Pojem pojmu u Materny

Non notationes, sed notiones. C. F. Gauss

Po staletí jeden z ústředních pojmů logiky, totiž pojem sám, se z moderní logiky vytratil. Stalo se tak vlastně proti vůli zakladatele moderní matematické logiky, Gottloba Fregeho, ale i jeho vinou. Po mnoha otřesech a ztrátách jistot bylo 19. století ve znamení zoufalého hledání nějakého nového neotřesitelného základu vědění. Především se ale musel najít jistý základ pro aritmetiku přirozených čísel; pokud by se totiž ani ten nepodařilo nalézt, jak by se pak mohl najít základ pro vědění, které staví na matematice? Gottlob Frege přišel s myšlenkou, že by se aritmetika mohla vystavět na logice; jeho program logicizmu předpokládal, že se aritmetika dá redukovat na logiku. Napřed ale musíme mít logiku, která by byla zbavena všeho psychologického, například našich představ nebo smyslu. Musela být udělána čistě syntakticky, jako kalkulus, neboť jen tak bylo možno zajistit její objektivitu. Frege se pokusil částečně realizovat Leibnizovu myšlenku ,kalkulu lidského myšlení', tentokrát však spíše jako kalkulus ,nelidského' myšlení. Částečnost spočívala v tom, že mělo jít o logický kalkulus pro potřeby vybudování aritmetiky. Frege k tomuto účelu excerpoval argumentační (deduktivní) strukturu Eukleidových Základů a zjistil, že vystačí se dvěma logickými spojkami (např. spojkou ,a' - konjunkcí a spojkou ,ne' - negací) a jedním kvantifikátorem (například ,pro všechna'). Ve svém Begriffsschriftu (Pojmopisu) z r. 1879 založil to, čemu se nyní říká ,elementární matematická logika' čili ,predikátový kalkulus prvního řádu'. Přestože ,pojem' (Begriff) vystupuje v samém názvu jeho spisu, došlo právě zde k eliminaci pojmu: byl nahrazen predikátem a v dalším byl pak (to už proti vůli Fregeho) ztotožněn se svým rozsahem (extenzí; Frege používá slovo Bedeutung). Když pak Frege na tomto základu začal budovat aritmetiku, v jednom místě musel říci, kdy jsou dva predikáty stejné (mají stejnou extenzi, Bedeutung), a především kdy jsou ,stejněpočetné' (gleichzählig; kdy existuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi prvky obou extenzí). Je pozoruhodné, jak se Frege snaží vyhnout množinovému pojetí, tj. chápat extenze jako množiny (viz záhadné paragrafy 10 a 11 jeho Grundgesetze der Arithmetik). Je to místo, kde Frege musí opustit čistou syntax (predikáty najednou něco označují) a Frege tuší, že by zde mohl být slabý článek celé stavby. A také byl, jak ukázal Russell ve slavném dopisu Fregemu, v němž poprvé formuloval známý paradox množiny všech množin, které neobsahují sebe samy jako prvek. Stavba se zřítila, ale to by byl jiný příběh.

O přísné založení aritmetiky se pokouší také Edmund Husserl ve své první knize Filosofie aritmetiky. Frege v její recenzi (a pak v korespondenci) vytýká Husserlovi nejen psychologizmus, ale i to, že pro vybudování aritmetiky používá pojem množiny (Husserlova terminologie je ovšem jiná, hovoří především o Inbegriff ). Zde je další místo, kde Frege nechce ztotožnit pojem (predikát) s jeho extenzí, chápanou jako množina, tedy ,Begriff s Inbegriffem' (podrobněji na toto téma jsem psal ve svém příspěvku na husserlovské konferenci v Prostějově, 1991). Nechce připustit, že by každé množině odpovídal pojem; už proto není jeho pojetí extenzionální. Píše Husserlovi: nemůžete přece udělat množinu z Napoleona, hořící vesnice a úplňku - tyto objekty nejsou přece spojeny žádným pojmem.

Pojetí, v němž pojem = predikát = extenze (množina), je snad ještě možné v matematice, která je v převládajícím pojetí ryze extenzionální; předměty matematiky jsou věčné, neměnné, dobře vymezené (definované). Jakmile opustíme tuto oblast, přestane to platit. Těžko můžeme ztotožnit pojem psa s extenzí, totiž s množinou všech psů. Jednak se tato extenze neustále mění, každou chvíli nějaký pes chcípne a nějaká fenka vrhne štěňata, hlavně však je představa, že bychom tuto extenzi v nějakém smyslu ,znali' aktuálně (jako extenzi), absurdní. Musíme zde rozlišit mezi smyslem pojmu pes a rozsahem tohoto pojmu. Toto rozlišení ale také pochází od Fregeho (především v článku O smyslu a významu ¹⁾ ). Význam (Bedeutung) nějakého pojmu je pro Fregeho to, co tento pojem označuje (co pod něj spadá), smysl pak to, co tento pojem vyjadřuje, vezmeme-li to zkrátka. Významem výrazu 3+2 je číslo 5, jeho smyslem je, že je to součet 3 a 2. Smysl je pro Fregeho způsobem danosti (Gegebensein) toho, co výraz označuje, cesta, jak se k tomuto významu dostat: 2+6 je jiná cesta, jak se dostat k 8, než 3+5. Jiným známým příkladem Fregeho je Večernice a Jitřenka: obojí označuje Venuši, ale dvěma různými způsoby; význam (Bedeutung) je týž: Venuše, ale smysl je různý. Rozdíl je zvláště patrný v nepřímých kontextech: jestliže Petr ví, že Večernice je Venuše, neznamená to, že by musel vědět i to, že i Jitřenka je Venuše, podobně jako žáček, který ví, že 3+5 je 8, nemusí ještě vědět, že 2+6 je také 8. (To je, mimochodem, jeden z problémů, s nímž zápasí tzv. logika vědění.)

Tento dlouhý úvod k vlastní recenzi Maternovy knihy byl nutný proto, abych mohl jeho řešení situovat: nemůžeme se omezit jen na odpověď, neznáme-li otázku, na niž je to odpověď. Otázka na odpověď, nikoli odpověď na otázku: zjistit, jaká je ona skutečná otázka, tj. jaké jsou v ní skryté předpoklady, v jaké tradici se to celé nachází.

Buďme ale nejprve loajální a sledujme ve zkratce Maternovu odpověď. Otázka na tuto odpověď přijde až pak.

Maternova kniha je propracovaným pokusem o rehabilitaci pojmu pojmu. Pojem se zde ocitá opět v samém srdci logiky: ,Zatímco empirické vědy zkoumají svět pomocí pojmů, můžeme logiku definovat jako vědu o vlastnostech a vztazích mezi pojmy samými' (str. 123). Základní myšlenka je zde zdánlivě prostá a navazuje na Fregeho pojetí: pojem je způsob danosti objektů pod tento pojem spadajících. Je to něco jako identifikační postup, nebo kritérium, jímž zjišťujeme, co do rozsahu pojmu patří a co ne.

Další krok je také ještě dosti fregeovský: musíme od sebe odlišit výrazy jazyka a pojmy. Tam, kde my řekneme ,prvočíslo', tam Angličan řekne ,prime number' a to rozhodně nejsou dva odlišné pojmy. Pojmy jsou pro Maternu mimojazykové entity, které jsou výrazy reprezentovány. Aby od sebe odlišil výraz a pojem i graficky, používá Materna velká písmena: výraz ,prvočíslo' reprezentuje pojem PRVOČÍSLO (který je reprezentován i výrazem ,Primzahl').

Další krok už fregeovský není, je dokonce antifregeovský: extenze (rozsahy) jsou jakékoli třídy individuí; zatímco se v jiných pojetích mluví o extenzi něčeho, píše Materna, zde jsou extenze samostatné objekty, bez vztahu k něčemu dalšímu. A s intenzemi (zhruba odpovídajícími Fregovu ,smyslu') je tomu podobně: intenze jsou chápány jako vlastnosti individuí, ale samostatně, jako objekty sui generis. Máme tedy dána na jedné straně individua (a jejich třídy, extenze) o sobě a na druhé straně vlastnosti (intenze), také samy o sobě.

Čeká nás teď úkol, jak spojit vlastnosti s individui, jak popsat to, jaké vlastnosti individua mají. To je však záležitost empirická, tedy záležitost jiných věd. Z hlediska logiky nás musí zajímat jen struktura tohoto přiřazení. A tato struktura přiřazení musí být nezávislá na empirických faktech.

Zde ale narážíme na dvě potíže. První spočívá v tom, jak to učinit nezávislým na empirických faktech (které navíc nemusí být známy, a zpravidla ani nejsou), druhá pak v tom, jak se zbavit závislosti na čase.

Řešení první potíže spočívá v tom, že nějak připustíme všechny možnosti. Zde přichází vhod stará Leibnizova idea ,možných světů' (interpretovaná ale Maternou antileibnizovsky): ,světem' se rozumí ,souhrn faktů' a ,možností' pak bezrozpornost těchto faktů. ,Možný svět' je maximálním souhrnem ,možných faktů', tj. faktů, které nejsou vzájemně v logickém rozporu. Otázka, který z těchto možných světů je ten náš svět aktuální, se ponechává vědám empirickým, které by ovšem k tomu, aby tuto otázku mohly zodpovědět, musely být vševědoucí. Empirické vědy mohou nejvýše některé z těchto logicky možných světů vyloučit.

Druhá potíž s časem se vyřídí zavedením dalšího ,parametru': času, časových okamžiků.

Ukažme si to na příkladech. Pojmu AMERICKÝ PREZIDENT rozumíme (má smysl), i když nevíme, kdo zrovna je americkým prezidentem nebo která doba se myslí. Teď je to Bill Clinton, před několika lety to byl Ronald Reagan, můžeme si ale představit, že by i nyní byl americkým prezidentem někdo jiný. To, co pojem AMERICKÝ PREZIDENT označuje, závisí na možném světě a na čase. Každému možnému světu a každému časovému okamžiku je přiřazeno nejvýše jedno individuum - totiž americký prezident v tom světě a čase. To ,nejvýš jedno' znamená, že někdy nebo nějakému světu nemusí být přiřazeno nic. Tedy funkce, o níž mluvíme, je částečná, parciální.

Podobně i pojmu PES odpovídá funkce možných světů a časů, avšak zde tato funkce nepřiřazuje individuum, nýbrž třídu individuí (extenzi), totiž psů v daném možném světě a čase. (Třídy individuí se nepokládají za individua.) Tato třída je pro jednotnost zpracování nahrazena svou charakteristickou funkcí, tj. funkcí, která pro každé individuum říká, zda do této třídy patří nebo nepatří, tj. každému individuu přiřazuje jednu ze dvou pravdivostních hodnot P (pravda), N (nepravda).

A tak je tomu obecně: intenze (smysl) je (cituji): nějaký abstraktní objekt, který můžeme logicky ,modelovat' jako zobrazení (funkci), která přiřazuje každému možnému světu a času objekt nějakého typu. U AMERICKÉHO PREZIDENTA je tímto typem ,individuální úřad' - individuum. U PSA je to ,vlastnost být psem': zobrazení z (možných světů a časů) individuí do pravdivostních hodnot.

Vše, co v této transparentní intenzionální logice potřebujeme, se tedy nakonec redukuje na čtyři základní předem dané třídy:

1. třídu H pravdivostních hodnot (P, N),
2. třídu I individuí,
3. třídu R reálných čísel (časových okamžiků),
4. třídu M možných světů.

Podívejme se ještě na jeden příklad: pojem PLANETA. To je vlastnost individuí, tedy zobrazení, které každému možnému světu a času a individuu přiřazuje pravdivostní hodnotu říkající, zda toto individuum je či není (v daném možném světě a čase) planetou.

Jenže to fakticky znamená, že pojem PLANETA je dán výčtem, tedy svou extenzí. Sice jinou extenzí v každém možném světě a časovém okamžiku, ale tyto třídy (M a R) jsou dány předem, takže jsme se oklikou vrátili zpět k čistě extenzionálnímu pojetí, jemuž jsme se chtěli (teď ovšem nevím, zda mluvím i za Maternu) vyhnout. (Pro ty, jimž není množinový žargon nesrozumitelný nebo odpudivý: extenze jsou teď v kartézském součinu množin M, R a I.) Horší však je (a zde už mluvím v souladu s Maternou), že se zde vytratilo i původní východisko, že totiž mají pojmy představovat identifikační procedury, postupy, jimiž zjišťujeme, zda něco má či nemá danou vlastnost. Zde je totiž vše řečeno pro každé individuum přímo: ano-ne, není zde žádná ,strukturovaná procedura'.

Řešení této potíže našel Materna v pojmu konstrukce, zavedeném Pavlem Tichým. Konstrukce říká, jak je nějaké zobrazení konstruováno a z čeho. Jedno a totéž zobrazení může být konstruováno různými způsoby (vzpomeňte na 3+5 a 2+6 - to je zde prototypovým příkladem), takže by se nám mohla vrátit ztracená strukturovanost.

Konstrukce udávají tedy způsob, jak ,vypočítat' nějakou funkci. V matematické logice je řada způsobů (vposledku ekvivalentních), jak to udělat pro aritmetiku. Jeden z těchto způsobů, tzv. lambda-kalkulus, je příhodný i pro nearitmetické objekty a ten volí Materna jako výrazový prostředek pro své konstrukce. Nebudeme zde zacházet do detailů, jednak to nepotřebujeme, především však by se mohlo stát, že pro samé manipulace se značkami bychom postupně zapomněli na pojmy.

Vezměte si třeba pojem MŇOUKAJÍCÍ ZVÍŘE. Zatím to bylo tak, že tomu odpovídala funkce, která každému možnému světu a času a individuu přiřazovala hodnotu P nebo N, podle toho, zda toto individuum v daném možném světě a čase bylo mňoukající zvíře. Tuto funkci můžeme však zkonstruovat (,vypočítat') z jiných funkcí, totiž těch, které odpovídají pojmům ZVÍŘE a MŇOUKÁ. Konstrukci jsem vlastně už zapsal: je to konjunkce, vyjádřená spojkou ,a'. Obě základnější funkce musíme mít ovšem buďto předem dány, nebo to musí být konstrukce na základě nějakých dalších funkcí atd. Kde se to ale zastaví? Materna píše: ,Při pojmové analýze se musíme nakonec zastavit u jakýchsi výchozích pojmů a všechny ostatní pojmy skládat z těchto výchozích' (str. 100). A na straně 104 se hovoří o tom, že standardní jazyk je dán ,oficiálním' přiřazením pojmů výrazům (tato konvence je zafixována oficiálními slovníky). ,Kdyby existovala jakási množina absolutně výchozích pojmů (pro daný jazyk), pak by tyto oficiální slovníky vypadaly jinak: každý odkaz na význam jiného výrazu by konec konců směřoval právě do takové množiny a neexistoval by známý a naprosto univerzální jev, který můžeme nazvat slovníkovým definičním kruhem.'

Pomiňme teď (naše) rozpaky nad tím, proč že jsme všechny ty složité analýzy a konstrukce pojmu dělali, když je nakonec přiřazení pojmů výrazům dáno ,oficiálně' nějakými lexikografy. Podívejme se na onu otázku na odpověď; jak by to vypadalo, kdyby to šlo. Nemusel bych se tím zabývat, kdyby šlo o nějaký - jak se říká - fragment jazyka pro nějaké účely, například pro zpracování v počítačových expertních systémech. Tam ovšem jsou individua dána dohodou, stejně tak jako výchozí pojmy; dovedu si představit, že Maternova analýza a celá transparentní intenzionální logika by mohly být k užitku. Jenže tady je provedena (jako v mnoha dalších podobných pokusech) extrapolace na pojem obecně a na celý jazyk. Už proto, že napřed musíme mít jazyk i pojmy, se dá tušit, že to s takovými pokusy nedopadne dobře. Ale podívejme se na to podrobněji v tomto našem případu.

Nuže dejme tomu, že ZVÍŘE a MŇOUKÁ jsou absolutně výchozí pojmy, tj. pojmy, které už nejsou konstrukcemi (leda triviálními) z něčeho ještě absolutněji výchozího. Podle toho, co jsme se tady dozvěděli, jsou to tedy prostě zobrazení z možných světů, časů a individuí do pravdivostních hodnot; jsou tedy dány čistě extenzionálně, výčty. (Všimněte si, že individua jsou dána předem, přesně, jednou provždy a pro všechny možné světy, takže problémy s jejich identifikací odpadají, jinak by se to zamotalo ještě více; tohle však kritizovat nebudu, absurdnost této představy je patrná na první pohled.) A teď z nich složíme (zkonstruujeme) pojem ZVÍŘE a MŇOUKÁ. Konstrukce je zde ,a'. Kde se vezme intenze, smysl? Je tímto smyslem sama konstrukce? (Tak je tomu, zdá se, v Maternově pojetí.) Ale pak je to pouhá spojka ,a'. Zavádějící jsou zde ovšem přirozené smysly slov zvíře, mňouká. Ostatně to asi nebudou absolutně výchozí pojmy. Tak to zkusme s nějakými absolutně výchozími. Třeba WRTSE a ZROST, které jsou dány také výčty (jako funkce z možných světů, časů a individuí do pravdivostních hodnot); mohou se lišit od světa ke světu a od času a k času, takže to jsou pojmy empirické. Jejich smysl, intenze = extenze. Dál se ptát nesmíte, to by nebyly absolutně výchozí pojmy! A teď z nich uděláme složený pojem konjunkcí: WRTSE a ZROST. Znáte už teď smysl, intenzi tohoto pojmu?

To ale není vše. Podívejme se teď na sám základ tohoto pojetí. Máme dány čtyři třídy: H, R, I, M. Nechme stranou první tři, věnujme se M. Říkalo se, že je to třída (všech) možných světů a že každý možný svět je maximální bezrozpornou třídou (možných) faktů. Ale co je to ten fakt? A co je to možný fakt - zvláště jestliže možností rozumíme bezrozpornost - vůči jiným možným faktům? Tak třeba je faktem, že Clinton je prezident USA, ale faktem (možným) je i to, že je prezidentem USA Julius Meinl. To je takový nefaktický fakt, který ale nesmí být v rozporu (logickém) s jinými možnými fakty (v tom světě, kde je Meinl prezidentem). Ale k tomu, abychom vůbec mohli hovořit o nějaké bezrozpornosti (konzistenci), musíme mít nějak ten fakt vyjádřen, jenže k tomu potřebujeme pojem AMERICKÝ PREZIDENT, a k tomu potřebuji možné světy už mít. Chtěli jsme zjistit, co je to fakt, a z těchto faktů pak skládat možné světy, jenže možné světy potřebujeme napřed, abychom mohli říci, co jsou to fakty, a hlavně co je to jejich bezrozpornost. Možná to takto není dobře, fakty, bezrozpornost, pojmy existují v nějaké třetí říši, která je pak ovšem zcela okultní a nedostupná jakékoli magii, natož pak vědám empirickým. Nebo že by to bylo tak, že opravdu je dáno jen M, že je to prostě nějaká třída, daná Bohem, ale také nám nějak přístupná? ²⁾ Že by to tedy byla třída a my si udělali pojmy jako konstrukce a z nich pak fakty a ty pak dodatečně naskládali do oněch možných světů a tak jim dali náplň? To by bylo opravdové creatio ex nihilo. A o tom je Maternova kniha: o záhadném, nevysvětlitelném (a nevysvětleném) zrození intenzí z extenzí.