Aktuální číslo:

2020/7

Téma měsíce:

Klimatické změny

Desáté Fermatovo číslo rozloženo na prvočinitele!

 |  5. 2. 1997
 |  Vesmír 76, 117, 1997/2

Slavný francouzský matematik P. Fermat se domníval, že všechna čísla tvaru 2+ 1, kde n = 2m, m = 0,1,2,..., jsou prvočísla. Prvních pět členů této posloupnosti, tj. F= 3, F= 5, F= 17, F= 257, F= 65 537, prvočísla skutečně jsou. V 18. století ale L. Euler ukázal, že F5 je dělitelné 641, čímž Fermatovu domněnku vyvrátil. Čísla Fm se po Fermatovi nazývají Fermatova čísla, a pokud je některé z nich prvočíslo, nazývá se Fermatovo prvočíslo.

Až do r. 1796 byla Fermatova čísla spíše matematickou kuriozitou. Pak ale Carl F. Gauss objevil až neuvěřitelnou souvislost mezi geometrií a teorií čísel. Dokázal totiž, že pravidelný mnohoúhelník s lichým počtem vrcholů je eukleidovsky konstruovatelný (tj. pomocí kružítka a pravítka) tehdy a jen tehdy, když je počet jeho vrcholů roven některému Fermatovu prvočíslu nebo součinu několika vzájemně různých Fermatových prvočísel. Od té doby je Fermatovým číslům věnována značná pozornost. I když se matematici úporně snaží pochopit jejich strukturu, dodnes nevíme, kolik vlastně existuje Fermatových čísel složených a kolik prvočíselných.

Zatím je dokázáno, že čísla Fm jsou složená pro m=5, 6,..., 23. Úplné rozklady na prvočinitele známe pro F5,F6,F7,F8,F9 a F11. Nedávno (viz Notices of the American Mathematical Society, Dec. 1996) se R. P. Brentovi podařil úplný rozklad desátého Fermatova čísla na čtyři prvočinitele:

F10 = 45592577 × 6487031809 × p40 × p252,

kde

p40=4659775785220018543264560743076778192897 a p252 je prvočíslo o 252 cifrách, které lze snadno dopočítat dělením. První dva prvočinitele objevili Selfridge (1953) a Brillhart (1962). K rozkladu p40 x p252 Brent použil velice efektivní Lenstrův algoritmus založený na speciálních vlastnostech jisté grupy bodů na eliptických křivkách.

Přestože je dnes známo už téměř dvě stě prvočinitelů různých Fermatových čísel, zatím se nedaří mezi nimi vysledovat takovou zákonitost, která by vedla k definitivní odpovědi na otázku, zda F4 je největší Fermatovo prvočíslo. A tak dosud stále nevíme, je-li současný seznam eukleidovsky konstruovatelných pravidelných mnohoúhelníků již úplný.

OBORY A KLÍČOVÁ SLOVA: Matematika
RUBRIKA: Aktuality

O autorovi

Michal Křížek

Prof. RNDr. Michal Křížek, DrSc., (*1952) vystudoval obor numerická matematika na Matematicko-fyzikální fakultě UK. Pracuje v Matematickém ústavu AV ČR.

Doporučujeme

O mariánském sloupu, který se nevrátil na Staroměstské náměstí

O mariánském sloupu, který se nevrátil na Staroměstské náměstí

Eliška Fulínová  |  18. 7. 2020
Instalace neúplné kopie mariánského sloupu na pražské Staroměstské náměstí přišla ironií osudu ve zjitřené době, kdy se na různých místech po...
Na staré zkušenosti nezapomínejme

Na staré zkušenosti nezapomínejme

Eva Bobůrková  |  13. 7. 2020
Vladimír Vonka je uznávaný virolog v Česku i ve světě. Ač brzy oslaví devadesáté narozeniny, stále se věnuje vědě, konkrétně vývoji...
Komu se nelení…

Komu se nelení…

Petr Pokorný  |  13. 7. 2020
Jsou-li nějaké změny příliš pomalé, lidé je v subjektivním čase svých životů skoro nevnímají. Stačí se ale podívat na staré krajinomalby či...

Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru

Tištěná i elektronická
verze časopisu
Digitální archiv
od roku 1994
Speciální nabídka
pro školy a studenty

 

Objednat předplatné