Aktuální číslo:

2018/7

Téma měsíce:

Co kdyby…

Desáté Fermatovo číslo rozloženo na prvočinitele!

 |  5. 2. 1997
 |  Vesmír 76, 117, 1997/2

Slavný francouzský matematik P. Fermat se domníval, že všechna čísla tvaru 2+ 1, kde n = 2m, m = 0,1,2,..., jsou prvočísla. Prvních pět členů této posloupnosti, tj. F= 3, F= 5, F= 17, F= 257, F= 65 537, prvočísla skutečně jsou. V 18. století ale L. Euler ukázal, že F5 je dělitelné 641, čímž Fermatovu domněnku vyvrátil. Čísla Fm se po Fermatovi nazývají Fermatova čísla, a pokud je některé z nich prvočíslo, nazývá se Fermatovo prvočíslo.

Až do r. 1796 byla Fermatova čísla spíše matematickou kuriozitou. Pak ale Carl F. Gauss objevil až neuvěřitelnou souvislost mezi geometrií a teorií čísel. Dokázal totiž, že pravidelný mnohoúhelník s lichým počtem vrcholů je eukleidovsky konstruovatelný (tj. pomocí kružítka a pravítka) tehdy a jen tehdy, když je počet jeho vrcholů roven některému Fermatovu prvočíslu nebo součinu několika vzájemně různých Fermatových prvočísel. Od té doby je Fermatovým číslům věnována značná pozornost. I když se matematici úporně snaží pochopit jejich strukturu, dodnes nevíme, kolik vlastně existuje Fermatových čísel složených a kolik prvočíselných.

Zatím je dokázáno, že čísla Fm jsou složená pro m=5, 6,..., 23. Úplné rozklady na prvočinitele známe pro F5,F6,F7,F8,F9 a F11. Nedávno (viz Notices of the American Mathematical Society, Dec. 1996) se R. P. Brentovi podařil úplný rozklad desátého Fermatova čísla na čtyři prvočinitele:

F10 = 45592577 × 6487031809 × p40 × p252,

kde

p40=4659775785220018543264560743076778192897 a p252 je prvočíslo o 252 cifrách, které lze snadno dopočítat dělením. První dva prvočinitele objevili Selfridge (1953) a Brillhart (1962). K rozkladu p40 x p252 Brent použil velice efektivní Lenstrův algoritmus založený na speciálních vlastnostech jisté grupy bodů na eliptických křivkách.

Přestože je dnes známo už téměř dvě stě prvočinitelů různých Fermatových čísel, zatím se nedaří mezi nimi vysledovat takovou zákonitost, která by vedla k definitivní odpovědi na otázku, zda F4 je největší Fermatovo prvočíslo. A tak dosud stále nevíme, je-li současný seznam eukleidovsky konstruovatelných pravidelných mnohoúhelníků již úplný.

OBORY A KLÍČOVÁ SLOVA: Matematika
RUBRIKA: Aktuality

O autorovi

Michal Křížek

Prof. RNDr. Michal Křížek, DrSc., (*1952) vystudoval obor numerická matematika na Matematicko-fyzikální fakultě UK. Pracuje v Matematickém ústavu AV ČR.

Doporučujeme

Peníze z chemie, peníze pro chemii

Peníze z chemie, peníze pro chemii

Ondřej Vrtiška  |  16. 7. 2018
Manželé Hana a Dalimil Dvořákovi se seznámili v laboratoři. A nebylo to naposledy, co zaujetí pro organickou chemii ovlivnilo jejich životy i mimo...
Co když se probudí sopky pod antarktickým ledem?

Co když se probudí sopky pod antarktickým ledem?

John Smellie  |  16. 7. 2018
Antarktida je rozlehlá pustina pokrytá největším ledovým příkrovem světa, který obsahuje asi 90 % globálních zásob sladké vody. Funguje jako obří...
Ztracený potápník

Ztracený potápník uzamčeno

Josef Lhotský  |  16. 7. 2018
„Konference jsou od toho, abys tam navazoval styky a chlastal,“ řekl mi kdysi… — Povídka proplétající osudy tří velkých postav biologie.

Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru

Tištěná i elektronická
verze časopisu
Digitální archiv
od roku 1994
Speciální nabídka
pro školy a studenty

 

Objednat předplatné