Jistota nejistoty

Matematika musela během několika tisíciletí své existence zvládnout mnohé a jedna z věcí, se kterými si musela poradit, byl i exaktní popis nejistoty, nepřesnosti, vágnosti a dalších rušivých vlastností tohoto světa. Na první pohled se to zdá být poněkud paradoxní. Matematika má pověst synonyma pro přesnost a spolehlivost, a skutečně taková i je. Jak tedy do jejího přesného aparátu zabudovat jejich opak?

Útočiště ve světě jistoty matematice vystačilo, dokud nezačala být poněkud vážněji využívána k aplikacím a pokud její popis světa nekladl dost naléhavé požadavky na adekvátnost použitých matematických nástrojů. I tak trvalo až překvapivě dlouho, než se exaktní matematika začala o neexaktní jevy hlouběji starat. Postupem let si vypracovala slušný repertoár modelů neurčitosti, a zejména posledních několik desetiletí v tomto směru přineslo mnoho nového. Jak k tomu postupně docházelo a jaké možnosti se tím pro matematiku i její uživatele otevřely, to si stručně zrekapitulujeme v následujících odstavcích. Úvodem snad jen jedno: Matematické modely nepřesných nebo nejistých jevů nevznikly jako umělé samoúčelné konstrukce, ale naopak jako nutnost reagovat na situaci, ve které dosavadní matematické nástroje nestačily pro adekvátní popis a řešení kvalitativně nových úloh. Nejspíš to je výhoda a je v tom i naděje na životnost takových nástrojů.

Nejprve byla jen nepřesnost

Ve starých civilizacích, třeba v Egyptě, Sumeru nebo v Babylonii, které si jako první mohly dovolit luxus abstraktního matematického mudrování, nebyl problém s nejistotou příliš pociťován. Nejspíš ani v antice, která v praktickém užívání přírodních a matematických věd udělala slušný pokrok, si matematici s nejistotou, náhodou nebo vágností mnoho starostí nepřipouštěli. Ne že by neexistovaly, matematických vrcholů se ale netýkaly. Existovala dost zřetelná hranice mezi matematickou abstrakcí a praktickým využíváním základních početních a geometrických úkonů. V úvahách o zlatém řezu, kvadratických rovnicích (už Babyloňané je uměli řešit) nebo Euklidově geometrii neměla nejistota co dělat a na druhé straně kupec nebo zeměměřič si s ní už nějak poradil. Dá se předpokládat, že první typ kvantitativní nejistoty, který si lidé museli uvědomit, byla nepřesnost výsledků vážení a měření při obchodování, stavbě domu nebo vyměřování pozemků a k jejímu zvládnutí stačila trocha zdravého rozumu, dobré vůle a přimhouření oka. Bez obecné teorie nejistoty se tenkrát ještě obešli. Popsaný stav věcí vydržel až do počátků novověku. Lidé se bezesporu setkávali s nepřesnými údaji, subjektivními odhady, náhodou a vágními pojmy. Asi se i pokusili spočítat něco jako své vyhlídky při hře v kostky, nebo podle subjektivní zkušenosti odhadovali budoucí vývoj kvantitativních veličin (třeba pranostiky to do jisté míry odrážejí), do abstraktní matematiky se ale nejistota zatím neprobojovala.

Novou situaci přinesl až nástup přírodních věd v novověku a první v tomto ohledu byla patrně fyzika, přesněji řečeno mechanika. Měření jí už nesloužila jenom k praktickým úkonům, ale stala se důležitou součástí vědeckého poznávání a základem pro zobecňující závěry. Mechanika začala využívat matematických metod, a dokonce přispěla k jejich rozvoji. Opět to byla v první řadě nepřesnost, nutně přítomná v měření fyzikálních veličin, která se tak začala prodírat i do matematických modelů. Jistě nikdo nečeká, že když Galileo Galilei dělal v Pise pokusy s volným pádem (pouštěl železné koule ze známé věže), naměřil vždy čas dopadu přesně odpovídající druhé odmocnině z výšky ochozu. On a jemu podobní si ale i tentokrát dovedli poradit na velmi základní úrovni. Usoudili, ve své situaci celkem oprávněně, že odchylky v naměřených hodnotách jsou jenom jakýsi z vnějšku dodaný šum, kterým příroda (či ďábel) kontaminují pozorování jinak přesných a stále stejných deterministických jevů. Jejich úkolem pak bylo vyloupnout z rozptýlených naměřených hodnot skutečně „pravé“ ideální údaje. Tvůrčí fantazie (s přispěním skutečnosti, že odchylky bývaly zpravidla víceméně symetricky rozložené kolem ideální hodnoty, takže stačilo větší počet měření zprůměrovat, aby se člověk o kus přiblížil ke správnému výsledku) poměrně brzy a spolehlivě nalezla přesné matematické výrazy pro vztahy mezi měřenými veličinami – dráhou, časem, silou a dalšími. Podstatné pro nás v tuto chvíli je, že tyto vztahy opět nezahrnovaly (ani nemusely) nejistotu nebo neurčitost – ty zůstaly mezi odstraněným balastem chyb.

Možná stojí za zmínku, že mechanice se metoda nalézání zdravého abstraktního jádra v komplikované realitě vyplatila a s úspěchem byla dovedena k dokonalosti. Mechanici vlastně dlouho příliš nepopisovali skutečné objekty. Také by se daleko nedostali, kdyby zkoušeli matematicky modelovat třeba koulení kuličky do důlku v blátě při dětské hře, nebo dokonce jízdu selského vozu po polní cestě. Místo toho popisovali chování hmotného bodu (ten ve skutečnosti neexistuje), ideálně tuhého nebo pružného tělesa (také neexistuje), a to v ideálním vzduchoprázdnu (neměli ho k dispozici a ani my na tom nejsme o mnoho lépe) v bezgravitačním prostředí nebo v ideálně homogenním gravitačním poli (to první neměli, to druhé si museli zidealizovat) a bez tření (ještě že existuje!). Vycházeli z představy, že čím miniaturnější měřítko, tím jsou sledované pidiúseky procesů a dějů jednodušší, hladší, lineárnější a samozřejmě vždy spojité. Newton na takové představě založil diferenciální počet – nejužívanější matematický nástroj klasické mechaniky, a teprve kvantová mechanika přišla na to, že skutečnost je právě opačná. Nicméně, zákony klasické mechaniky i přes všechny idealizace fungovaly. Bylo by lákavé, kdyby ostatní vědní obory mohly podobný postup napodobit. Do jisté míry to mnohde možné je, nicméně v řadě situací se i přes všechnu abstrakci nedopracujeme k úhlednému determinizmu. I v hodně zobecněných matematických popisech pak zůstane některá z forem nejistoty jako důležitá součást modelované části světa. V takovém případě se matematika musí naučit pracovat i s nejistotou, a aby nepopřela svou podstatu, musí s onou nejistotou pracovat exaktními – spolehlivými a jistými – nástroji.

Náhody se nezbavíme

Asi další z podob nejistoty, kterou lidé museli matematicky zvládat, byla náhoda. V čem je její podstata a jak moc je od světa neoddělitelná, to je hezké téma pro filozofy vědy. Pro tuto chvíli se asi shodneme na tom, že v našem makrosvětě nelze existenci náhodných jevů přehlédnout. Zhruba ve stejné době, ve které fyzici abstrahovali od nepřesnosti měření, zkoušeli hloubavější jedinci počítat kombinatorické možnosti při hře v kostky a z nich odhadovat pravděpodobnosti výhry nebo její očekávanou výši. Samo o sobě by to byla půvabná intelektuální hříčka, nebýt statistiky, která se pomalu začala rozvíjet a prosazovat.

Statistika – původně údaje o stavu státu, jak dosud naznačuje její jméno – měla za úkol zprostředkovat pro vladaře a jeho úředníky přehled o bohatství a zdrojích, se kterými mohli disponovat. Z číselných údajů bylo zřejmé, že se na jejich očekávané hodnoty nedá dost dobře spolehnout. Kolísají dosti neurčitým a nepředvídatelným – náhodným – způsobem. Tentokrát už nebylo možné přijmout hypotézu, která se tak dobře osvědčila fyzikům: že totiž například úroda je každý rok ve skutečnosti stejná a odchylky vznikají vnějšími rušivými zásahy – třeba tím, že poddaní z ní každým rokem rozkradou jiný díl. V případě statistických údajů už nešlo od nejistoty odhlédnout. Bylo nutno zahrnout náhodu do popisu světa a počet pravděpodobnosti nabídl dobrý aparát pro její formální zvládnutí. Z počtu pravděpodobnosti se postupně vyvinula dobře propracovaná teorie pravděpodobnosti, která od třicátých let našeho století nabyla charakteru poměrně abstraktní matematické discipliny odvozené z teorie míry. Matematická statistika založená na teorii pravděpodobnosti pak umožnila velmi dobře zvládnout kvantitativní projevy náhody v matematických popisech světa. Náhoda byla a dosud je velmi častým typem nejistoty a teorie pravděpodobnosti spolu se statistikou vyvinuly tak účinné nástroje, že po dlouhá desetiletí nevznikla potřeba zabývat se jinými typy neurčitosti a v podstatě nevznikl ani pocit, že nějaké další typy vůbec zasluhují pozornost.

Počítače změnily situaci

Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika ovládaly celkem zaslouženě pole až do nástupu vyspělejší výpočetní techniky. Tehdy se najednou prudce rozšířil okruh situací a procesů, které bylo možné matematicky modelovat, a hlavně jejichž matematické modely bylo možné výpočetně zvládnout. Kvalitativně nové situace pak s sebou přinesly i specifické typy nejistoty, které dříve poněkud unikaly pozornosti.

Nejprve ale počítače přinesly svůj vlastní příspěvek ke sbírce nejistot, totiž složitost. Prudce se rozšířil počet výpočetních postupů – algoritmů, které byly na existujících počítačích reálně zvládnutelné. Do té doby se s trochou nadsázky daly výpočetní postupy pro řešení složitějších reálných problémů v technice a dalších aplikacích rozdělit na dva typy: totiž na ty, které jsou sice teoreticky v pořádku, ale jejich výpočet by několika stům počtářů trval mnoho let, a na ty, u kterých sice neexistoval exaktní důkaz jejich správnosti, ale intuitivně nepobuřovaly, daly se výpočetně zvládnout a zatím nikdy nezpůsobily katastrofu. S nástupem počítačů, zejména těch výkonných, najednou začalo být zásadně důležité, zda by přesný výpočet trval stovce počtářů 1000 let, nebo jenom rok. Složitost výpočetních algoritmů začala být podrobně studována, rozvinula se teorie algoritmů a zkoumala například, jak rychle při jejich aplikaci roste doba výpočtu (to znamená složitost) s počtem vstupních údajů. Je zajímavé, že úvahy o složitosti zpětně oživily některé zapomenuté myšlenky o náhodě a náhodnosti. Některé modely a výpočty totiž vyžadovaly použití náhodných posloupností čísel (a většinou hodně dlouhých posloupností, takže je nešlo získat jednoduchým fyzikálním mechanizmem, natož házením mincí). Bylo tedy nutné je počítačem generovat a také rozpoznat, zda získaná posloupnost opravdu náhodná je, nebo zda v ní není skryta nějaká pravidelnost. Rozpoznání, zda se posloupnost čísel (třeba nul a jedniček) střídá pravidelně nebo nepravidelně, nemá mnoho společného s pravděpodobnostmi jejich výskytů, je pro ně ale zajímavá pravděpodobnost pokračování po nějakém už známém úseku. V podstatě žádná posloupnost generovaná počítačem nemůže být opravdu náhodná – vždy existuje přesný algoritmus, který ji vytváří. Tím spíše bylo nutné rozpoznat, zda dost náhodně alespoň vypadá. Všechny tyhle úvahy nakonec vedly k myšlence, že posloupnost je dost náhodná, jestliže se při jejím popisu nevyplatí uvádět výpočetní postup pro její vytváření, ale prostě ji vypsat, protože to nakonec vyjde jednodušeji. V konečném důsledku celá věc vedla k alternativním definicím pojmu pravděpodobnost, založeným na složitosti. Na standardní pravděpodobnostní a statistické metody ale tyto bezesporu zajímavé úvahy velký vliv neměly.

Mluvíme také dost nepřesně

Počítače nepřinesly jenom složitost. S výpočetním zpracováním stále nových typů úloh se najednou začaly objevovat údaje, převzaté z reálného světa, které vykazovaly další do té doby přehlížený typ nejistoty – totiž vágnost. Když je potřeba pro statistické účely shromáždit údaje třeba o úrodě (abychom využili již použitý příklad), dá se čekat, že budou nepřesné, ať už zaokrouhlováním, nebo nespolehlivostí těch, kdo je poskytují. Když bude třeba na jejich základě odhadnout úrodu v příštím roce, bude nutné brát ohled na náhodu a kvalifikovaný odhad založený na statistických postupech bude uvádět možné hodnoty spolu s jejich pravděpodobnostmi. Když ale bude třeba odpovědět na otázku, zda známá letošní úroda byla „malá“ nebo třeba „uspokojivá“, nevadí ani nepřesnost, ani náhoda. Problém bude v tom, že obsah oněch slov není přesně vymezen. Ani nemůže být, nechceme-li povážlivě ochudit vidění světa. Vždy bude existovat úroda, o které bude možné s jistotou říci, že je uspokojivá (a každá větší bude také uspokojivá), podobně bude existovat úroda, která nepochybně uspokojivá nebude (ani žádná menší) a někde mezi nimi budou hodnoty, které budou uspokojivé, ale jenom „tak trochu“ nebo „jak se to vezme“. V principu pak nebude možné stanovit přesnou hranici, od které začíná spokojenost s úrodou, přičemž jediná chybějící hrst obilí už by znamenala jednoznačnou neuspokojivost.

Vágních údajů je v běžné hovorové řeči fůra (také vágní!). Neurčité číslovky známe už z učebnic mluvnice a vágních kvantitativních údajů se týkají i slova „skoro“, „přibližně“, „mnohem více než...“ . Vágní jsou mnohá adjektiva i substantiva. Zkusme najít hranice, od kterých „končí vínově červená“ a „začíná fialová“, nebo kdy je člověk smutný. Ani takové pojmy jako „politický střed“, „horečka“ nebo „epidemie“ nemají přesné hranice. V běžném verbálním styku to nikterak nevadí, a lidé dovedou s vágními pojmy dobře zacházet. Vágnost některých návodů dokonce funguje jako určitá pojistka proti úkladům nepřesného světa. Pokud nevěříte, nahlédněte do některé kuchařské knihy – Magdalena Dobromila je asi příkladem nejzářnějším. Kolikrát narazíte na vágní množství surovin – „trochu“, „přiměřeně“, „podle chuti“ – a kolikrát na přesná množství, ale tak vágních jednotek jako „hrst“, „sklenka“, „špetka“ nebo „dvě cibule“ (velké nebo malé?). Přesto naše prababičky dokázaly podle tak vágních návodů vařit, přes všechnu neurčitost vstupních údajů míval konečný výsledek celkem stabilní vlastnosti a soudě podle toho, že pradědečci přežili, a dokonce ani nevyhnali prababičky z domu, byla nejspíš jakási kvalita výsledku celkem spolehlivě dosahována. Mimo jiné asi i proto, že prababičky uměly odchylky ve velikosti vágní „hrstky“ kompenzovat vágností své „špetky“ a výběrem té správné cibule.

Situace se zkomplikovala, když bylo nutné naučit podle vágního receptu „vařit“ počítačové programy. Kuchyním se zatím – naštěstí – vyhnuly. Jsou ale využívány v diagnostice (technické a konec konců pomalu i medicínské), ve vyhodnocování geologických a meteorologických dat, v řízení složitých systémů a v řadě dalších oborů, kde jsou zásobovány vágními údaji. Příkladem nad jiné názorným jsou expertní systémy. To jsou v podstatě počítačové programy, které nejprve shromažďují podklady o tom, jak se v té které situaci chovají odborníci (geologové, lékaři, ...), jak vycházejí statistická šetření dosavadních výskytů relevantních jevů a další podobné podklady. Poté by měly být schopny vyhodnotit nové situace a navrhnout jejich řešení podložená právě onou nashromážděnou „expertskou“ zkušeností. Pokud jde o statistické podklady, ty bývají naštěstí dobře kvantifikovány a nejistota v nich má podobu číselně vyjádřených pravděpodobností. S experty to bývá o něco horší. Jejich zkušenosti se hemží obraty jako „poměrně vysoká horečka a častá nevolnost bude nejpíš znamenat ..., ale mohlo by to být také ..., zejména pokud se v okolí už několikrát vyskytlo ....“, „jestliže se tlak páry začne povážlivě blížit k ... a v potrubí to nějak divně hučí, tak posuňte ... o trochu níž“, „v podloží s převahou .... naznačuje občasný výskyt ... ve vzorcích odebraných ze střední hloubky, že tam může být bohaté ložisko ... „. Tak, a teď to zkuste přeložit do počítačového programu.

Pro matematický popis vágních pojmů dost dobře nevystačíme s teorií pravděpodobnosti. Ta nám spolehlivě odpovídá na otázky, jaká je možnost (pravděpodobnost), že se něco stane nebo i stalo. Nás teď ale zajímá, co že se to vlastně doopravdy stalo, jak to pojmenovat, do které kategorie daný jev spadá. V polovině šedesátých let byla pro tento účel navržena teorie fuzzy množin. Do té doby nepříliš frekventované anglické slovo „fuzzy“ znamená něco jako mlhavý, matný, rozmazaný a celkem dobře vystihuje podstatu věci. Matematicky je definice fuzzy množiny zobecněním jednoho z možných popisů klasické deterministické množiny. Každá množina představuje soubor prvků vybraných z nějakého základního souboru, kterému budeme říkat „univerzum“. U deterministické množiny se dá o každém prvku univerza jednoznačně rozhodnout, zda do té které množiny patří či nikoliv. Formálně to jde vyjádřit třeba i tak, že každému z prvků univerza přiřadíme buď jedničku (když do uvažované množiny patří), nebo nulu (když tam nepatří). Takovému přiřazení se říká charakteristická funkce množiny. U fuzzy množin tak jednoznačné přiřazení není. Mohou existovat prvky univerza, které do fuzzy množiny jednoznačně patří, a prvky, které do ní určitě nepatří. Kromě nich ale jsou v univerzu i prvky, u kterých to s tou příslušností do množiny není tak docela jednoznačné. Jako by jim charakteristická funkce přiřazovala nějaké číslo mezi nulou a jedničkou, tím bližší k jedničce, čím spíše se dá říci, že jde o prvek oné množiny. Taková zobecněná charakteristická funkce bývá nazývána funkcí příslušnosti a její hodnoty jsou hodnotami možnosti, že daný prvek patří do popisované množiny.

Hodnoty možnosti mezi nulou a jedničkou dost připomínají pravděpodobnosti a v jistém velmi úzkém smyslu je lze interpretovat jako individuální pravděpodobnost příslušnosti daného konkrétního objektu k množině. Další práce s nimi je ale v mnohém odlišná. Především, pravděpodobnost je v podstatě vlastnost množiny a musí k ní být vztažena. Jestliže ke kostce přidáme sedmou stranu, změní se pravděpodobnosti všech ostatních stran. Příslušnost k fuzzy množině je individuální vlastností prvku a nezávisí na tom, jaké ostatní prvky a jak dalece k téže fuzzy množině patří. Možnost, že barvu některého ubrusu označíme za „vínově červenou“, se nemění s počtem ubrusů všech barev včetně vínové, které byly a budou vyrobeny. Od pravděpodobnostních postupů se liší také práce s funkcemi příslušnosti nezávislých fuzzy množin. Nejspíš se shodneme, že množina „vysokých lidí“ je fuzzy podmnožinou univerza všech lidí a také množina opálených lidí je fuzzy podmnožinou téhož univerza. Patrně se také můžeme shodnout na tom, že obě vlastnosti jsou nejspíš na sobě nezávislé. Souběžně s uvedenými možnostmi existují i pravděpodobnosti, že náhodně vybraný jedinec bude vysoký nebo opálený (povšimněte si rozdílu – jednou mluvíme o konkrétním známém jedinci, jehož výšku nebo opálenost hodnotíme, podruhé mluvíme o očekávaných vlastnostech náhodně vybraného a zatím neznámého člověka). Pokud se pohybujeme ve světě fuzzy množin, pak také množina lidí, kteří jsou zároveň vysocí i opálení, je fuzzy množinou a je to průnik obou původních fuzzy množin. Funkce příslušnosti této množiny se definuje jako minimum jejich funkcí příslušnosti (možnost, že daný jedinec je současně vysoký a opálený je menší z možností, že patří mezi vysoké či mezi opálené). Pravděpodobnosti obou nezávislých jevů bychom, na rozdíl od fuzzy přístupu, násobili, pokud bychom chtěli získat pravděpodobnost jejich současného výskytu. Rozdíly mezi oběma přístupy pokračují, takže funkce příslušnosti sjednocení dvou fuzzy množin nad týmž univerzem se definuje jako maximum z jejich funkcí příslušnosti. Jinými slovy, možnost, že nějaký člověk je vysoký nebo opálený, je větší z obou možností a tak dále.

Fuzzy množiny mohou při prvním setkání dělat dojem jakési samoúčelnosti nebo i primitivnosti, zejména na toho, kdo dobře zná teorii pravděpodobnosti a její širokou, téměř univerzální použitelnost. Nicméně vágnost je opravdu něco zásadně jiného než náhoda, má jiné vlastnosti, řídí se jinými zákony, fuzzy množiny se při popisu vágních jevů osvědčují a za velmi krátkou dobu své existence se také ukázaly jako mimořádně úspěšné při praktickém řešení řady problémů. Zejména Japonci si ve fuzzy technologiích libují a vyrábějí automatické pračky, fotoaparáty, videokamery, holicí strojky, ale i sklářské pece a další průmyslová zařízení s výrazným označením „fuzzy“. Bude v tom jistě kus konjunkturalizmu a módy – řada z oněch výrobků funguje na technickém principu inspirovaném teorií fuzzy množin jen dost volně. Na druhé straně už to, že slůvko fuzzy dosáhlo stadia módnosti, o něčem hovoří. (Jakési průzkumy před dvěma lety prý zjistily, že „fuzzy“ je v japonštině nejužívanější cizí slovo. Uvážíme-li, že i slovo „dolar“ – například – je v japonštině nejspíš považováno za cizí, těší se technické aplikace fuzzy množin jistě značné popularitě.) I v matematické teorii si fuzzy množiny postupně vybojovávaly solidní pozici a výsledky o nich již dávno nejsou triviální.

Život i matematika jdou dál

Fuzzy množiny a jejich rozšíření – třeba teorie možnosti coby určitý protějšek teorie pravděpodobnosti – představují zatím nejúspěšnější nepravděpodobnostní model určitého typu neurčitosti. Nepředstavují ale poslední slovo. Před několika lety se objevil pojem takzvaných hrubých množin, které představují matematický popis dalšího z typů neurčitosti. Jeho název se zatím neustálil, ale mohli bychom ho nazvat nejspíše nerozlišování. Představuje vědomý popis některých jevů jaksi „ve velkém“. Biologové nebo ekologové se při vymezení konkrétního biotopu záměrně zabývají celými živočišnými druhy nebo i rody, které jsou pro něj charakteristické, a nezajímají je atypičtí jedinci, kteří se v něm vyskytli náhodně. Bruncvíkův lev se prostě nestal uznávanou zvířenou středočeské kotliny, i když tam svého pána obětavě následoval. Podobně sociologové sledují chování a situaci celých sociálních nebo etnických skupin. Proto také například vymezují důsledky společenských procesů tím, že uvedou celé sociální skupiny, které jsou oněmi procesy zasaženy (popřípadě s rozlišením druhu takového zasažení) a ty, na které nemají vliv. Řečeno poněkud matematicky, nevymezují v populaci přímo množinu osob nějakým způsobem ovlivněných zkoumanými jevy, ale uvedou skupiny (množiny), které jsou jako celek jejími podmnožinami, a na druhé straně skupiny, které leží (opět jako celek) mimo tuto množinu.

Zní to trochu zamotaně, ale tak složité to zase není. Hrubá množina v daném univerzu není popsána ani svými prvky, jak se na klasickou množinu sluší, ani pravidlem, které by pro každý prvek umožňovalo rozhodnout, zda splňuje „podmínky členství“ v oné množině, ani není příslušnost prvku k ní oslabena pravděpodobnostmi nebo možnostmi. O jednotlivé prvky vlastně ani nejde. Hrubá množina je popsána třídou množin, které jsou jejími podmnožinami, a třídou množin, které s ní nemají žádný neprázdný průnik. Hrubé množiny se v posledních letech staly předmětem dost soustředěného výzkumu a budoucnost ukáže, zda pro matematickou teorii či její aplikace přinesou něco podstatně nového.

Co nás čeká?

Těžko říci, zda a kdy nás život upozorní na nějaký další typ nejistoty, kterému nebudou vyhovovat známé matematické nástroje. Zatím se zdá, že ty dosavadní poskytují inspirativní látku k přemýšlení na dost dlouhou dobu. Pořád ještě jsou vlastně v začátcích výzkumy některých jejich složitějších vlastností, a hlavně jejich vzájemného vztahu a kombinací – třeba statistické metody s vágními (tedy fuzzy) hodnotami pravděpodobností, nebo vztah mezi vágností (fuzzy množinami) a nerozlišováním (hrubými množinami), popřípadě hrubé množiny vymezené „zevnitř“ i „zevně“ nikoli deterministickými, nýbrž fuzzy množinami.

Na jedné straně nám může zájem o tyto jemnosti připadat jako trochu umělá hříčka, jeho cíle ale nejsou ani zdaleka tak nepraktické. Už tady padla zmínka o expertních systémech, kterým by dobré teoretické zvládnutí všech subtilních vlastností různých typů nejistoty jistě otevřelo zcela nové možnosti. Metody účelného rozhodování v reálných situacích mají zpravidla s nejistotou také dost problémů a nové účinné nástroje pro její zvládání by jim přišly vhod. Další aplikace se postupně otevírají se zvládáním metod takzvaného „měkkého počítání“ – to je počítání s nejistými hodnotami. Až po takový extrém, jakým je počítání se slovními proměnnými, které v poslední době budí čím dál větší zájem. Kolik vlastně je „mnoho“ bez „několika“ a jak vůbec k takovému výrazu přistupovat? Jistě neposkytne tak jemně strukturovanou třídu možných výsledků jako reálná čísla, ale o to v situacích, kdy „mnoho“ a „několik“ vstupuje do hry, zpravidla ani nejde. Spíš jde o to, jak výsledek takové verbální operace vůbec vtělit do dalších úvah, a to co nejexaktněji. V tomto směru má matematika zajištěnou práci nejspíš ještě na dost dlouhou dobu a dá se čekat, že výsledky by mohly mít občas i dost nápadný vliv jak na matematickou teorii, tak i na technické, ekonomické, společenskovědní nebo přírodovědní aplikace. Můžeme se ale spolehnout na to, že přes všechnu nejistotu, nepřesnost, náhodnost, vágnost a nerozlišování, které do úvah vstoupí, nakonec budou získané výsledky spolehlivě a exaktně formulovat matematicky přesné meze poznání.