Zjitřená mysl a kouzelný svět

První kniha o matematice, kterou jsem měl v ruce, se jmenovala „V kouzelné zahradě matematiky“. Louskal jsem ji dychtivě, asi jsem byl ještě hodně malý, protože si dodnes pamatuji, jak jsem byl udiven a nadšen, když jsem se dočetl, že existují nejen obyčejná čísla, ale i čísla záporná! Čísla jsou přece počty něčeho, jak může být něčeho méně než nic?

Podobný údiv a nadšení asi prožívají i dospělí matematici, když objeví něco, co nečekají, anebo co čekají, ale po dlouhá desetiletí či staletí se to nikomu nepodařilo dokázat. Krásným zdrojem příkladů mezi čísly jsou prvočísla.

Jmenují se tak proto, že se k nim nedostaneme násobením jiných přirozených čísel. Jinými slovy prvočíselný počet čtverečků se nedá uspořádat do obdélníka, který by nebyl jen řadou. Pro matematiku jsou prvočísla velmi užitečná; například každé číslo lze jediným způsobem přepsat v podobě součinu prvočísel a jejich mocnin, což má význam třeba pro kódování. Užitečnost však není (naštěstí) jediným důvodem, proč jsou prvočísla odpradávna středem pozornosti matematiků.

Ukazuje se totiž, že mezi ostatními přirozenými čísly jsou prvočísla rozptýlena vskutku pozoruhodným způsobem. Zprvu se zdá, že náhodně (posuďte sami: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139…), ²⁾ jakmile je jich však hodně, začne se objevovat mnoho zajímavých a nečekaných vlastností.

Známý je například problém „dvojčat“ čili dvojic prvočísel typu (p, p + 2). Taková dvojčata opravdu existují, všimněte si: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), … Je zajímavé, že se dvojčata vyskytují i mezi obrovskými prvočísly ³⁾ – je to tedy jakýsi vpád řádu do nepravidelnosti. Nevíme, proč tomu tak je, a dodnes se nepodařilo odpovědět na otázku, zda takových dvojic existuje nekonečně mnoho (podobně jako prvočísel) – v teorii čísel je to velmi slavná nerozhodnutá otázka. Takové dvojice můžeme nanejvýš hledat a předhánět se, kdo najde větší, to jest „vzdálenější“. Teorie jako by zde pokulhávala za empirií. Co je to za „svět“, že se v něm dá mluvit o empirii?

Jiná otázka, která po staletí vzdorovala, byla vyřešena teprve nedávno: uvnitř množiny prvočísel existuje pro každé, libovolně velké číslo n aritmetická posloupnost délky n čili prvočíselná posloupnost typu (p, p + d, p + 2d, …, p + nd), kde p je výchozí prvočíslo a d je distance mezi sousedními členy posloupnosti (důkaz má 53 stran!). ⁴⁾ Sama skutečnost, že takové posloupnosti existují, ještě neznamená, že jejich příklady lze snadno najít; nejdelší posloupnost mezi dosud objevenými má délku „jen“ n = 25, přitom tato posloupnost se v řadě přirozených čísel vyskytuje relativně „daleko“ (výchozí prvočíslo má 16 cifer), a navíc je velmi „řídká“ (distance mezi jejími členy je číslo o 14 cifrách). ⁵⁾

Asi se ptáte, proč matematiky vůbec zajímají tak vzdálené objekty a proč by to mělo zajímat i nás, kteří se matematikou neživíme? Proč ne? ptám se. Prostě jsme se jednou rozhodli něco, co jinak patří do našeho přirozeného světa, totiž řadu čísel (počtů počitatelných věcí), prodloužit směrem k větším, větším a větším počtům, ba ještě dál, mimo jakoukoliv představu o možné počitatelnosti, až kamsi k nekonečnu. Nezastavili jsme se před žádnými hranicemi, ani by to nešlo. Vydali jsme se takto do zcela nového, neznámého světa, kde pravdivost lze podpírat už jen abstraktními důkazy – proč by nám pak nemělo vrtat hlavou, ptám se, jak vlastně to v tom rozšířeném světě vypadá?

Je to v matematice častý případ: Poměrně jednoduchá obecná definice začaruje do definovaných objektů nečekané vlastnosti. Někdy se dají snadno formulovat, ale těžko dokázat. A i když se podaří dokázat, že platí (například že existují ty libovolně dlouhé pravidelné posloupnosti prvočísel), neznamená to ještě, že nám bude jasné, proč (ve velmi intuitivním smyslu) platí. Z důkazu o 53 stranách to nemusí být zřejmé, je tu právě jen ten důkaz. A tak kouzlo vlastně zrušeno není. Připomíná mi to kouzla eskamotéra: vidíme, že v klobouku byl králík, nechápeme jen, jak se tam dostal. Nejraději bychom nevěřili, že tam byl, ale nic nám nezbývá.

Mluvil jsem o číslech a prvočíslech, ale podobně je tomu i v ostatních vědách. Žijeme v přirozeném světě každodenní zkušenosti, který si ta či ona věda prodloužila do „svého“ světa, podobně jako si matematická teorie čísel prodloužila naše srozumitelná čísla – počty věcí – daleko za horizont představivosti, dokonce až kamsi do nekonečna. Stejně jako u přirozených čísel nevíme a nikdy se nedovíme, kdy byl překročen onen bludný kořen mezi světem naším a kouzelným světem vědy.