Aktuální číslo:

2022/5

Téma měsíce:

3D tisk

ANTONÍN SOCHOR: Klasická matematická logika

Universita Karlova v Praze - Nakladatelství Karolinum, 2001, 404 stran, ISBN 80-246-0218-0
 |  1. 3. 2002
 |  Vesmír 81, 171, 2002/3

První, nad čím se zarazil každý, kdo tuto knihu uviděl na mém stole, byl její velký formát. Už proto to není kniha do tramvaje, ba ani do křesla. Je to kniha k soustavnému čtení a vážnému studiu. Tím ale nechci odradit ty, kteří chtějí získat nebo si oživit jen základní povědomost o předmětu a cílech matematické logiky. Jednotlivé kapitoly i odstavce jsou totiž vybaveny srozumitelným intuitivním úvodem a i vlastní text typu „definice–věta–demonstrace“ je provázen čtivým komentářem.

V závěru autor cituje Blaise Pascala: „Člověk je zjevně stvořený k tomu, aby myslel. V tom spočívá všechna jeho důstojnost a celá jeho přednost; a veškerou jeho povinností je, aby myslel správně.“ Právě otázka po správnosti myšlení je tradičním tématem logiky jako vědy (viz můj úvodník v tomto čísle). Matematická logika si formalizuje naše intuitivní pojmy – jako „tvrzení“, „vyvození“, „správnost“, „teorie“ – do té míry, že o nich dovede mluvit s přesností hodnou matematiky. Slovo klasická v názvu knihy pak ovšem není užito v protikladu k „moderní“ (jak je to zvykem v jiných vědách), nýbrž k odlišení od takzvaných „neklasických“ logik (vícehodnotové, fuzzy, modální, intuicionistické aj.).

V dnešní matematické logice hraje obrovský význam pojem sporu, kontradikce. Ve sporu se ocitáme, když něco tvrdíme a současně to popíráme. Je­li to vidět na první pohled, pak je vše v pořádku, buď se sporu vyhneme, anebo jsme rádi, pokud jsme nalezením sporu chtěli dokázat něco zcela jiného. Problém je, že spor nemusí být zřejmý. „Nemůže nastat situace, že samo usuzování nás dovede do neřešitelných rozporů?“ – to je otázka, kterou Sochor uvádí jako jedno z témat matematické logiky.

První dvě kapitoly – o výrokovém a predikátovém počtu – jsou v tomto smyslu nejklasičtější a uvádějí do nezbytného formálního aparátu logiky. Třetí kapitola se zabývá převodem dokazatelnosti některých teorií predikátového počtu na dokazatelnost prostředky výrokového počtu (Hilbert-Ackermannova věta). Následující, čtvrtou kapitolu považuji za nejdůležitější: nalezneme v ní mimo jiné i důkaz Gödelovy věty o neúplnosti teorií obsahujících aritmetiku; v dodatku je pak úvod do Turingových strojů.

Matematické logice se říká matematická nejen pro exaktnost její metody, ale i proto, že je metamatematická: její objekty studia jsou formální či axiomatizované teorie (například formální aritmetika), které se zpravidla týkají matematických struktur (například přirozených čísel). Bohatě se přitom dá využít toho, že pro danou teorii může existovat mnoho různých, často podivných (nestandardních) a skoro vždy nekonečných struktur. Říká se jim modely oné teorie. A tu se dá mluvit i o (formální) pravdivosti: určité tvrzení je pravdivé (v rámci naší teorie), je-li splněno ve všech jejích modelech. Teorií modelů se zabývá pátá kapitola knihy. Tématem poslední kapitoly je pak problém rozhodnutelnosti teorií (lze-li o každém tvrzení dané teorie rozhodnout, zda se dá či nedá v oné teorii dokázat) a problém nedokazatelnosti.

Esence slavného triku, který objevil Kurt Gödel v roce 1931 (bylo mu tehdy 25 let) pro svůj důkaz nerozhodnutelnosti (neúplnosti) Peanovy aritmetiky, spočívá v konstrukci pravdivého, leč kuriózního tvrzení, které říká: „Nedám se dokázat.“ (Takové autoreferenční tvrzení musí mít pravdu: kdyby ji nemělo, dalo by se dokázat, ale pak by ji muselo mít jako vše dokazatelné – tedy spor.) Zdalipak existuje nějaké normální tvrzení o číslech, které se nedá dokázat (v Peanově aritmetice)? V dodatku Sochorovy knihy nalezneme (poprvé v českém jazyce) důkaz nedokazatelnosti Goodsteinovy věty, dle níž jistá přesně definovaná a naoko rychle rostoucí posloupnost čísel nakonec skončí v nule.

Poznamenal jsem, že je to kniha k vážnému studiu. Nenašel jsem zmínku, zda je míněna přímo k výuce na univerzitě, nicméně je zde něco, co je v českých monografiích bohužel velmi vzácné: na konci každé kapitoly je látka prohloubena a rozšířena o pět až deset stran náročných cvičení. Kdybych byl mladší, pustil bych se do toho.

Ke stažení

OBORY A KLÍČOVÁ SLOVA: Logika
RUBRIKA: Nad knihou

O autorovi

Ivan M. Havel

Doc. Ing. Ivan M. Havel, CSc., Ph.D., (11. 10. 1938 – 25. 4. 2021) po vyloučení z internátní Koleje krále Jiřího pro „buržoazní původ“ dokončil základní školu v Praze a poté se vyučil jemným mechanikem. Později však večerně vystudoval střední školu a večerně také automatizaci a počítače na Elektrotechnické fakultě ČVUT (1961–1966). V letech 1969 až 1971 postgraduálně studoval na Kalifornské univerzitě v Berkeley, kde získal doktorát v matematické informatice. Po návratu se v Ústavu teorie informace a automatizace ČSAV zabýval teorií automatů. Z politických důvodů musel ústav v roce 1979 opustit a až do roku 1989 se živil jako programátor v družstvu invalidů META. Nespokojil se však s prací pro obživu. Organizoval bytové semináře, věnoval se samizdatové literatuře. Po sametové revoluci od listopadu 1989 do června 1990 působil v Koordinačním centru Občanského fóra. V polovině roku 1990 se stal spoluzakladatelem a prvním ředitelem transdisciplinárního pracoviště Centra pro teoretická studia UK a AV ČR. Nadále se zabýval kybernetikou, umělou inteligencí a kognitivní vědou, v souvislosti s transdisciplinaritou jej zajímala komplexita, emergentní jevy, vznik vědomí. V roce 1992 se habilitoval v oboru umělá inteligence. Do roku 2018 přednášel na MFF UK. Od srpna 1990 do konce roku 2019 byl šéfredaktorem časopisu Vesmír. Stejně jako v CTS i zde svou zvídavostí i šíří zájmů propojoval vědce, filosofy, umělce. Editoriály, které psal do Vesmíru, daly vznik knihám Otevřené oči a zvednuté obočí, Zvednuté oči a zjitřená myslZjitřená mysl a kouzelný svět. (Soupis významnějších publikací)
Havel Ivan M.

Doporučujeme

Diskuse: Green Deal v době (post)válečné

Diskuse: Green Deal v době (post)válečné

 |  4. 5. 2022
Všechny zájemce o širší souvislosti mezi vědou a světovým děním zveme na veřejnou diskusi o transformaci energetiky pod tlakem klimatické změny...
Realita dohnala fikci

Realita dohnala fikci

Luděk Míka  |  2. 5. 2022
Chcete-li někomu dát originální dárek, nechte se sníst. Předchází tomu naskenování sebe samého do paměti počítače, vymodelování ve speciálním...
Krokodýlové v Čechách 2.0

Krokodýlové v Čechách 2.0

Milan Chroust  |  2. 5. 2022
„Zaslechne-li někdo známý popěvek ‚Na řece Vltavě plave krokodil‘, pomyslí si, že to nesmysl.“ Těmito slovy před 119 lety uvedl paleontolog...

Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru

Tištěná i elektronická
verze časopisu
Digitální archiv
od roku 1994
Speciální nabídka
pro školy a studenty

 

Objednat předplatné