Lze vysvětlit paradox dvojčat v rámci speciální teorie relativity?

• Čemu se říká paradox dvojčat? Jedním ze základních kamenů speciální teorie relativity je relativní zpomalení (dilatace) času. Hodiny, které se pohybují vzhledem k inerciálnímu systému (v němž platí princip setrvačnosti), jdou pomaleji než hodiny, které jsou v daném systému v klidu. Toto zpomalení chodu času závisí pouze na rychlosti hodin, ne na jejich zrychlení vůči inerciální soustavě. Tato skutečnost je velmi spolehlivě experimentálně ověřena. Efekt závisí na druhé mocnině poměru rychlosti hodin k rychlosti světla, a proto je za běžných okolností zanedbatelně malý.

  Jestliže netrpělivě přecházíme po chodbě, když čekáme na úřadě, počínáme si sice z hlediska teorie relativity správně, protože náš čas běží pomaleji než čas sedícího úředníka, rozdíl v uběhnuvším čase je však příliš malý, než aby jej nejlepší hodinky dokázaly změřit. I kdybychom přecházeli rychlostí rovnou polovině rychlosti světla, ušetřili bychom necelých dvacet procent času. Velikost efektu však dramaticky narůstá pro rychlosti blízké rychlosti světla, jimiž se pohybují částice v urychlovačích či v kosmickém záření.

  Tento efekt se popularizoval příkladem, jehož autorem je snad sám Albert Einstein: Ze Země odletí raketa, v níž cestuje jedno z dvojčat, zatímco druhé zůstane na Zemi. (Dvojčata představují dvoje identicky sestrojené hodiny.) Raketa se urychlí na rychlost blízkou rychlosti světla, někde ve vesmíru se obrátí a vrátí se na Zemi. Tam svého blížence očekává stařec, astronaut však zestárl jen málo.

  Zní to podivně, zatím však nejde o žádný paradox. Ten se objeví v okamžiku, kdy astronaut učiní chybnou úvahu: Podle teorie relativity je veškerý pohyb relativní. Během své cesty jsem pozoroval, že se Země ode mne vzdaluje určitou rychlostí, pak se otočila a začala se ke mně vracet. Hodiny umístěné na Zemi jdou tedy pomaleji než hodiny, které si vezu s sebou, a můj sourozenec tedy bude po mém návratu mladší než já. Po setkání bratrů však už nelze argumentovat relativitou pohybu – jejich vzájemné stáří nakonec porovnáme v jediném vztažném systému.

• Co tvrdí speciální princip relativity? Podle jejího základního postulátu jsou všechny inerciální systémy rovnoprávné. Jsme-li v uzavřené místnosti bez oken, nemůžeme rozhodnout, zda je místnost vzhledem k určitému inerciálnímu systému v klidu, nebo zda se vzhledem k němu rovnoměrně přímočaře pohybuje. Kde je tedy chyba v kosmonautově úvaze? Postulovali jsme, že hodiny jdou pomaleji, jestliže se pohybují vzhledem k inerciálnímu systému, ale systém spojený s raketou inerciální není! Jinak by se totiž raketa neurychlila a nemohla by se vrátit. Astronautova úvaha, která vedla k paradoxu, byla neoprávněná.

  O paradoxu se z hlediska neinerciálního systému diskutuje v učebnicích obecné relativity, protože potřebný matematický aparát je s aparátem obecné teorie relativity téměř shodný. Jde však o pouhý přepis vztahů speciální relativity do neinerciálních systémů, tedy o teorii plochého prostoročasu v obecných souřadnicích. A ta je obdobou výkladu newtonovské mechaniky v neinerciálních systémech, kde však je matematická obtížnost tohoto rozšíření malá. Obecnou teorií relativity se zpravidla rozumí až teorie zakřiveného prostoročasu, tedy teorie skutečného gravitačního pole buzeného rozložením hmot, ale to je do značné míry věc terminologická.

• Za zdánlivost může potenciál zdánlivých sil. Síly, které nám působí nepříjemnosti v prudce brzdícím vozidle, jsou síly zdánlivé. Kdo si někdy udělal bouli nárazem hlavy na čelní sklo, nebude nadšen vysvětlením, že za to může zdánlivá síla. Bouli mu udělala pravá síla, kterou působilo sklo na jeho hlavu, k nárazu však došlo proto, že zatímco automobil brzdil, nepřipoutaný pasažér se snažil pokračovat setrvačností v rovnoměrně přímočarém pohybu a z hlediska vnějších pozorovatelů na něj síla začala působit až v okamžiku nárazu. Proto se síla, která ho vzhledem k automobilu urychluje, označuje jako „zdánlivá“.

  Právě díky „zdánlivým“ silám má astronaut v raketě jiné zážitky než sourozenec na Zemi. Za své pomalejší stárnutí zaplatil tím, že při urychlování rakety byl tlačen do opěradla svého sedadla a při brzdění pozoroval přetížení v opačném směru. Pokud se tedy spokojí jen s kvalitativním vysvětlením, sourozenec na Zemi stárl rychleji proto, že při urychlovací a brzdicí fázi letu volně padal v poli zdánlivých sil, nerozeznatelných od účinků stejnorodého gravitačního pole. Matematický popis situace pak ukáže, že hodiny na Zemi jdou z hlediska systému spojeného s raketou skutečně rychleji.

  Proti tomuto vysvětlení můžeme protestovat. Představme si, že máme trojčata, obě zároveň nasedla do raket, třetí zůstalo na Zemi. Dvě rakety se celý rok urychlovaly na rychlost blízkou rychlosti světla. Po roce začalo první dvojče brzdit, raketu otočilo a vrátilo se na Zemi. Druhé několik let pokračovalo v rovnoměrně přímočarém pohybu, a pak se teprve vrátilo na Zemi stejným způsobem jako jeho sourozenec. Uvažujeme-li o situaci z hlediska inerciálních pozorovatelů na Zemi, dojdeme k závěru, že po opětném setkání bude nejstarší ten sourozenec, který zůstal doma, a nejmladší ten, který letěl nejdéle. Předtím jsme ale řekli, že rychlejší chod hodin na Zemi lze z hlediska raket vyložit přítomností pole zdánlivých inerciálních sil v systému raket. Jenže oba astronauti provedli urychlovací a brzdicí manévr naprosto stejným způsobem, jejich zážitky i trvání těchto období jsou naprosto stejné, stejně dlouho pociťovali účinky zdánlivého gravitačního pole. Jak tedy vysvětlit rozdíl v přírůstku času na pozemských hodinách z hlediska systémů spojených s raketami?

  Odpověď je, že chod hodin v jejich systémech nezávisí na intenzitě zdánlivého gravitačního pole, nýbrž na jeho potenciálu. Gravitační síla, která na nás působí v pátém a desátém patře budovy, je stejná. K vystoupání do desátého patra však potřebujeme vykonat větší práci než vyjít do pátého, a naopak pádem z desátého patra získáme větší pohybovou energii než pádem z pátého. V druhém patře máme větší potenciální energii, která je součinem naší hmotnosti a potenciálu gravitačního pole. A chod hodin v neinerciální soustavě závisí na potenciálu, ne na intenzitě zdánlivé gravitační síly. Když druhý z astronautů provádí otáčecí manévr, je Země dále, než když se otáčel jeho sourozenec, a tedy je na vyšším potenciálu. Bez matematického zápisu těžko vyložím, jak to přesně funguje, ale chci jen poukázat na to, že situace v systémech spojených s oběma raketami není identická ani během otáčecího manévru, a proto popis chodu hodin na Zemi vypadá v každém z uvedených případů jinak.

• Paradox dvojčat jako prostředek pro kosmické testování. Efekty dilatace času i efekty vlivu zdánlivého i skutečného gravitačního pole a jejich nerozlišitelnost jsou dnes velice spolehlivě experimentálně ověřeny. V sedmdesátých letech Hafele a Keating vzali tři identické standardy času, jeden nechali v laboratoři, druhé dva poslali na leteckou cestu kolem světa (jeden západním a jeden východním směrem). Protože se Země otáčí směrem k východu a rychlost obou letů byla přibližně stejná, sčítala se s rychlostí rotace Země při letu na východ a odečítala se od ní při letu na západ. Výsledný efekt byl sice neobyčejně malý, ale měřitelný, a dopadl podle teorie. Hodiny letící na východ ukazovaly po srovnání s hodinami v laboratoři méně, hodiny letící na západ o něco více. (Použitelnost dilatace času pro kosmické putování bývá zpochybňována tím, že stárnutí člověka je něco jiného než běh ideálních hodin.)

  Předpokládejme ale, že se raketa pohybuje s konstantním zrychlením, takže po celou dobu letu astronaut cítí stejnou tíži, jako když sedí na Zemi. Pokud platí, že účinek zdánlivé gravitace v raketě je stejný jako účinek skutečného gravitačního pole, pak se zdá přijatelný předpoklad, že astronaut bude stárnout stejně rychle vzhledem k hodinám, které si veze s sebou, jako jeho „pozemský“ druh vůči identickým hodinám na Zemi. Tento princip ekvivalence „skutečné“ a „zdánlivé“ gravitace je však úhelným kamenem obecné teorie relativity, takže obecná relativita nám sem zadními vrátky přecejen vstupuje.

  Z tohoto hlediska je „pomalejší stárnutí astronautů“ legitimní rekvizitou pro sci-fi. Pokud by cesta astronauta, který by celou dobu pociťoval pozemskou tíži, trvala z jeho hlediska rok, rozdíl v přírůstku času na Zemi by byl řádově měsíc. Pokud by ale trvala deset let, na Zemi by zatím uběhly desítky tisíc let a astronaut by mohl doletět až k hranicím Galaxie. Možnost sestrojit raketu, která by se takto pohybovala, je však mizivá. Jestliže se rychlost rakety blíží rychlosti světla, roste její energie do obrovských hodnot – v mezním případě rychlosti světla by vzrostla k nekonečnu. Je tedy vcelku oprávněné, že od té doby, co Isaac Asimov vymyslel cestování hyperprostorem, upadla tato metoda cestování po Galaxii u autorů sci-fi v nemilost. Cesty hyperprostorem sice v současné fyzice nemají žádné oprávnění, alespoň však netrpí tím nedostatkem, že se kosmický agent vyslaný na druhý konec Galaxie vrátí, až když se na Zemi vystřídá spousta generací.

Lze tedy v rámci speciální teorie relativity vysvětlit paradox dvojčat? Odpověď zní: ano, s malým i když... (viz výše).¹⁾