ANTONÍN SOCHOR: Klasická matematická logika

První, nad čím se zarazil každý, kdo tuto knihu uviděl na mém stole, byl její velký formát. Už proto to není kniha do tramvaje, ba ani do křesla. Je to kniha k soustavnému čtení a vážnému studiu. Tím ale nechci odradit ty, kteří chtějí získat nebo si oživit jen základní povědomost o předmětu a cílech matematické logiky. Jednotlivé kapitoly i odstavce jsou totiž vybaveny srozumitelným intuitivním úvodem a i vlastní text typu „definice–věta–demonstrace“ je provázen čtivým komentářem.

V závěru autor cituje Blaise Pascala: „Člověk je zjevně stvořený k tomu, aby myslel. V tom spočívá všechna jeho důstojnost a celá jeho přednost; a veškerou jeho povinností je, aby myslel správně.“ Právě otázka po správnosti myšlení je tradičním tématem logiky jako vědy (viz můj úvodník v tomto čísle). Matematická logika si formalizuje naše intuitivní pojmy – jako „tvrzení“, „vyvození“, „správnost“, „teorie“ – do té míry, že o nich dovede mluvit s přesností hodnou matematiky. Slovo klasická v názvu knihy pak ovšem není užito v protikladu k „moderní“ (jak je to zvykem v jiných vědách), nýbrž k odlišení od takzvaných „neklasických“ logik (vícehodnotové, fuzzy, modální, intuicionistické aj.).

V dnešní matematické logice hraje obrovský význam pojem sporu, kontradikce. Ve sporu se ocitáme, když něco tvrdíme a současně to popíráme. Je­li to vidět na první pohled, pak je vše v pořádku, buď se sporu vyhneme, anebo jsme rádi, pokud jsme nalezením sporu chtěli dokázat něco zcela jiného. Problém je, že spor nemusí být zřejmý. „Nemůže nastat situace, že samo usuzování nás dovede do neřešitelných rozporů?“ – to je otázka, kterou Sochor uvádí jako jedno z témat matematické logiky.

První dvě kapitoly – o výrokovém a predikátovém počtu – jsou v tomto smyslu nejklasičtější a uvádějí do nezbytného formálního aparátu logiky. Třetí kapitola se zabývá převodem dokazatelnosti některých teorií predikátového počtu na dokazatelnost prostředky výrokového počtu (Hilbert-Ackermannova věta). Následující, čtvrtou kapitolu považuji za nejdůležitější: nalezneme v ní mimo jiné i důkaz Gödelovy věty o neúplnosti teorií obsahujících aritmetiku; v dodatku je pak úvod do Turingových strojů.

Matematické logice se říká matematická nejen pro exaktnost její metody, ale i proto, že je metamatematická: její objekty studia jsou formální či axiomatizované teorie (například formální aritmetika), které se zpravidla týkají matematických struktur (například přirozených čísel). Bohatě se přitom dá využít toho, že pro danou teorii může existovat mnoho různých, často podivných (nestandardních) a skoro vždy nekonečných struktur. Říká se jim modely oné teorie. A tu se dá mluvit i o (formální) pravdivosti: určité tvrzení je pravdivé (v rámci naší teorie), je-li splněno ve všech jejích modelech. Teorií modelů se zabývá pátá kapitola knihy. Tématem poslední kapitoly je pak problém rozhodnutelnosti teorií (lze-li o každém tvrzení dané teorie rozhodnout, zda se dá či nedá v oné teorii dokázat) a problém nedokazatelnosti.

Esence slavného triku, který objevil Kurt Gödel v roce 1931 (bylo mu tehdy 25 let) pro svůj důkaz nerozhodnutelnosti (neúplnosti) Peanovy aritmetiky, spočívá v konstrukci pravdivého, leč kuriózního tvrzení, které říká: „Nedám se dokázat.“ (Takové autoreferenční tvrzení musí mít pravdu: kdyby ji nemělo, dalo by se dokázat, ale pak by ji muselo mít jako vše dokazatelné – tedy spor.) Zdalipak existuje nějaké normální tvrzení o číslech, které se nedá dokázat (v Peanově aritmetice)? V dodatku Sochorovy knihy nalezneme (poprvé v českém jazyce) důkaz nedokazatelnosti Goodsteinovy věty, dle níž jistá přesně definovaná a naoko rychle rostoucí posloupnost čísel nakonec skončí v nule.

Poznamenal jsem, že je to kniha k vážnému studiu. Nenašel jsem zmínku, zda je míněna přímo k výuce na univerzitě, nicméně je zde něco, co je v českých monografiích bohužel velmi vzácné: na konci každé kapitoly je látka prohloubena a rozšířena o pět až deset stran náročných cvičení. Kdybych byl mladší, pustil bych se do toho.