Desáté Fermatovo číslo rozloženo na prvočinitele!

Slavný francouzský matematik P. Fermat se domníval, že všechna čísla tvaru 2ⁿ + 1, kde n = 2^m, m = 0,1,2,..., jsou prvočísla. Prvních pět členů této posloupnosti, tj. F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65 537, prvočísla skutečně jsou. V 18. století ale L. Euler ukázal, že F₅ je dělitelné 641, čímž Fermatovu domněnku vyvrátil. Čísla F_m se po Fermatovi nazývají Fermatova čísla, a pokud je některé z nich prvočíslo, nazývá se Fermatovo prvočíslo.

Až do r. 1796 byla Fermatova čísla spíše matematickou kuriozitou. Pak ale Carl F. Gauss objevil až neuvěřitelnou souvislost mezi geometrií a teorií čísel. Dokázal totiž, že pravidelný mnohoúhelník s lichým počtem vrcholů je eukleidovsky konstruovatelný (tj. pomocí kružítka a pravítka) tehdy a jen tehdy, když je počet jeho vrcholů roven některému Fermatovu prvočíslu nebo součinu několika vzájemně různých Fermatových prvočísel. Od té doby je Fermatovým číslům věnována značná pozornost. I když se matematici úporně snaží pochopit jejich strukturu, dodnes nevíme, kolik vlastně existuje Fermatových čísel složených a kolik prvočíselných.

Zatím je dokázáno, že čísla F_m jsou složená pro m=5, 6,..., 23. Úplné rozklady na prvočinitele známe pro F₅,F₆,F₇,F₈,F₉ a F₁₁. Nedávno (viz Notices of the American Mathematical Society, Dec. 1996) se R. P. Brentovi podařil úplný rozklad desátého Fermatova čísla na čtyři prvočinitele:

F₁₀ = 45592577 × 6487031809 × p₄₀ × p₂₅₂,

kde

p₄₀=4659775785220018543264560743076778192897 a p₂₅₂ je prvočíslo o 252 cifrách, které lze snadno dopočítat dělením. První dva prvočinitele objevili Selfridge (1953) a Brillhart (1962). K rozkladu p₄₀ x p₂₅₂ Brent použil velice efektivní Lenstrův algoritmus založený na speciálních vlastnostech jisté grupy bodů na eliptických křivkách.

Přestože je dnes známo už téměř dvě stě prvočinitelů různých Fermatových čísel, zatím se nedaří mezi nimi vysledovat takovou zákonitost, která by vedla k definitivní odpovědi na otázku, zda F₄ je největší Fermatovo prvočíslo. A tak dosud stále nevíme, je-li současný seznam eukleidovsky konstruovatelných pravidelných mnohoúhelníků již úplný.