Smullyanově vyprávění nazvaném „Je Bůh taoistou?“, které u nás vyšlo v edici Sci-Phi (Scientia et Philosophia, 1994) péčí Jiřího Fialy. Jde o dialog smrtelníka s Bohem o svobodné vůli. Logicky přesně, s dokonalým mistrovstvím jsou zde vysloveny a domyšleny úvahy, s nimiž toto ožehavé téma bývá spojováno.

S: Ó Bože, snažně tě prosím, máš-li špetku slitování s tímto svým trpícím stvořením, odejmi ode mne svobodnou vůli! ⁷⁾

B: Ty odmítáš největší dar, který jsem ti dal? S: Jak můžeš nazvat darem to, co mi bylo vnuceno? Mám svobodnou vůli, ale ne ze své vlastní volby. Nikdy jsem si svobodně nevybral, že chci mít svobodnou vůli. Musím ji mít, ať chci, či nechci.

Slavného pana profesora Smullyana můžete potkat na face-booku a má stránku na myspaceinvite. Je uvedena citátem: Proč bych se měl znepokojovat smrtí? Vždyť to nebude během mého života.